[
    {
        "question": "$2.\\dot{5}\\dot{1}+1.\\dot{3}+2.\\dot{1}\\dot{4}$를 계산한 값을 순환소수로 바르게 나타낸 것은? ① $\\dot{5}.9\\dot{8}$ $ $  ② $\\dot{5}.\\dot{9}8$ $ $   ③ $5.\\dot{9}\\dot{8}$   ④ $5.0\\dot{9}\\dot{8}$ $ $ ⑤ $5.9\\dot{8}$",
        "answer": "$2.\\dot{5}\\dot{1}$$=\\frac{251-2}{99}$$=\\frac{249}{99}$$=\\frac{83}{33}$ $1.\\dot{3}$$=\\frac{13-1}{9}$$=\\frac{12}{9}$$=\\frac{4}{3}$ $2.\\dot{1}\\dot{4}$$=\\frac{214-2}{99}$$=\\frac{212}{99}$ ∴ $2.\\dot{5}\\dot{1}+1.\\dot{3}+2.\\dot{1}\\dot{4}=\\frac{83}{33}+\\frac{4}{3}+\\frac{212}{99}$ $=$$\\frac{593}{99}$$=$$5.9898\\cdots$$=$$5.\\dot{9}\\dot{8}$"
    },
    {
        "question": "다음은 어느 과자의 영양 성분을 나타낸 표이다. $1$ 회 제공량 $70$ g에 대한 탄수화물, 당류, 지방, 단백질의 함량을 분수로 나타냈을 때, 유한소수로 나타낼 수 있는 영양 성분을 모두 구하여라.  <table border> <tbody>   <tr>     <td colspan=\"2\" rowspan=\"2\">영양 성분 $\\quad$ $1$회 제공량 $70 g$<br></td>   </tr>   <tr>   </tr>   <tr>     <td colspan=\"2\">$1$회 제공량당 함량<br></td>   </tr>   <tr>     <td>열량</td>     <td>$219 kcal$</td>   </tr>   <tr>     <td>탄수화물</td>     <td>$30 g$</td>   </tr>   <tr>     <td>당류</td>     <td>$14 g$</td>   </tr>   <tr>     <td>지방</td>     <td>$7 g$</td>   </tr>   <tr>     <td>단백질</td>     <td>$2 g$</td>   </tr> </tbody> </table>",
        "answer": "분모의 소인수가 $2$ 또는 $5$뿐인 기약분수는 유한소수로 나타낼 수 있다. 탄수화물 : $\\frac{30}{70}$$=\\frac{3}{7}$ 당류 : $\\frac{14}{70}$$=\\frac{1}{5}$ 지방 : $\\frac{7}{70}$$=\\frac{1}{10}$$=\\frac{1}{2\\times5}$ 단백질 : $\\frac{2}{70}$$=\\frac{1}{35}$$=\\frac{1}{5\\times7}$ 따라서 유한소수로 나타낼 수 있는 영양 성분은 당류, 지방이다."
    },
    {
        "question": "$(a^xb^yc^z)^w=a^{60}b^{20}c^{30}$을 만족시키는 가장 큰 자연수 $w$에 대하여 $x+y+z+w$의 값을 구하여라. (단, $x$, $y$, $z$는 자연수)",
        "answer": "가장 큰 자연수 $w$는 세 지수 $60$, $20$, $30$의 최대공약수이므로 $w=10$  $(a^xb^yc^z)^{10}$$=(a^x)^{10}\\times(b^y)^{10}\\times(c^z)^{10}$$=a^{10x}b^{10y}c^{10z}$$=a^{60}b^{20}c^{30}$ $10x=60$, $10y=20$, $10z=30$ $∴ x=6$, $y=2$, $z=3$ $∴ x+y+z+w$$=6+2+3+10$$=21$"
    },
    {
        "question": "다음은 어느 아이스크림의 영양 성분을 나타낸 표이다. $1회$ 제공량 $60g$에 대한 탄수화물, 당류, 단백질, 지방의 함량을 분수로 나타냈을 때, 유한소수로 나타낼 수 있는 영양 성분을 모두 구하여라.  <table border> <tbody> <tr> <td colspan=7 align=\"center\">영양성분       1회 제공량 60g</td> </tr> <tr> <td colspan=7 align=\"center\">1회 제공량당 함량</td> </tr> <tr> <td align=\"center\">열량</td> <td align=\"center\">$295kcal$</td> </tr> <tr> <td align=\"center\">탄수화물</td> <td align=\"center\">$2g$</td> </tr> <tr> <td align=\"center\">당류</td> <td align=\"center\">$12g$</td> </tr> <tr> <td align=\"center\">단백질</td> <td align=\"center\">$8g$</td> </tr> <tr> <td align=\"center\">지방</td> <td align=\"center\">$15g$</td> </tr> </tbody> </table>",
        "answer": "분모의 소인수가 $2$ 또는 $5$뿐인 기약분수는 유한소수로 나타낼 수 있다. 탄수화물 : $\\frac{20}{60}$$=\\frac{1}{3}$  당류 : $\\frac{12}{60}$$=\\frac{1}{5}$  단백질 : $\\frac{8}{60}$$=\\frac{2}{15}$$=\\frac{2}{3\\times5}$  지방 : $\\frac{15}{60}$$=\\frac{1}{4}$$=\\frac{1}{2^2}$  따라서 유한소수로 나타낼 수 있는 영양 성분은 당류, 지방이다."
    },
    {
        "question": "$x=1$, $y=-2$일 때, $(-x^2y)^2\\times2x^3y^2$의 값을 구하여라.",
        "answer": "$(-x^2y)^2\\times2x^3y^2=x^4y^2\\times2x^3y^2$ $=$$2x^7y^4$ $=$$2\\times1^7\\times(-2)^4$ $=$$32$"
    },
    {
        "question": "분수 $\\frac{10}{21}$을 소수로 나타낼 때, 소수점 아래 $45$ 번째 자리의 숫자를 구하여라.",
        "answer": "$\\frac{10}{21}$$=0.476190476190\\cdots$$=0.\\dot{4}7619\\dot{0}$ 순환마디를 이루는 숫자는 $6$ 개이고 $45=6\\times7+3$이므로 소수점 아래 $45$ 번째 자리의 숫자는 순환마디의 세 번째 숫자인 $6$이다."
    },
    {
        "question": "다음을 만족시키는 유리수 $a$, $b$에 대하여 $ab$의 값을 순환소수로 나타내었을 때, 소수점 아래 $80$ 번째 자리의 숫자를 구하여라. $0.\\dot{2}2\\dot{7}=a\\times227$,     $0.\\dot{8}\\dot{5}=b\\times0.\\dot{0}\\dot{5}$",
        "answer": "$0.\\dot{2}2\\dot{7}$$=\\frac{227}{999}$이므로 $\\frac{227}{999}=a\\times227$ $∴$ $a=\\frac{1}{999}$ $0.\\dot{8}\\dot{5}$$=\\frac{85}{99}$, $0.\\dot{0}\\dot{5}$$=\\frac{5}{99}$이므로 $\\frac{85}{99}=b\\times\\frac{5}{99}$ $∴$ $b=17$ $ab$의 값을 순환소수로 나타내면 $ab$$=\\frac{1}{999}\\times17$$=\\frac{17}{999}$$=0.\\dot{0}1\\dot{7}$ $0.\\dot{0}1\\dot{7}$의 순환마디를 이루는 숫자는 $3$ 개이고 $80=3\\times26+2$이므로 소수점 아래 $80$ 번째 자리의 숫자는 순환마디의 두 번째 숫자인 $1$이다."
    },
    {
        "question": "$\\frac{1}{6}<0.\\dot{x}-0.0\\dot{x}<\\frac{2}{3}$를 만족시키는 자연수 $x$의 값을 모두 구하여라.",
        "answer": "$0.\\dot{x}-0.0\\dot{x}=\\frac{x}{9}-\\frac{x}{90}=(\\frac{1}{9}-\\frac{1}{90})x=\\frac{1}{10}x $이므로 $\\frac{1}{6}<\\frac{1}{10}x<\\frac{2}{3}$ $\\frac{5}{30}<\\frac{3x}{30}<\\frac{20}{30}$ 이를 만족시키는 자연수 $x$는 $2$, $3$, $4$, $5$, $6$이다."
    },
    {
        "question": "$x$에 대한 일차방정식 $510x-36=n$의 해가 유한소수로 나타내어질 때, $n$의 값이 될 수 있는 가장 작은 세 자리 자연수를 구하여라.",
        "answer": "일차방정식 $510x-36=n$을 풀면 $510x=n+36$ $\\therefore x=\\frac{n+36}{510}$ $\\frac{n+36}{510}=\\frac{n+36}{2\\times3\\times5\\times17}$을 소수로 나타내었을 때 유한소수가 되려면 분모의 소인수가 $2$ 또는 $5$뿐이어야 하므로 $n+36$은 $51$의 배수여야 한다. 따라서 주어진 조건을 만족시키는 $n$의 값은 $15, $$66, $$117, ···$이므로 가장 작은 세 자리 자연수 $n$은 $117$이다."
    },
    {
        "question": "다음을 만족시키는 유리수 $a,b$에 대하여 $ab$의 값을 순환소수로 나타내었을 때, 소수점 아래 $50$ 번째 자리의 숫자를 구하여라. $0.\\dot{5}1\\dot{2}=a\\times512$,$~~~0.\\dot{9}\\dot{5}=b\\times0.\\dot{0}\\dot{5}$",
        "answer": "$0.\\dot{5}1\\dot{2}$$=\\frac{512}{999}$이므로 $\\frac{512}{999}=a\\times512$ $∴$ $a=\\frac{1}{999}$ $0.\\dot{9}\\dot{5}$$=\\frac{95}{99}$, $0.\\dot{0}\\dot{5}$$=\\frac{5}{99}$이므로 $\\frac{95}{99}=b\\times\\frac{5}{99}$ $∴$ $b=19$ $ab$의 값을 순환소수로 나타내면 $ab$$=\\frac{1}{999}\\times19$$=\\frac{19}{999}$$=0.\\dot{0}1\\dot{9}$ $0.\\dot{0}1\\dot{9}$의 순환마디를 이루는 숫자는 $3$ 개이고 $50=3\\times16+2$이므로 소수점 아래 $50$ 번째 자리의 숫자는 순환마디의 두 번째 숫자인 $1$이다."
    },
    {
        "question": "한 자리의 자연수 $a$, $b$에 대하여 순환소수 $1.\\dot{a}\\dot{b}$를 기약분수로 나타내면 $\\frac{15}{11}$일 때, 순환소수 $0.b\\dot{a}$를 기약분수로 나타내어라.",
        "answer": "$\\frac{15}{11}$$=1.363636\\cdots$$=1.\\dot{3}\\dot{6}$이므로 $a=3$, $b=6$ $0.b\\dot{a}$$=0.6\\dot{3}$이므로 $x=0.6\\dot{3}$이라 하면 $100x-10x=57$ $90x=57$ ∴ $x=\\frac{57}{90}=\\frac{19}{30}$ 따라서 $0.b\\dot{a}$를 기약분수로 나타내면 $\\frac{19}{30}$이다."
    },
    {
        "question": "분수 $\\frac{x}{27}$를 계산기를 이용하여 소수로 나타내었더니 다음과 같은 결과를 얻었다. 이때 자연수 $x$의 값을 구하여라.",
        "answer": "$1.481481481\\cdots$$=1.\\dot{4}8\\dot{1}$$=\\frac{1481-1}{999}$$=\\frac{1480}{999}$$=\\frac{40}{27}$ $\\frac{x}{27}=\\frac{40}{27}$ $∴ x=40$"
    },
    {
        "question": "분수 $\\frac{x}{175}$를 소수로 나타내면 유한소수가 되고, 기약분수로 나타내면 $\\frac{9}{y}$라 한다. $x$가 $50<x<100$인 자연수일 때, $2x+y$의 값을 구하여라.",
        "answer": "$\\frac{x}{175}$$=\\frac{x}{5^2\\times7}$를 소수로 나타내었을 때 유한소수가 되려면 분모의 소인수가 $2$ 또는 $5$뿐이어야 하므로 $x$는 $7$의 배수여야 한다. $\\frac{x}{175}$$=\\frac{9}{y}$이므로 $x$는 $9$의 배수이다. $x$는 $7$과 $9$의 배수이므로 최소공배수인 $63$의 배수이다. 이때 $50<x<100$이므로 $x=63$ $\\frac{x}{175}$$=\\frac{63}{175}$$=\\frac{9}{25}$$=\\frac{9}{y}$이므로 $y=25$ $∴ 2x+y$$=2\\times63+25$$=151$"
    },
    {
        "question": "다음을 모두 만족시키는 $n$의 값을 구하여라.  $\\bullet$ $n$은 두 자리의 자연수이다.  $\\bullet$ 분수 $\\frac{n}{140}$을 소수로 나타내면 유한소수가 된다.  $\\bullet$ $\\frac{56}{650}$ $\\times$ $n$을 소수로 나타내면 유한소수가 된다.",
        "answer": "분모의 소인수가 $2$ 또는 $5$뿐인 기약분수는 유한소수로 나타낼 수 있다. $\\frac{n}{140}$$=\\frac{n}{2^2\\times5\\times7}$이 유한소수가 되려면 $n$은 $7$의 배수여야 하고, $\\frac{56}{650}=\\frac{28}{325}=\\frac{28}{5^2\\times13}$이므로 $\\frac{28}{5^2\\times13}\\times n$이 유한소수가 되려면 $n$은 $13$의 배수여야 한다. $n$은 $7$과 $13$의 공배수인 $91$의 배수이고 두 자리의 자연수이므로 $n=91$"
    },
    {
        "question": "다음에서 규칙을 찾아 $㉠$에 알맞은 식을 구하여라.",
        "answer": "$x^9\\div x^4=x^5$ $x^5\\div x^2=x^3$ $x^3\\div x=x^2$ 이므로 $㉠$에 알맞은 식은 $x^2$이다."
    },
    {
        "question": "$30$ 이하의 자연수 $x$에 대하여 두 분수 $\\frac{x}{75}$, $\\frac{x}{280}$를 소수로 나타내면 각각 유한소수, 순환소수가 될 때, 자연수 $x$의 개수를 구하여라.",
        "answer": "$\\frac{x}{75}$$=\\frac{x}{3\\times5^2}$를 소수로 나타내었을 때 유한소수가 되려면 분모의 소인수가 $2$ 또는 $5$뿐이어야 하므로 $x$는 $3$의 배수여야 한다. $\\frac{x}{280}$$=\\frac{x}{2^3\\times5\\times7}$를 소수로 나타내었을 때 순환소수가 되려면 분모에 $2$ 또는 $5$ 이외의 소인수가 있어야 하므로 $x$는 $7$의 배수가 아니어야 한다. 즉, $x$는 $3$의 배수이지만 $7$의 배수가 아닌 자연수이다. $30$ 이하의 자연수 중 $3$의 배수는 $3$, $6$, $9$, $12$, $15$, $18$, $21$, $24$, $27$, $30$의 $10$ 개이고, 이 중 $7$의 배수는 $21$의 $1$ 개이므로 $x$의 개수는 $10-1=9 (개)$"
    },
    {
        "question": "분수 $\\frac{1}{40}$을 $\\frac{a}{10^n}$의 꼴로 나타내었을 때, 두 자연수 $a$, $n$에 대하여 $a+n$의 최솟값을 구하여라.",
        "answer": "$\\frac{1}{40}$$=\\frac{1}{2^3\\times5}$$=\\frac{1\\times5^2}{2^3\\times5\\times5^2}$$=\\frac{1\\times5^2}{2^3\\times5^3}$$=\\frac{25}{10^3}$ $a$의 최솟값은 $25$, $n$의 최솟값은 $3$이므로 $a+n$의 최솟값은 $25+3=28$"
    },
    {
        "question": "$a^{2b}=4$일 때, $a^{6b}$의 값을 구하여라. (단, $2b$는 자연수)",
        "answer": "$a^{6b}$$=(a^{2b})^3$$=4^3$$=64$"
    },
    {
        "question": "분수 $\\frac{a}{66}$를 소수로 나타내면 $0.2\\dot{2}\\dot{7}$일 때, 자연수 $a$의 값을 구하여라.",
        "answer": "$0.2\\dot{2}\\dot{7}$$=\\frac{227-2}{990}$$=\\frac{225}{990}$$=\\frac{5}{22}$ $\\frac{a}{66}=\\frac{5}{22}$ $∴ a=\\frac{5}{22}\\times66=15$"
    },
    {
        "question": "두 수 $x$, $y$에 대하여 $x◎y$를 다음과 같이 약속하자. $a=1.1\\dot{3}\\text{,}$$b=\\frac{17}{15}\\text{,}$$c=2.\\dot{1}5\\dot{4}\\text{,}$$d=2.1\\dot{5}\\dot{4}$일 때, $(a◎b)◎(c◎d)$의 값을 구하여라.$\\\\$ (ⅰ) $x>y$이면 $x◎y=-1$$\\\\$ (ⅱ) $x=y$이면 $x◎y$$=0$$\\\\$ (ⅲ) $x$이면 $x◎y=1$",
        "answer": "$a$$=1.1\\dot{3}$$=1.133\\cdots$, $b$$=\\frac{17}{15}$$=1.133\\cdots$이므로 $a=b$ $∴ a ◎ b$$=0$ $c$$=2.\\dot{1}5\\dot{4}$$=2.154154\\cdots$, $d$$=2.1\\dot{5}\\dot{4}$$=2.15454\\cdots$이므로 $c<d$ $∴ c ◎ d$$=1$ $∴ (a ◎ b) ◎ (c ◎ d)$$=0 ◎ 1$$=1$"
    },
    {
        "question": "$(3^4)^a\\times(3^5)^2=3^{38}$일 때, 자연수 $a$의 값을 구하여라.",
        "answer": "$(3^4)^a\\times(3^5)^2=3^{4a}\\times3^{10}=3^{4a+10}=3^{38}$ $4a+10=38$ $∴ a=7$"
    },
    {
        "question": "순환소수 $0.1\\dot{6}1\\dot{3}$의 소수점 아래 첫째 자리부터 $300$ 번째 자리까지 숫자 $1$은 모두 몇 번 나오는지 구하여라.",
        "answer": "순환마디는 $613$으로 $3$ 개의 숫자가 소수점 아래 둘째 자리부터 차례로 반복되고, 소수점 아래 첫째 자리의 숫자인 $1$은 순환하지 않는다. $300-1=3\\times99+2$이므로 소수점 아래 둘째 자리부터 $298$ 번째 자리의 숫자까지는 순환마디가 $99$ 번 반복되고, 소수점 아래 $299$ 번째 자리의 숫자는 순환마디의 첫 번째 숫자인 $6$, $300$ 번째 자리의 숫자는 순환마디의 두 번째 숫자인 $1$이다. 따라서 소수점 아래 첫째 자리부터 $300$ 번째 자리까지 숫자 $1$은 모두 $1+1\\times99+1=101$ (번) 나온다."
    },
    {
        "question": "분수 $\\frac{a}{280}$를 소수로 나타내면 순환소수가 될 때, 다음 중 $a$의 값이 될 수 있는 것을 모두 고르면? (정답 $2$ 개) ① $24$ ② $35$ ③ $42$ ④ $55$ ⑤ $63$",
        "answer": "$\\frac{a}{280}=\\frac{a}{2^3\\times5\\times7}$를 소수로 나타내었을 때 순환소수가 되려면 분모에 $2$ 또는 $5$ 이외의 소인수가 있어야 하므로 $a$는 $7$의 배수가 아니어야 한다. $\\boxed{2}$ $35=7\\times5$ $\\boxed{3}$ $42=7\\times6$ $\\boxed{5}$ $63=7\\times9$"
    },
    {
        "question": "$(2^6+2^6)\\times(8^3+8^3)\\div(4^2+4^2+4^2+4^2)=2^n$일 때, 자연수 $n$의 값을 구하여라.",
        "answer": "$8^3=(2^3)^3=2^9$, $4^2=(2^2)^2=2^4$이므로 $(2^6+2^6)\\times(8^3+8^3)\\div(4^2+4^2+4^2+4^2)$ $=$$(2\\times2^6)\\times(2\\times8^3)\\div(4\\times4^2)$ $=$$(2\\times2^6)\\times(2\\times2^9)\\div(2^2\\times2^4)$ $=$$2^7\\times2^{10}\\div2^6$ $=$$2^{7+10-6}$ $=$$2^{11}$ $∴ n=11$"
    },
    {
        "question": "순환소수 $0.abc\\dot{d}e\\dot{f}$의 소수점 아래 $70$ 번째 자리의 숫자부터 $72$ 번째 자리의 숫자가 차례대로 $3$, $7$, $9$일 때, $d+f$의 값을 구하여라.",
        "answer": "순환마디를 이루는 문자는 $3$ 개이고 소수점 아래 첫째 자리와 둘째 자리와 셋째 자리는 순환하지 않는다. 소수점 아래 $70$ 번째 자리의 문자는 순환하는 부분만으로는 $67$ 번째 문자이고 $67$$=3\\times22+1$이므로 소수점 아래 $70$ 번째 자리의 문자는 순환마디의 첫 번째 문자인 $d$이다. 순환마디가 $def$이므로 소수점 아래 $71$ 번째, $72$ 번째 자리의 문자는 각각 $e, $$f$이다. 소수점 아래 $70$ 번째 자리의 숫자부터 $72$ 번째 자리의 숫자가 차례대로 $3, $$7, $$9$이므로 $d=3$, $e=7$, $f=9$ $ \\therefore d+f$$=3+9$$=12$"
    },
    {
        "question": "$5^2\\times625=5^□$일 때, $□$에 알맞은 수를 구하여라.",
        "answer": "$5^2\\times625$$=5^2\\times5^4$$=5^{2+4}$$=5^6$ $∴$ $□=6$"
    },
    {
        "question": "두 분수 $\\frac{9}{11}$와 $\\frac{5}{7}$를 소수로 나타내었을 때, 순환마디를 이루는 숫자의 개수를 각각 $a$, $b$라 하자. 이때 $\\frac{b}{a}$의 값을 구하여라.",
        "answer": "$\\frac{9}{11}$$=0.8181\\cdots$에서 순환마디는 $81$이므로 $a=2$ $\\frac{5}{7}$$=0.714285714285\\cdots$에서 순환마디는 $714285$이므로 $b=6$ $∴$ $\\frac{b}{a}$$=\\frac{6}{2}$$=3$"
    },
    {
        "question": "$x=1$, $y=\\frac{1}{2}$일 때, 식 $3y-1+\\lbrace2x-4-(5x-7y)-4y\\rbrace$의 값을 구하여라.",
        "answer": "$3y-1+\\lbrace2x-4-(5x-7y)-4y\\rbrace$ $=$$3y-1+(2x-4-5x+7y-4y)$ $=$$3y-1+(-3x+3y-4)$ $=$$3y-1-3x+3y-4$ $=$$-3x+6y-5$ $∴ -3x+6y-5$$=(-3)\\times1+6\\times\\frac{1}{2}-5$$=-5$"
    },
    {
        "question": "일차방정식 $1.\\dot{2}x+0.5=4.1\\dot{6}$을 풀어라.",
        "answer": "$1.\\dot{2}$$=\\frac{12-1}{9}$$=\\frac{11}{9}$, $4.1\\dot{6}$$=\\frac{416-41}{90}$$=\\frac{375}{90}$$=\\frac{25}{6}$이므로 $\\frac{11}{9}x+\\frac{1}{2}=\\frac{25}{6}$ $22x+9=75$ $22x=66$ $∴ x=3$"
    },
    {
        "question": "다음 중 순환소수 $x=0.372828\\cdots$에 대한 설명으로 옳지 않은 것은? ① 순환마디를 이루는 숫자는 $3$개이다. ② $0.37\\dot{2}\\dot{8}$로 나타낸다. ③ $10000x-100x=3691$ ④ 분수로 나타낼 수 있다. ⑤ $x=0.37+0.00\\dot{2}\\dot{8}$",
        "answer": "①순환마디는 $2$$8$이므로 순환마디를 이루는 숫자는 $2$ 개이다. ② $0.372828\\cdots$$=0.37\\dot{2}\\dot{8}$ ③ $10000x=3728.282828\\cdots$, $100x=37.282828\\cdots$이므로     $10000x-100x=3691$ ④ $0.37\\dot{2}\\dot{8}$$=\\frac{3728-37}{9900}$$=\\frac{3691}{9900}$ ⑤ $x=0.372828\\cdots=0.37+0.002828\\cdots=0.37+0.00\\dot{2}\\dot{8}$"
    },
    {
        "question": "$a$에 대한 이차식 $ma^2+na+7m+4(a^2-a+n)$을 계산했을 때 $a^2$의 계수와 $a$의 계수는 모두 $7$이다. 이때 상수항을 구하여라. (단, $m$, $n$은 수)",
        "answer": "$ma^2+na+7m+4(a^2-a+n)$ $=$$ma^2+na+7m+4a^2-4a+4n$ $=$$(m+4)a^2+(n-4)a+7m+4n$ $a^2$의 계수와 $a$의 계수는 모두 $7$이므로 $m+4=7$, $n-4=7$ $m=3$, $n=11$이므로 상수항은 $7m+4n=7\\times3+4\\times11=65$"
    },
    {
        "question": "분수 $\\frac{29}{11}$를 소수로 나타내었을 때, 소수점 아래 $n$ 번째 자리의 숫자를 $A(n)$이라 하자. 이때 $A(30)+A(31)+A(32)+A(33)$을 계산하여라.",
        "answer": "$\\frac{29}{11}$$=2.6363\\cdots$$=2.\\dot{6}\\dot{3}$이므로 순환마디를 이루는 숫자의 개수는 $2 개$이다. $∴$ $A(30)+A(31)+A(32)+A(33)$ $=$$A(2)+A(1)+A(2)+A(1)$ $=$$3+6+3+6$ $=$$18$"
    },
    {
        "question": "$3^x\\times(2^y+2^y+2^y)=432$를 만족시키는 자연수 $x$, $y$의 값을 각각 구하여라.",
        "answer": "$3^x\\times(2^y+2^y+2^y)$$=3^x\\times(3\\times2^y)$$=2^y\\times3^{x+1}$  $432$$=2^4\\times3^3$  즉, $2^y\\times3^{x+1}=2^4\\times3^3$이므로  $y=4$, $x+1=3$  $∴$ $x=2$, $y=4$"
    },
    {
        "question": "다음 중 순환소수 $x=2.058888\\cdots$에 대한 설명으로 옳은 것은?  ① 순환마디를 이루는 숫자는 $2$개이다. ② $2.\\dot{0}5\\dot{8}$로 나타낸다. ③ $1000x-100x=1853$ ④ 유리수가 아니다. ⑤ $x=2.05+0.0\\dot{8}$",
        "answer": "① 순환마디는 $8$이므로 순환마디를 이루는 숫자는 $1$ 개이다. ② $2.058888\\cdots$$=2.05\\dot{8}$ ③ $1000x=2058.888\\cdots$, $100x=205.888\\cdots$이므로 $1000x-100x=1853$ ④ $2.05\\dot{8}$$=\\frac{2058-205}{900}$$=\\frac{1853}{900}$ ⑤ $x=2.058888\\cdots=2.05+0.008888\\cdots=2.05+0.00\\dot{8}$"
    },
    {
        "question": "$3\\times6\\times9\\times12\\times15=2^x\\times3^y\\times5^z$일 때, $x+y+z$의 값을 구하여라. (단, $x$, $y$, $z$는 자연수)",
        "answer": "$3\\times6\\times9\\times12\\times15$$=$$3\\times(2\\times3)\\times3^2\\times(2^2\\times3)\\times(3\\times5)$ $=$$(2\\times2^2)\\times(3\\times3\\times3^2\\times3\\times3)\\times5$ $=$$2^{1+2}\\times3^{1+1+2+1+1}\\times5$ $=$$2^3\\times3^6\\times5$ $x=3$, $y=6$, $z=1$이므로 $x+y+z$$=3+6+1$$=10$"
    },
    {
        "question": "$2.\\dot{7}+0.\\dot{6}$을 계산하여 기약분수로 나타내면 $\\frac{b}{a}$일 때, 자연수 $a$, $b$에 대하여 $a+b$의 값을 구하여라.",
        "answer": "$2.\\dot{7}$$=\\frac{27-2}{9}$$=\\frac{25}{9}$ $0.\\dot{6}$$=\\frac{6}{9}$$=\\frac{2}{3}$ $∴$ $2.\\dot{7}+0.\\dot{6}$$=\\frac{25}{9}+\\frac{2}{3}$$=\\frac{31}{9}$$=\\frac{b}{a}$ $a=9$, $b=31$이므로 $a+b$$=9+31$$=40$"
    },
    {
        "question": "$\\frac{1}{4}<0.\\dot{x}\\le0.\\dot{7}$을 만족시키는 한 자리의 자연수 $x$의 값 중 가장 작은 값을 $a$, 가장 큰 값을 $b$라 할 때, $ab$의 값을 구하여라.",
        "answer": "$0.\\dot{x}=\\frac{x}{9}$, $0.\\dot{7}$$=\\frac{7}{9}$이므로 $\\frac{1}{4}<\\frac{x}{9}\\le\\frac{7}{9}$ $\\frac{9}{36}<\\frac{4x}{36}\\le\\frac{28}{36}$ 이를 만족시키는 한 자리의 자연수 $x$는 $3$, $4$, $5$, $6$, $7$이다. $a=3$, $b=7$이므로 $ab$$=3\\times7$$=21$"
    },
    {
        "question": "$x$에 대한 일차방정식 $420x+11=n$의 해가 유한소수로 나타내어질 때, $n$의 값이 될 수 있는 가장 큰 두 자리 자연수를 구하여라.",
        "answer": "일차방정식 $420x+11=n$을 풀면 $420x=n-11$ $∴$ $x=\\frac{n-11}{420}$ $\\frac{n-11}{420}$$=\\frac{n-11}{2^2\\times3\\times5\\times7}$을 소수로 나타내었을 때 유한소수가 되려면 분모의 소인수가 $2$ 또는 $5$뿐이어야 하므로 $n-11$은 $21$의 배수여야 한다. 따라서 주어진 조건을 만족시키는 $n$의 값은 $32, $$53, $$74, $$95, $$116, $···이므로 가장 큰 두 자리 자연수 $n$은 $95$이다."
    },
    {
        "question": "다음 $\\square$ 안에 알맞은 수를 써넣어라. $(2\\times28)^3$=$\\lbrace2\\times(2^\\square\\times7)\\rbrace^3$=$(2^\\square\\times7)^3$=$2^\\square\\times7^\\square$",
        "answer": "$(2\\times28)^3=\\lbrace2\\times(2^2\\times7)\\rbrace^3=(2^3\\times7)^3=2^9\\times7^3$"
    },
    {
        "question": "다음을 모두 만족시키는 자연수 $a$, $b$에 대하여 $a+b$의 값을 구하여라. $8^{a+5}$$\\times4^{2a}\\div16^{a+2}$=$2^{16}$ $4^3\\times5^8$은 $b$자리의 자연수이다.",
        "answer": "$8^{a+5}\\times4^{2a}\\div16^{a+2}=2^{16}$에서 $(2^3)^{a+5}\\times(2^2)^{2a}\\div(2^4)^{a+2}=2^{16}$ $2^{(3a+15)+4a-(4a+8)}=2^{16}$ $2^{3a+7}=2^{16}$ $3a+7=16$ $∴ a=3$ $4^3\\times5^8$$=(2^2)^3\\times5^8$$=2^6\\times5^8$$=5^2\\times(2^6\\times5^6)$$=25\\times10^6$ $25\\times10^6$은 $8$ 자리의 자연수이므로 $b=8$ $∴ a+b$$=3+8$$=11$"
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같이 삼각기둥 모양의 그릇에 가득 들어 있는 물을 직육면체 모양의 그릇으로 옮기려고 한다. 직육면체 모양의 그릇에 물을 옮겼을 때, 물의 높이를 구하여라. (단, 직육면체의 부피는 삼각기둥의 부피보다 크고, 그릇의 두께는 생각하지 않는다.)",
        "answer": "$(삼각기둥에 가득 채워진 물의 부피) =\\lbrace\\frac{1}{2}\\times\\frac{5}{2}a\\times(2a+4b)\\rbrace\\times a^2b=\\frac{5}{2}a^4b+5a^3b^2$ 직육면체 모양의 그릇에 채워진 물의 높이를 $h$라 하면 $\\frac{1}{5}b\\times4a^2\\times h=\\frac{5}{2}a^4b+5a^3b^2$ $∴ h=(\\frac{5}{2}a^4b+5a^3b^2)\\div\\frac{1}{5}b\\div4a^2=(\\frac{5}{2}a^4b+5a^3b^2)\\times\\frac{5}{b}\\times\\frac{1}{4a^2} =\\frac{25}{8}a^2+\\frac{25}{4}ab$ 따라서 물의 높이는 $\\frac{25}{8}a^2+\\frac{25}{4}ab$이다."
    },
    {
        "question": "기약분수 $\\frac{b}{a}$가 등식 $(1.\\dot{2})^2\\times\\frac{b}{a}=1.\\dot{4}$를 만족시킬 때, $a-b$의 값을 구하여라.",
        "answer": "$1.\\dot{2}$$=\\frac{12-1}{9}$$=\\frac{11}{9}$, $1.\\dot{4}$$=\\frac{14-1}{9}$$=\\frac{13}{9}$이므로 $(\\frac{11}{9})^2\\times\\frac{b}{a}=\\frac{13}{9}$ $\\frac{121}{81}\\times\\frac{b}{a}=\\frac{13}{9}$ $\\frac{b}{a}=\\frac{13}{9}\\times\\frac{81}{121}=\\frac{117}{121}$ $a=121$, $b=117$이므로 $a-b$$=121-117$$=4$"
    },
    {
        "question": "다음 중 옳지 않은 것은? ㉠ $3^3\\div3^3$=$0$  ㉡ $3^5\\div3^2>0$ ㉢ $3^2\\div3^5>0$",
        "answer": "㉠ $3^3\\div3^3$$=1$ ㉡ $3^5\\div3^2$$=3^{5-2}$$=3^3>0$ ㉢ $3^2\\div3^5$$=\\frac{1}{3^{5-2}}$$=\\frac{1}{3^3}>0$"
    },
    {
        "question": "$27^{x-1}=3^{2x-1}$을 만족시키는 자연수 $x$의 값을 구하여라. $($단, $x\\ge2$$)$",
        "answer": "$27=3^3$이므로 $27^{x-1}$$=$$(3^3)^{x-1}$$=3^{3\\times(x-1)}$$=3^{3x-3}$ 즉, $3^{3x-3}$$=3^{2x-1}$에서 $3x-3=2x-1$ $∴ x=2$"
    },
    {
        "question": "다음 그림의 직선 $l$과 $x$축 및 $y$축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 일차방정식 $mx-y=0$의 그래프가 이등분할 때, 수 $m$의 값을 구하여라.",
        "answer": "직선 $l$의 방정식은 $y=-2x+4$ 색칠된 삼각형의 넓이는 $\\frac{1}{2}\\times2\\times4$$=4$ 직선 $l$과 $mx-y=0$의 그래프의 교점의 $y$좌표를 $k$라 하면 일차방정식 $mx-y=0$의 그래프가 삼각형의 넓이를 이등분하므로 $\\frac{1}{2}\\times2\\times k=2$ $∴ k=2$ $y=-2x+4$에 $y=2$를 대입하면 $2=-2x+4$ $∴ x=1$ $mx-y=0$의 그래프가 점 $(1, 2)$를 지나므로 $m\\times1-2=0$ $∴ m=2$"
    },
    {
        "question": "방정식 $\\frac{x}{5}+y=x+y+a=x$의 해가 일차방정식 $2x+y=14$를 만족시킬 때, 수 $a$의 값을 구하여라.",
        "answer": "연립방정식  $\\begin{cases} \\frac{x}{5}+y=x \\\\  x+y+a=x \\end{cases}$ 의 해가 $2x+y=14$를 만족시키므로 계수와 상수항에 문자가 없는 두 일차방정식을 연립하면 $\\begin{cases} \\frac{x}{5}+y=x \\\\  2x+y=14 \\end{cases}$ $ →$  $\\begin{cases} -4x+5y=0 \\cdots\\cdots㉠ \\\\  2x+y=14 \\cdots\\cdots㉡ \\end{cases}$ $㉠+㉡\\times2$를 하면 $7y=28$ $∴ y=4$ $y=4$를 $㉡$에 대입하면 $2x+4=14$ $∴ x=5$ $x=5$, $y=4$를 $x+y+a=x$에 대입하면 $5+4+a=5$ $∴ a=-4$"
    },
    {
        "question": "다음 중 $□$에 들어갈 수가 가장 작은 것은? ① $a^3 \\div a^7 = \\frac{1}{a^\\square}$ ② $a^2 \\times a^4 = a^\\square$ ③ $a^\\square \\div a^5 = a^2$ ④ $a^3 \\times a^\\square = a^6$ ⑤ $(a^\\square)^3=a^{15}$",
        "answer": "① $a^3\\div a^7$$=\\frac{1}{a^{7-3}}$$=\\frac{1}{a^4}$이므로 $□=4$ ② $a^2\\times a^4$$=a^{2+4}$$=a^6$이므로 $□=6$ ③ $a^□\\div a^5=a^{□-5}=a^2$ $□-5=2$ $∴ □=7$ ④ $a^3\\times a^□$$=a^{3+□}$$=a^6$ $3+□=6$ $∴ □$$=3$ ⑤ $(a^□)^3$$=a^{□\\times3}$$=a^{15}$ $□\\times3=15$ $∴ □=5$"
    },
    {
        "question": "부등식 $n^{200}<2^{500}$을 만족시키는 자연수 $n$의 최댓값을 구하여라.",
        "answer": "$n^{200}<2^{500}$에서 $(n^2)^{100}<(2^5)^{100}$ $∴$ $n^2<2^5$ $2^5=32$이고, $5^2=25$, $6^2=36$이므로 $n^2<2^5$을 만족시키는 자연수 $n$의 최댓값은 $5$이다."
    },
    {
        "question": "$2^x\\times5^{11}\\times3$이 $13$ 자리의 자연수가 되도록 하는 자연수 $x$는 모두 몇 개인지 구하여라.",
        "answer": "$2^x\\times5^{11}\\times3$이 $13$ 자리의 자연수가 되려면 $a\\times(2\\times5)^{11}$($a$는 두 자리의 자연수)의 꼴이어야 한다. $2^x\\times5^{11}\\times3=2^{x-11}\\times3\\times(2\\times5)^{11}$이므로 $a=2^{x-11}\\times3$ $x=12$일 때, $a=2\\times3=6$ $x=13$일 때, $a=2^2\\times3=12$ $x=14$일 때, $a=2^3\\times3=24$ $x=15$일 때, $a=2^4\\times3=48$ $x=16$일 때, $a=2^5\\times3=96$ $x=17$일 때, $a=2^6\\times3=192$ 따라서 $2^x\\times5^{11}\\times3$이 $13$ 자리의 자연수가 되도록 하는 자연수 $x$의 값은 $13$, $14$, $15$, $16$의 $4$ 개이다."
    },
    {
        "question": "$5^x\\times(3^y+3^y+3^y+3^y+3^y)=675$를 만족시키는 자연수 $x$, $y$의 값을 각각 구하여라.",
        "answer": "$5^x\\times(3^y+3^y+3^y+3^y+3^y)$$=5^x\\times(5\\times3^y)$$=3^y\\times5^{x+1}$ $675$$=3^3\\times5^2$ 즉, $3^y\\times5^{x+1}=3^3\\times5^2$이므로 $y=3$, $x+1=2$ $∴ x=1$, $y=3$"
    },
    {
        "question": "$(3^3\\times9^5)^3$의 일의 자리의 숫자를 구하려고 한다. (1) $(3^3\\times9^5)^3$을 $3$의 거듭제곱으로 나타내어라. (2) $(3^3\\times9^5)^3$의 일의 자리의 숫자를 구하여라.",
        "answer": "(1) $(3^3\\times9^5)^3$$=\\lbrace3^3\\times(3^2)^5\\rbrace^3$$=(3^3\\times3^{10})^3$$=(3^{13})^3$$=3^{39}$ (2) $3^1=3$, $3^2=9$, $3^3=27$, $3^4=81$, $3^5=243$, $\\cdots$ 이므로 $3$의 거듭제곱의 일의 자리의 숫자는 $3$, $9$, $7$, $1$의 네 개의 숫자가 순서대로 반복된다. $39$$=4\\times9+3$이므로 $3^{39}$의 일의 자리의 숫자는 $3^3$의 일의 자리의 숫자와 같은 $7$이다."
    },
    {
        "question": "다음 그림은 밑면이 직각삼각형이고 부피가 $12a^6b^{10}$인 삼각기둥이다. 삼각기둥의 높이를 구하여라.",
        "answer": "높이를 $h$라 하면 $(\\frac{1}{2}\\times a^3b^2\\times3ab^3)\\times h=12a^6b^{10}$ $\\frac{3}{2}a^4b^5h=12a^6b^{10}$ $\\therefore$ $h$=$12a^6b^{10}$ $\\div$ $\\frac{3}{2}a^4b^5$ =$12a^6b^{10}$ $\\times$ $\\frac{2}{{3}a^4b^5} =$$8a^2b^5$ 따라서 삼각기둥의 높이는 $8a^2b^5$이다."
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같이 직육면체 모양의 그릇 A, B, C가 있다. A 그릇과 B 그릇에 가득 들어 있는 물을 C 그릇에 모두 부었다. 이때 C 그릇의 물의 높이를 구하여라. (단, 흘린 물은 없고, 그릇의 두께는 생각하지 않는다.)",
        "answer": "$(A 그릇의 부피)$$=2a^2\\times3b\\times a$$=6a^3b$ $(B 그릇의 부피)$$=a\\times b^2\\times4ab$$=4a^2b^3$ C 그릇의 물의 높이를 $h$라 하면 $(C 그릇의 물의 부피)$$=2a\\times a\\times h$$=2a^2h$ $2a^2h=6a^3b+4a^2b^3$이므로 $=$$3ab+2b^3$ 따라서 물의 높이는 $3ab+2b^3$이다."
    },
    {
        "question": "자연수 $a$, $n$에 대하여 $2^5\\times5^6\\times7$을 $a\\times10^n$의 꼴로 나타낼 때, $a$의 최솟값과 그때의 $n$의 값을 구하여라.",
        "answer": "$2^5\\times5^6\\times7$$=5\\times7\\times(2^5\\times5^5)$$=35\\times10^5$ 따라서 $a$의 최솟값은 $35$, 그때의 $n$의 값은 $5$이다."
    },
    {
        "question": "$3^2=a$라 할 때, $27\\times3^5$을 $a$를 사용한 식으로 나타내어라.",
        "answer": "$27\\times3^5=3^3\\times3^5=3^8=(3^2)^4=a^4$"
    },
    {
        "question": "$(2a^2b)^2\\div A\\times(3ab^2)^3=24a^6b^6$, $(-\\frac{3a^3}{b^3})^2\\times B\\div\\frac{2a^3}{b^4}=4a^6b^2$을 만족시키는 두 식 $A$, $B$에 대하여 $a^2b^3=3$일 때, $AB$의 값을 구하여라.",
        "answer": "$(2a^2b)^2\\div A\\times(3ab^2)^3=24a^6b^6$에서 $A=(2a^2b)^2\\times (3ab^2)^3\\div24a^6b^6$  $=$$4a^4b^2\\times27a^3b^6\\div24a^6b^6$  $=4a^4b^2\\times27a^3b^6\\times\\frac{1}{24a^6b^6}$  $=\\frac{9}{2}ab^2$  $(-\\frac{3a^3}{b^3})^2\\times B\\div\\frac{2a^3}{b^4}=4a^6b^2$에서  $B= 4a^6b^2\\div(-\\frac{3a^3}{b^3})^2\\times\\frac{2a^3}{b^4}   $  $= 4a^6b^2\\div\\frac{9a^6}{b^6}\\times\\frac{2a^3}{b^4} $  $ = 4a^6b^2\\times\\frac{b^6}{9a^6}\\times\\frac{2a^3}{b^4}            $  $= \\frac{8}{9}a^3b^4          $      $\\therefore  AB= \\frac{9}{2}ab^2\\times \\frac{8}{9}a^3b^4   $   $=  4a^4b^6     $ $=  4(a^2b^3)^2     $ $=  4\\times3^2=36     $"
    },
    {
        "question": "다음 그림에서 사다리꼴의 넓이는 삼각형의 넓이의 몇 배인지 구하여라.",
        "answer": "$(사다리꼴의 넓이)$ $=$$\\frac{1}{2}\\times(3x^4y^2+x^2y^2)\\times2xy$ $=$$3x^5y^3+x^3y^3$ $(삼각형의 넓이)$ $=$$\\frac{1}{2}\\times x^2y\\times2xy^2$ $=$$x^3y^3$ 따라서 사다리꼴의 넓이는 삼각형의 넓이의 $(3x^5y^3+x^3y^3)\\div x^3y^3$ $=$$(3x^5y^3+x^3y^3)\\times\\frac{1}{x^3y^3}$ $=$$3x^2+1$ (배)"
    },
    {
        "question": "$504^3=(2^3\\times3^a\\times7)^3=2^b\\times3^c\\times7^3$일 때, $a, b, c$에 대하여 $a+b+c$의 값을 구하여라.",
        "answer": "$504^3$$=(2^3\\times3^2\\times7)^3$$=2^9\\times3^6\\times7^3$ $a=2$, $b=9$, $c=6$이므로  $a+b+c$$=2+9+6$$=17$"
    },
    {
        "question": "$3xy+2z-10=0$을 만족시키는 자연수 $x$, $y$, $z$에 대하여 $(8^{2x})^y\\times16^z$의 값을 구하여라.",
        "answer": "$=$$2^{6xy+4z}$ $3xy+2z-10=0$에서 $6xy+4z-20=0$이므로 $6xy+4z$$=20$ $ \\therefore (8^{2x})^y\\times16^z$$=2^{6xy+4z}$$=2^{20}$"
    },
    {
        "question": "($2x^4$-$3x^3$) $\\div$ (-$\\frac{x}{4}$)를 계산한 식에서 각 항의 계수의 합을 구하여라.",
        "answer": "$(2x^4-3x^3)\\div$ $(-\\frac{x}{4}$$) =$ $(2x^4-3x^3)\\times$ $(-\\frac{4}{x})=-8x^3+12x^2$ $x^3$의 계수는 $-8$, $x^2$의 계수는 $12$이므로 각 항의 계수의 합은 $-8+12=4$"
    },
    {
        "question": "다음은 길이가 $1$인 줄기를 이용하여 각 단계별로 줄기의 길이의 $\\frac{1}{2}$인 가지를 $3$ 개씩 각각의 줄기 끝에 그리는 것을 반복하는 과정이다. $13$ 단계에서 그려지는 가지의 개수는 $9$ 단계에서 그려지는 가지의 개수의 몇 배인지 구하여라.",
        "answer": "<table border> <tbody> <tr> <td>단위</td> <td>그려지는 가지의 수(개)</td> </tr> <tr> <td>$1$</td> <td>$3$</td> </tr> <tr> <td>$2$</td> <td>$3\\times3=3^2$</td> </tr> <tr> <td>$3$</td> <td>$3^2\\times3=3^3$</td> </tr> <tr> <td>$4$</td> <td>$3^3\\times3=3^4$</td> </tr> <tr> <td> $ \\vdots $</td> <td> $ \\vdots $</td> </tbody> </table> 위의 규칙에 따르면 $9$ 단계와 $13$ 단계에서 그려지는 가지의 개수는 각각 $3^9$ 개,$3^{13}$ 개이므로 $3^{13}\\div3^9$$=3^{13-9}$$=3^4$$=81$ 따라서 $13$ 단계에서 그려지는 가지의 개수는 $9$ 단계에서 그려지는 가지의 개수의 $81$ 배이다."
    },
    {
        "question": "$a=1$, $b=-2$일 때, 식 $\\frac{-12a^2b^2+8a^3b^2}{4a^2b}$의 값을 구하여라.",
        "answer": "$\\frac{-12a^2b^2+8a^3b^2}{4a^2b}$ $=$$-3b+2ab$ $=$$-3\\times(-2)+2\\times1\\times(-2)$ $=$$6-4$ $=$$2$"
    },
    {
        "question": "$4^x\\times5^2\\times8\\times25^y=128\\times5^8$일 때, 자연수 $x$, $y$의 값을 각각 구하여라.",
        "answer": "$4=2^2$, $8=2^3$, $25=5^2$, $128=2^7$이므로  $4^x\\times5^2\\times8\\times25^y$ $=$$(2^2)^x\\times5^2\\times2^3\\times(5^2)^y$ $=$$2^{2x}\\times5^2\\times2^3\\times5^{2y}$ $=$$2^{2x+3}\\times5^{2+2y}$ $128\\times5^8$$=2^7\\times5^8$ 즉, $2^{2x+3}\\times5^{2+2y}$$=2^7\\times5^8$에서 $2x+3=7$$,$ $2+2y=8$ $∴ x=2$, $y=3$"
    },
    {
        "question": "다음  □안에 알맞은 수를 써넣어라. $2^2\\times3^5\\times2^3\\times3^3$=$2^□\\times3^□$",
        "answer": "$2^2\\times3^5\\times2^3\\times3^3$$=(2^2\\times2^3)\\times(3^5\\times3^3)$$=2^{2+3}\\times3^{5+3}$$=2^5\\times3^8$"
    },
    {
        "question": "다음 네 수를 작은 것부터 순서대로 나열하여라. ㄱ.  $2^{32}$ ㄴ. $3^{24}$  ㄷ. $5^{16}$   ㄹ. $6^8$",
        "answer": "네 수의 지수는 각각 $32$, $24$, $16$, $8$이므로 최대공약수는 $8$이다. ㄱ. $2^{32}$$=(2^4)^8$$=16^8$ ㄴ. $3^{24}$$=(3^3)^8$$=27^8$ ㄷ. $5^{16}$$=(5^2)^8$$=25^8$ $6<16<25<27$이므로 $6^8<16^8<25^8<27^8$"
    },
    {
        "question": "$4ab^2\\times(2a^3b)^3\\times a^2b=xa^yb^z$일 때, $x+y+z$의 값을 구하여라. (단, $x$, $y$, $z$는 수)",
        "answer": "$4ab^2\\times(2a^3b)^3\\times a^2b$$=$$4ab^2\\times8a^9b^3\\times a^2b$ $=$$32a^{12}b^6$$=$$xa^yb^z$ $x=32$, $y=12$, $z=6$이므로 $x+y+z$$=32+12+6$$=50$"
    },
    {
        "question": "순서쌍 $(5, 2)$, $(8, -2)$가 일차방정식 $ax+by=26$의 해일 때, 수 $a$, $b$에 대하여 $a-b$의 값을 구하여라.",
        "answer": "$x=5$, $y=2$를 $ax+by=26$에 대입하면  $5a+2b=26 ······ ㉠$ $x=8$, $y=-2$를 $ax+by=26$에 대입하면  $8a-2b=26······ ㉡$ $㉠+㉡$을 하면 $13a=52$ $∴ a=4$ $a=4$를 $㉠$에 대입하면 $20+2b=26$ $∴ b=3$ $∴ a-b$$=4-3$$=1$"
    },
    {
        "question": "보기에서 부등식인 것을 모두 골라라. 보기 ㄱ. $\\frac{3x-2y}{6} = 1$ ㄴ. $3(x-1)+2x$ ㄷ.$ -2\\leq x-1$ ㄹ. $2x=9$ ㅁ.$ 6  > 3$",
        "answer": "부등호를 사용하여 수 또는 식의 대소 관계를 나타낸 식을 부등식이라고 한다."
    },
    {
        "question": "다음 표에서 가로, 세로의 세 다항식의 합이 모두 같을 때, ㉠에 알맞은 다항식을 구하려고 한다.  <table border> <tbody> <tr> <td>$3a^2$$-$$a$+$2$ </td> <td>$5a-4 $</td> <td></td> </tr> <tr> <td>$2a^2+4a$</td> <td>㉠</td> <td></td> </tr> <tr> <td> $a^2-3a-1$ </td> <td>㉡</td> <td>$6a+1 $</td> </tr> </tbody> </table>  (1) ㉡에 알맞은 다항식을 구하여라.  (2) ㉠에 알맞은 다항식을 구하여라.",
        "answer": "(1) $(3a^2-a+2)+(2a^2+4a)+(a^2-3a-1)=6a^2+1$ 이므로  $(a^2-3a-1)+㉡+(6a+1)=6a^2+1$  $∴$ $㉡ =6a^2+1-(a^2-3a-1)-(6a+1)$  $=6a^2+1-a^2+3a+1-6a-1)$  $=5a^2-3a+1$ (2) $(5a-4)+㉠+(5a^2-3a+1)=6a^2+1$  $∴$ $㉠=6a^2+1-(5a-4)-(5a^2-3a+1)$  $=6a^2+1-5a+4-5a^2+3a-1$  $=a^2-2a+4$"
    },
    {
        "question": "$(4x^2y^3-2x^3y^2)\\times\\frac{3}{2xy}+xy(2x-4y)$를 계산한 식에서 $xy^2$의 계수를 $a,$ $x^2y$의 계수를 $b$라 할 때, $ab$의 값을 구하여라.",
        "answer": "$(4x^2y^3-2x^3y^2)\\times\\frac{3}{2xy}+xy(2x-4y)$ $=$$6xy^2-3x^2y+2x^2y-4xy^2$ $=$$-x^2y+2xy^2$ $xy^2$의 계수는 $2$이므로 $a=2$ $x^2y$의 계수는 $-1$이므로 $b=-1$ $\\therefore$ $ab$$=2\\times(-1)$$=-2$"
    },
    {
        "question": "길이를 나타내는 단위에는 $cm$, $m$, $km$ 등이 있고, 단위끼리 서로 변환할 수 있다. $1 km=10^3 m$, $1 m=10^2 cm$일 때, $3 km$는 $3\\times10^a$ $cm$이다. 이때 $a$의 값을 구하여라.",
        "answer": "$3 km = 3\\times10^3m = (3\\times10^3)\\times10^2 cm$ $=3\\times10^5 cm$ $∴ a=5$"
    },
    {
        "question": "$2^{15}\\times5^{12}\\times7^2$이 $a$ 자리의 자연수이고 각 자리의 숫자의 합을 $b$라 할 때, $a-b$의 값을 구하여라.",
        "answer": "$2^{15}\\times5^{12}\\times7^2$$=2^3\\times7^2\\times(2^{12}\\times5^{12})$$=392\\times10^{12}$ $15$ 자리의 자연수이므로 $a$$=15$ 각 자리의 숫자의 합은 $3+9+2$$=14$이므로 $b$$=14$ $∴$ $a-b$$=15-14$$=1$"
    },
    {
        "question": "식 $\\frac{3x^2+x+4}{3}-\\frac{4x^2-3x+2}{5}$를 계산한 결과에 대한 보기의 설명 중 옳지 않은 것을 모두 고른 것은? 보기 ㄱ. 계산한 결과는 이차식이다. ㄴ. $x$의 계수와 상수항은 서로 같다. ㄷ. $x^2$의 계수, $x$의 계수, 상수항의 합은 2이다.  ㉠ㄱ ㉡ㄷ ㉢ㄱ,ㄴ ㉣ㄱ,ㄷ ㉤ㄴ,ㄷ",
        "answer": "$\\frac{3x^2+x+4}{3}-\\frac{4x^2-3x+2}{5}$ $=$$\\frac{5(3x^2+x+4)}{15}-\\frac{3(4x^2-3x+2)}{15}$ $=$$\\frac{15x^2+5x+20-12x^2+9x-6}{15}$ $=$$\\frac{3x^2+14x+14}{15}$$=$$\\frac{1}{5}x^2+\\frac{14}{15}x+\\frac{14}{15}$ ㄱ. $\\frac{1}{5}x^2+\\frac{14}{15}x+\\frac{14}{15}$는 이차식이다. ㄴ. $x$의 계수는 $\\frac{14}{15}$, 상수항은 $\\frac{14}{15}$이므로 $x$의 계수와 상수항은 서로 같다. ㄷ. $x^2$의 계수, $x$의 계수, 상수항의 합은 $\\frac{1}{5}+\\frac{14}{15}+\\frac{14}{15}=\\frac{31}{15}$ 따라서 옳지 않은 것은 ㄷ이다."
    },
    {
        "question": "소영이는 인터넷 전화를 사용하고 있다. 이 전화를 사용하면 매달 기본요금 $6000$ 원과 발신 통화 건당 $40$ 원의 추가 요금을 내야 한다. 한 달 동안의 전화 요금을 $14000$ 원 미만으로 하려고 할 때, 한 달 동안의 발신 통화 최대 건수를 구하여라. (단, 통화 시간에 따른 추가 요금은 없다.)",
        "answer": "한 달 동안의 발신 통화 건수를 $x$ 건이라 하면 $6000+40x<14000$ $40x<8000$ $∴$ $x<200$ 따라서 한 달 동안의 발신 통화 최대 건수는 $199$ 건이다."
    },
    {
        "question": "한 대각선의 길이가 $(a^2b^3)^2$인 마름모의 넓이가 $(2a^3b^2)^3$일 때, 이 마름모의 다른 대각선의 길이를 구하여라.",
        "answer": "마름모의 다른 대각선의 길이를 $D$라 하면 $\\frac{1}{2}\\times(a^2b^3)^2\\times D=(2a^3b^2)^3$ $\\therefore D=(2a^3b^2)^3\\div\\frac{1}{2}\\div(a^2b^3)^2=8a^9b^6\\div\\frac{1}{2}\\div a^4b^6=8a^9b^6\\times{2}\\times \\frac{1} {a^4b^6}=16a^5$ 따라서 다른 대각선의 길이는 $16a^5$이다."
    },
    {
        "question": "$x=-1$, $y=2$일 때, 식 $2x(x-y)+\\frac{y}{4}(8x-6y)$의 값을 구하여라.",
        "answer": "$2x(x-y)+\\frac{y}{4}(8x-6y)$ $=$$2x^2-2xy+2xy-\\frac{3}{2}y^2$ $=$$2x^2-\\frac{3}{2}y^2$ $=$$2\\times(-1)^2-\\frac{3}{2}\\times2^2$ $=$$-4$"
    },
    {
        "question": "연속하는 두 짝수가 있다. 큰 수의 $2$ 배에 $4$를 더한 것은 작은 수의 $3$ 배 이하라고 할 때, 두 수 중 큰 수의 최솟값을 구하여라.",
        "answer": "두 짝수 중 큰 수를 $x$라 하면 작은 수는 $x-2$이다. $2x+4\\le3(x-2)$ $2x+4\\le3x-6$ $-x\\le-10$ $∴$ $x\\ge10$ 짝수 $x$의 최솟값은 $10$이므로 두 수 중 큰 수의 최솟값은 $10$이다."
    },
    {
        "question": "어떤 농구 선수가 한 경기에서 $11$ 개의 슛을 성공하고 $28$ 점을 득점하였다. 이 선수가 성공한 $2$ 점 슛과 $3$ 점 슛은 각각 몇 개인지 구하여라. (단, 선수는 $2$ 점 슛 또는 $3$ 점 슛만을 성공하였다.)",
        "answer": "$2$ 점 슛은 $x$ 개, $3$ 점 슛은 $y$ 개 성공했다고 하면 $ \\begin{cases} x+y=11\\cdots\\cdots㉠ \\\\ 2x+3y=28 \\cdots\\cdots㉡ \\end{cases} $ $㉠\\times2-㉡$을 하면 $-y=-6$ $\\therefore y=6$ $y=6$을 $㉠$에 대입하면 $x+6=11$ $\\therefore x=5$ 따라서 이 선수가 성공한 $2$ 점 슛은 $5$ 개, $3$ 점 슛은 $6$ 개이다."
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같은 직사각형 $ABCD$를 선분$ CD$를 회전축으로 하여 $1$회전 시킬 때 생기는 입체도형의 부피를 구하여라.",
        "answer": "선분 CD를 회전축으로 하여 $1$회전 시키면 그림과 같은 원기둥이 된다.  $(원기둥의 부피) = \\pi \\times (밑변의 반지름의 길이)^2 \\times (높이)$ $=\\pi \\times (a^4b)^2 \\times 3ab^2$ $=\\pi \\times a^8b^2 \\times 3ab^2$ $=3\\pi a^9b^4$"
    },
    {
        "question": "$3a+4b+\\square=-a-3b$일 때, $\\square$에 알맞은 식을 구하여라.",
        "answer": "$□=(-a-3b)-(3b+4b)=-a-3b-3a-4b=-4a-7b$"
    },
    {
        "question": "$3x(x^2-2x+6)=ax^3+bx^2+cx$일 때, 수 $a$, $b$, $c$에 대하여 $a-b+c$의 값을 구하여라.",
        "answer": "$3x(x^2-2x+6)$$=3x^3-6x^2+18x$$=ax^3+bx^2+cx$ $a=3$, $b=-6$, $c=18$이므로 $a-b+c$$=3-(-6)+18$$=27$"
    },
    {
        "question": "$\\frac{3}{4}x(-4x^2+8x+4)=ax^3+bx^2+cx$일 때, 수 $a$, $b$, $c$에 대하여 $a+b+c$의 값을 구하여라.",
        "answer": "$\\frac{3}{4}x(-4x^2+8x+4)$$=-3x^3+6x^2+3x$$=ax^3+bx^2+cx$ $a=-3$, $b=6$, $c=3$이므로 $a+b+c$$=-3+6+3$$=6$"
    },
    {
        "question": "$□\\times\\frac{1}{3xy}=2x-3y+1$일 때, $□$에 알맞은 식을 구하여라.",
        "answer": "$\\square=(2x-3y+1)\\div\\frac{1}{3xy}$ $=(2x-3y+1)\\times3xy$ $=$$6x^2y-9xy^2+3xy$"
    },
    {
        "question": "$2x-3y+6$에 어떤 식 $A$를 더해야 할 것을 잘못하여 뺐더니 $9x+3y-4$가 되었다. 이때 바르게 계산한 답을 구하여라.",
        "answer": "$(2x-3y+6)-A=9x+3y-4$이므로  $A=(2x-3y+6)-(9x+3y-4)$ $=2x-3y+6-9x-3y+4$ $=-7x-6y+10$ 바르게 계산한 식은 $2x-3y+6$에 $-7x-6y+10$을 더하는 것이므로 $(2x-3y+6)+(-7x-6y+10)=2x-3y+6-7x-6y+10$ $=-5x-9y+16$"
    },
    {
        "question": "$2^9\\times3^2\\times5^6$이 $a$ 자리의 자연수이고 각 자리의 숫자의 합을 $b$라 할 때, $a+b$의 값을 구하여라.",
        "answer": "$2^9\\times3^2\\times5^6$$=2^3\\times3^2\\times(2^6\\times5^6)$$=72\\times10^6$ $8$ 자리의 자연수이므로 $a$$=8$ 각 자리의 숫자의 합은 $7+2$$=9$이므로 $b$$=9$ $ \\therefore a+b$$=8+9$$=17$"
    },
    {
        "question": "$x=-2$, $y=\\frac{3}{7}$일 때, 식 $4y-\\lbrace2x+(3x^2+5xy)\\div3x\\rbrace$의 값을 구하려고 한다. (1) 식 $4y-\\lbrace2x+(3x^2+5xy)\\div3x\\rbrace$를 계산하여라. (2) (1)의 결과에 $x=-2$, $y=\\frac{3}{7}$을 대입한 값을 구하여라.",
        "answer": "(1) $4y-\\lbrace2x+(3x^2+5xy)\\div3x\\rbrace$  $=$$4y-\\lbrace2x+(3x^2+5xy)\\times\\frac{1}{3x}\\rbrace$  $=$$4y-(2x+x+\\frac{5}{3}y)$ $=$$4y-(3x+\\frac{5}{3}y)$ $=$$4y-3x-\\frac{5}{3}y$ $=$$-3x+\\frac{7}{3}y$ (2) $-3x+\\frac{7}{3}y$$=(-3)\\times(-2)+\\frac{7}{3}\\times\\frac{3}{7}$$=6+1$$=7$"
    },
    {
        "question": "민우가 산책하는데 갈 때는 시속 $3 km$로 걷고, 올 때는 갈 때보다 $3 km$ 더 먼 길을 시속 $6 km$로 걸었다. 산책하는 데 걸린 시간이 $2 시간$ 이내일 때, 민우가 걸은 거리는 최대 몇 km인지 구하여라.",
        "answer": "갈 때 걸은 거리를 $x km$라 하면 올 때 걸은 거리는 $(x+3) km$이므로 $\\frac{x}{3}+\\frac{x+3}{6}\\le2$ $2x+(x+3)\\le12$ $3x+3\\le12$ $3x\\le9$ $∴$ $x\\le3$ 이때 민우가 갈 때 걸은 거리는 최대 $3 km$이고 올 때 걸은 거리는 최대 $3+3=6 (km)$ 따라서 민우가 걸은 거리는 최대 $3+6=9$ $(km)$ 확인 갈 때 걸은 거리가 $3 km$ 이하이면 산책하는 데 걸린 시간은 $\\frac{3}{3}+\\frac{3+3}{6}=2$ (시간) 이내이므로 구한 해는 문제의 뜻에 맞는다."
    },
    {
        "question": "다음 그림에서 색칠한 부분의 넓이를 구하여라.",
        "answer": "$(색칠한 부분의 넓이) =$$(3xy+4y)\\times2xy-xy\\times2y$ $=$$6x^2y^2+8xy^2-2xy^2$ $=$$6x^2y^2+6xy^2$"
    },
    {
        "question": "다음 그림에서 색칠한 부분의 넓이를 구하여라.",
        "answer": "$(색칠한 부분의 넓이)$ $=$$4x^2y\\times(3xy-6)-6x^2y^2\\times x$ $=$$12x^3y^2-24x^2y-6x^3y^2$ $=$$6x^3y^2-24x^2y$"
    },
    {
        "question": "한 송이에 $1500$ 원 하는 꽃을 $3500$ 원짜리 포장지로 포장하여 $40000$ 원 이하의 선물을 만들려고 한다. 이때 꽃을 최대 몇 송이까지 살 수 있는지 구하여라.",
        "answer": "꽃을 $x$ 송이 산다고 하면 $1500x+3500\\le40000$ $1500x\\le36500$ $∴ x\\le\\frac{73}{3}$ 따라서 꽃을 최대 $24$ 송이까지 살 수 있다."
    },
    {
        "question": "일차부등식 $2(x-3)+5<x+1$의 해를 $x<a$라 하고, 일차부등식 $2.2x-\\frac{9}{2}\\ge0.2(x-5)-\\frac{3}{2}$의 해를 $x\\ge b$라 할 때, $a+b$의 값을 구하여라.",
        "answer": "$2(x-3)+5<x+1$에서 $2x-6+5<x+1$ $∴ x<2$  $∴ a=2$ $2.2x-\\frac{9}{2}\\ge0.2(x-5)-\\frac{3}{2}$에서 $\\frac{11}{5}x-\\frac{9}{2}\\ge\\frac{1}{5}(x-5)-\\frac{3}{2}$ $22x-45\\ge2(x-5)-15$ $22x-45\\ge2x-25$ $20x\\ge20$ $∴ x \\ge1$ $∴ b=1$ $∴ a+b$$=2+1$$=3$"
    },
    {
        "question": "어느 공원의 입장료는 한 사람당 $4000$ 원이고 $40$ 명 이상의 단체일 경우의 입장료는 한 사람당 $3000$ 원이라고 한다. 몇 명 이상이면 $40$ 명의 단체 입장권을 사는 것이 유리한지 구하여라.",
        "answer": "입장객 수를 $x$ 명이라 하면 $4000x>3000\\times40$ $∴$ $x>30$ 따라서 $31$ 명 이상이면 단체 입장권을 사는 것이 유리하다."
    },
    {
        "question": "$0<x<3$, $-1<y<1$일 때, $x-2y$의 값의 범위를 구하여라.",
        "answer": "$-1<y<1$에서 $-2<-2y<2$ $0-2<x-2y<3+2$ ∴ $-2<x-2y<5$"
    },
    {
        "question": "가로의 길이가 세로의 길이보다 $7$ $cm$ 더 긴 직사각형이 있다. 이 직사각형의 둘레의 길이가 $78$ $cm$보다 길지 않을 때, 세로의 길이는 몇 $cm$ 이하여야 하는지 구하여라.",
        "answer": "세로의 길이를 $x$ $cm$라 하면 가로의 길이는 $(x+7)$ $cm$이므로 $2\\lbrace x+(x+7)\\rbrace\\le78$ $2(2x+7)\\le78$ $4x+14\\le78$ $4x\\le64$ $∴ x\\le16$ 따라서 세로의 길이는 $16$ $cm $이하여야 한다.  세로의 길이가 $16$ $cm $이하이면 직사각형의 둘레의 길이는 $2\\lbrace16+(16+7)\\rbrace=78 (cm)$ 이하이므로 구한 해는 문제의 뜻에 맞는다."
    },
    {
        "question": "현재 어머니의 나이는 $38$ 살이고, 규민이의 나이는 $10$ 살이다. 어머니의 나이가 규민이의 나이의 $2$ 배보다 크지 않게 되는 것은 몇 년 후부터인지 구하여라.",
        "answer": "$x$ 년 후에 어머니의 나이는 $(38+x)$ 살, 규민이의 나이는 $(10+x)$ 살이므로 $38+x\\le2(10+x)$ $38+x\\le20+2x$ $-x\\le-18$ ∴ $x\\ge18$ 따라서 $18$ 년 후부터이다."
    },
    {
        "question": "어느 도서 대여점의 잡지 한 권의 대여료는 $2000$ 원이다. 잡지의 대여 기간은 $4$ 일이고 $4$ 일이 지난 후에는 연체료를 하루에 $300$ 원씩 내야 한다. 어떤 잡지의 정가가 $8000$ 원일 때, 잡지의 대여료가 정가를 넘지 않으려면 잡지를 최대 며칠 동안 대여할 수 있는지 구하여라.",
        "answer": "$4$ 일을 초과하여 $x$ 일 동안 대여한다고 하면 하루에 $300$ 원씩 연체료를 내는 기간은 $(x-4)$ 일이므로 $2000+300(x-4)\\le8000$ $2000+300x-1200\\le8000$ $300x\\le7200$ $∴ x\\le24$ 따라서 최대 $24$ 일 동안 대여할 수 있다."
    },
    {
        "question": "가로의 길이가 $7 cm$, 세로의 길이가 $x cm$인 직사각형의 둘레의 길이가 $32 cm$ 미만일 때, $x$의 값이 될 수 있는 가장 큰 자연수를 구하여라.",
        "answer": "직사각형의 둘레의 길이는 $2(7+x) cm$이므로 $2(7+x)<32$ $14+2x<32$ $2x<18$ $∴ x<9$ 따라서 $x$의 값이 될 수 있는 가장 큰 자연수는 $8$이다."
    },
    {
        "question": "현재 할아버지의 나이는 $71$ 살이고, 정인이의 나이는 $15$ 살이다. 할아버지의 나이가 정인이의 나이의 $3$ 배 이하가 되는 것은 몇 년 후부터인지 구하여라.",
        "answer": "$x$ 년 후에 할아버지의 나이는 $(71+x)$ 살, 정인이의 나이는 $(15+x)$ 살이므로 $71+x\\le3(15+x)$ $71+x\\le45+3x$ $-2x\\le-26$ $∴$ $x\\ge13$ 따라서 $13 년 후$부터이다."
    },
    {
        "question": "일차부등식 $12-5x\\ge-3x+6$을 만족시키는 모든 자연수 $x$의 값의 합을 구하여라.",
        "answer": "$12-5x\\ge-3x+6$에서 $-2x\\ge-6$ $∴ x\\le3$ 따라서 주어진 부등식을 만족시키는 자연수 $x$의 값은 $1$, $2$, $3$이므로 구하는 합은 $1+2+3=6$"
    },
    {
        "question": "일차부등식 $(a-4)x-3<-9$의 해를 수직선 위에 나타내면 다음 그림과 같을 때, 수 $a$의 값을 구하여라.",
        "answer": "$(a-4)x-3<-9$에서 $(a-4)x<-6$ 이 부등식의 해가 $x>2$이므로 부등호의 방향이 바뀌려면 $a-4<0$ $(a-4)x<-6$에서 $x>-\\frac{6}{a-4}$이므로 $-\\frac{6}{a-4}=2$ $-6=2a-8$ $-2a=-2$ $∴ a=1$"
    },
    {
        "question": "$18x^Ay^2\\div\\frac{Bx^7}{y^4}\\div(xy)^3=\\frac{3y^C}{x^4}$일 때, 자연수 $A$, $B$, $C$에 대하여 $A+B+C$의 값을 구하여라.",
        "answer": "$18x^Ay^2\\div\\frac{Bx^7}{y^4}\\div(xy)^3$ $=$$18x^Ay^2\\div\\frac{Bx^7}{y^4}\\div x^3y^3$ $=$$18x^Ay^2\\times\\frac{y^4}{Bx^7}\\times\\frac{1}{x^3y^3}$ $=$$\\frac{18}{B}\\times\\frac{y^3}{x^{10-A}}$$=$$\\frac{3y^C}{x^4}$ $\\frac{18}{B}=3$, $3=C$, $10-A=4$이므로 $A=6$, $B=6$, $C=3$ $∴ A+B+C=6+6+3=15$"
    },
    {
        "question": "$(2^5)^3\\times25^7$은 몇 자리의 자연수인지 구하여라.",
        "answer": "$(2^5)^3\\times25^7=(2^5)^3\\times(5^2)^7=2^{15}\\times5^{14}=2\\times(2^{14}\\times5^{14})=2\\times10^{14}$ 따라서 주어진 수는 $15$ 자리의 자연수이다."
    },
    {
        "question": "어느 박물관의 입장료는 한 사람당 $3500원$이고 $15명$ 이상의 단체일 경우의 입장료는 한 사람당 $2800원$이라고 한다. 몇 명 이상이면 $15명$의 단체 입장권을 사는 것이 유리한지 구하여라.",
        "answer": "입장객 수를 $x$ 명이라 하면 $3500x>2800\\times15$ $∴ x>12$ 따라서 $13$ 명 이상이면 단체 입장권을 사는 것이 유리하다."
    },
    {
        "question": "어느 전시회의 입장료는 $7$ 명까지는 $1$ 인당 $5000$ 원이고, $7$ 명을 초과하면 초과된 사람 $1$ 인당 $4000$ 원이라고 한다. $47000$ 원 이하로 이 전시회를 관람하려고 할 때, 최대 몇 명까지 입장할 수 있는지 구하여라.",
        "answer": "$7 명$을 초과하여 $x$ 명이 입장한다고 하면 입장료가 $1$ 인당 $4000 $원인 사람은 $(x-7)$ 명이므로 $5000\\times7+4000(x-7)\\le47000$ $35000+4000x-28000\\le47000$ $4000x\\le40000$ $∴$ $x\\le10$ 따라서 최대 $10$ 명까지 입장할 수 있다."
    },
    {
        "question": "가로의 길이가 $10cm$, 세로의 길이가 $xcm$인 직사각형의 둘레의 길이가 $28{cm}$ 이상일 때, $x$의 값이 될 수 있는 가장 작은 자연수를 구하여라.",
        "answer": "직사각형의 둘레의 길이는 $2(10+x)cm$이므로 $2(10+x)\\ge28$ $20+2x\\ge28$ $2x\\ge8$ $∴ x\\ge4$ 따라서 $x$의 값이 될 수 있는 가장 작은 자연수는 $4$이다."
    },
    {
        "question": "$0\\le x<2$일 때, $A=2x-3$을 만족시키는 모든 정수 $A$의 값의 합을 구하여라.",
        "answer": "$0\\le x<2$에서 $0\\le2x<4$이므로 $-3\\le2x-3<1$ $∴ -3\\le A<1$ 따라서 주어진 부등식을 만족시키는 정수 $A$의 값은 $-3$, $-2$, $-1$, $0$이므로 구하는 합은 $-3+(-2)+(-1)+0=-6$"
    },
    {
        "question": "세로의 길이가 가로의 길이보다 $4 cm$ 더 긴 직사각형이 있다. 이 직사각형의 둘레의 길이가 $100 cm$보다 길지 않을 때, 가로의 길이는 몇 $cm$ 이하여야 하는지 구하여라.",
        "answer": "가로의 길이를 $x$ $cm$라 하면 세로의 길이는 $(x+4)$ $cm$이므로 $2\\lbrace x+(x+4)\\rbrace\\le100$ $2(2x+4)\\le100$ $4x+8\\le100$ $4x\\le92$ $∴$ $x\\le23$ 따라서 가로의 길이는 $23$ $cm$ 이하여야 한다. 확인 가로의 길이가 $23$ $cm$ 이하이면 직사각형의 둘레의 길이는 $2\\lbrace23+(23+4)\\rbrace=100 (cm)$ 이하이므로 구한 해는 문제의 뜻에 맞는다."
    },
    {
        "question": "일차부등식 $ax+4\\le x-1$의 해가 $x\\le-1$일 때, 수 $a$의 값을 구하여라.",
        "answer": "$ax+4\\le x-1$에서 $(a-1)x\\le-5$ 이 부등식의 해가 $x\\le-1$이므로 부등호의 방향이 바뀌지 않으려면 $a-1>0$ $(a-1)x\\le-5$에서 $x\\le-\\frac{5}{a-1}$이므로 $-\\frac{5}{a-1}=-1$ $5=a-1$ $-a=-6$ $∴ a=6$"
    },
    {
        "question": "현재 어머니의 나이는 형의 나이보다 $31세$가 많고, $15년$ 후에 어머니의 나이는 형의 나이의 $2배$보다 $3세$가 적다고 한다. 현재 어머니와 형의 나이의 합을 구하여라.",
        "answer": "현재 어머니의 나이는 $x$ 세, 형의 나이는 $y$ 세라 하면 $\\begin{cases} x=y+31 \\\\  x+15=2(y+15)-3 \\end{cases}$ $\\rightarrow$ $\\begin{cases} x=y+31 \\cdots㉠\\\\  x-2y=12\\cdots㉡ \\end{cases}$  $㉠$을 $㉡$에 대입하면 $(y+31)-2y=12$ $-y=-19$ $∴ y=19$ $y=19$를 ㉠에 대입하면 $x=50$ 따라서 현재 어머니와 형의 나이의 합은 $50+19=69 (세)$"
    },
    {
        "question": "높이가 $18$ $cm$이고 넓이가 $27$ $cm^2$ 이하인 삼각형을 만들려고 할 때, 밑변의 길이는 몇 $cm$ 이하여야 하는지 구하여라.",
        "answer": "밑변의 길이를 $xcm$라 하면 삼각형의 넓이는 $\\frac{1}{2}\\times x\\times18=9x(cm^2)$이므로 $9x\\le27$ $∴  x\\le3$ 따라서 밑변의 길이는 $3 cm$ 이하여야 한다."
    },
    {
        "question": "$x$의 값을 소수점 아래 첫째 자리에서 반올림하면 $9$가 되고, $y$의 값을 소수점 아래 첫째 자리에서 반올림하면 $7$이 된다. $A=2x+4y$라 할 때, $A$의 값의 범위를 구하여라.",
        "answer": "$8.5\\le x<9.5$이므로 $17\\le2x<19$ $6.5\\le y<7.5$이므로 $26\\le4y<30$ $17+26\\le2x+4y<19+30$ $∴ 43\\le2x+4y<49$ $∴ 43\\le A<49$"
    },
    {
        "question": "산의 정상까지 $A$, $B$ 두 코스가 있다. $A$ 코스로 정상까지 시속 $3 km$로 올라가서 $B$ 코스로 시속 $5km$로 내려왔더니 모두 $4$ 시간 $20$ 분이 걸렸다. $A$, $B$ 코스의 거리의 합이 $15 km$일 때, $A$, $B$ 두 코스의 거리의 차를 구하여라.",
        "answer": "$A$ 코스의 거리를 $x$ $km$, $B$ 코스의 거리를 $y$ $km$라 하면 $㉠\\times3-㉡$을 하면 $-2x=-20$ $∴$ $x=10$ $x=10$을 ㉠에 대입하면 $10+y=15$ $∴$ $y=5$ 따라서 $A$, $B$ 두 코스의 거리의 차는 $10-5=5 (km)$"
    },
    {
        "question": "모양과 크기가 각각 같은 성냥개비 $60$ 개를 모두 사용하여 성냥개비 $1$ 개를 한 변으로 하고 서로 떨어져 있는 정오각형과 정육각형을 만들려고 한다. 정오각형과 정육각형을 합하여 $11$ 개를 만들 때, 만들어지는 정오각형의 개수를 구하여라.",
        "answer": "정오각형을 $x$ 개, 정육각형을 $y$ 개 만든다고 하면 $\\begin{cases} 5x+6y=60 \\cdots ㉠\\\\  x+y=11 \\cdots ㉡  \\end{cases}$ $㉠-㉡\\times5$를 하면 $y=5$ $y=5$를 $㉡$에 대입하면 $x+5=11$ $∴ x=6$ 따라서 정오각형의 개수는 $6$ 개이다."
    },
    {
        "question": "한 개에 $400$ 원인 사탕과 한 개에 $800$ 원인 음료수를 합하여 $21$ 개를 사서 $1400 원$짜리 바구니에 넣어 포장하였더니 들어간 총금액이 $15000$ 원이었다. 이때 음료수를 사탕보다 몇 개 더 샀는지 구하여라.",
        "answer": "한 개에 $400$ 원인 사탕 $x$ 개, 한 개에 $800$ 원인 음료수 $y$ 개를 샀다고 하면 $\\begin{cases} x+y=21 \\\\  400x+800y+1400=15000 \\end{cases} →\\begin{cases} x+y=21 \\cdots\\cdots㉠ \\\\  x+2y=34 \\cdots\\cdots ㉡ \\end{cases}$  $㉠-㉡$을 하면 $-y=-13$ $∴$ $y=13$ $y=13$을 ㉠에 대입하면 $x+13=21$ $∴$ $x=8$ 따라서 음료수를 사탕보다 $13-8$$=5$ (개) 더 샀다."
    },
    {
        "question": "다음을 미지수가 $2$ 개인 일차방정식으로 나타내어라. $a$에 $3$을 더한 값에서 $b$에 $2$ 배를 한 값을 빼면 $12$이다.",
        "answer": "$a$에 $3$을 더한 값은 $a+3$, $b$에 $2$ 배를 한 값은 $2b$이므로  $(a+3)-2b=12$"
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같은 삼각형 $ABC$에서 $\\angle C=20\\degree$이고, $\\angle B$의 크기는 $\\angle A$의 크기의 $2$ 배보다 $5\\degree$만큼 작다. 이때 $\\angle A$의 크기를 구하여라.",
        "answer": "$\\angle A$의 크기를 $x\\degree$, $\\angle B$의 크기를 $y\\degree$라 하면 $\\begin{cases}     x+y+20=180\\\\     y=2x-5\\\\   \\end{cases} \\rightarrow $ $\\begin{cases}     x+y=160  ······ ㉠\\\\     y=2x-5  ······ ㉡\\\\   \\end{cases}$  $㉡$을 $㉠$에 대입하면 $x+(2x-5)=160$ $3x=165$ $∴ x=55$ $x=55$를 ㉡에 대입하면 $y=105$ 따라서 $\\angle A$의 크기는 $55\\degree$이다."
    },
    {
        "question": "길이가 $300m$인 열차가 어느 다리를 지나는 데 $26$ 초가 걸리고, 길이가 $200 m$인 특급 열차는 이 다리를 열차의 $2$ 배의 속력으로 $12$ 초 만에 지난다. 이때 다리의 길이를 구하여라.",
        "answer": "다리의 길이를 $xm$ , 열차의 속력을 초속 $ym$ 라 하면 $\\begin{cases} x+300=26y \\\\  x+200=2y\\times12  \\end{cases}$  $\\rightarrow$  $\\begin{cases} x=26y=-300 \\cdots\\cdots㉠ \\\\  x-24y=-200 \\cdots\\cdots㉡ \\end{cases}$   $㉠-㉡$을 하면 $-2y=-100$ ∴ $y=50$ $y=50$을 ㉠에 대입하면 $x-1300=-300$ ∴ $x=1000$ 따라서 다리의 길이는 $1000m$ 이다."
    },
    {
        "question": "삼각형의 세 변의 길이가 각각 $a{cm}$, $(a+1){cm}$, $(a+7){cm}$일 때, $a$의 값의 범위를 구하여라.",
        "answer": "가장 긴 변의 길이가 $(a+7)$$ cm$이므로 $a+(a+1)>a+7$ $2a+1>a+7$ $∴$ $a>6$"
    },
    {
        "question": "길이와 모양이 같은 성냥개비로 다음 그림과 같이 정사각형을 한 방향으로 연결하여 만들 때, 다음 물음에 답하여라. (1) 정사각형을 $x$ 개 만들 때 필요한 성냥개비의 개수를 $x$를 사용한 식으로 나타내어라. (2) 성냥개비 $200$ 개로 정사각형을 최대 몇 개 만들 수 있는지 구하고, 문제의 뜻에 맞는지 확인하여라.",
        "answer": "(1) 정사각형 $1$ 개를 만들 때 필요한 성냥개비의 개수는 $4$ 개이고 정사각형을 $1$ 개씩 더 만들 때마다 성냥개비는 $3$ 개씩 더 필요하다. 따라서 $x$ 개의 정사각형을 만들 때 필요한 성냥개비의 개수는 $4+3(x-1)=4+3x-3=3x+1$ (개) (2) $3x+1\\le200$이므로 $3x\\le199$ $∴ x\\le\\frac{199}{3}$ 따라서 정사각형을 최대 $66$ 개 만들 수 있다. 확인 정사각형을 $66$ 개 만들 때 필요한 성냥개비의 개수는 $3\\times66+1=199$ (개)이고, 정사각형을 $67$ 개 만들 때 필요한 성냥개비의 개수는 $3\\times67+1=202$ (개)이므로 구한 해는 문제의 뜻에 맞는다."
    },
    {
        "question": "일차방정식 $5x+ay=7$의 한 해가 $(3, -2)$일 때, 수 $a$의 값을 구하여라.",
        "answer": "$x=3$, $y=-2$를 $5x+ay=7$에 대입하면 $15-2a=7$ $-2a=-8$ $∴ a=4$"
    },
    {
        "question": "$A=2^{x-3}$일 때, $4^x$을 $A$를 사용한 식으로 나타내어라. (단, $x$는 $4$ 이상의 자연수)",
        "answer": "$2^x$$=8\\times2^{x-3}$$=8A$이므로  $4^x$$=(2^2)^x$$=(2^x)^2$$=(8A)^2$$=64A^2$"
    },
    {
        "question": "$a<b$일 때, $x$에 대한 일차부등식 $-(3-ax)<bx-8$을 풀어라.",
        "answer": "$-(3-ax)<bx-8$에서 $-3+ax<bx-8$ $\\therefore$ $(a-b)x<-5$ $a-b<0$이므로 $x>-\\frac{5}{a-b}$"
    },
    {
        "question": "일차방정식 $ax-6y=14$의 한 해가 $(8, -1)$일 때, 수 $a$의 값을 구하여라.",
        "answer": "$x=8$, $y=-1$을 $ax-6y=14$에 대입하면 $8a+6=14$ $8a=8$ $∴ a=1$"
    },
    {
        "question": "동해로 휴가를 떠나는 지호와 민석이는 오후 $6$시 에 떠나는 기차를 타기 위해 오후 $5$ 시에 청량리역에 도착하여 출발 시각까지 남은 시간 동안 간식을 사려고 한다. 간식을 고르는 데 $10$ 분이 걸리고, 상점까지 시속 $3 km$로 걸어서 갔다가 올 때는 시속 $2 km$로 돌아온다면 기차역에서 몇 $km$ 이내에 있는 상점을 이용해야 하는지 구하여라.",
        "answer": "기차역에서 상점까지의 거리를 $x$ $km$라 하면  $\\frac{x}{3}+\\frac{1}{6}+\\frac{x}{2}\\le1$ $\\\\$ $2x+1+3x\\le6$ $\\\\$ $5x+1\\le6$ $\\\\$ $5x\\le5$ $\\\\$ ∴ $x\\le1$ $\\\\$ 따라서 기차역에서 $1$ $km$ 이내에 있는 상점을 이용해야 한다."
    },
    {
        "question": "$x$, $y$가 자연수일 때, 일차방정식 $3x+2y=17$의 해는 $a$ 개, 일차방정식 $2x+3y=13$의 해는 $b$ 개이다. 다음 물음에 답하여라. (1) 일차방정식 $3x+2y=17$의 해의 개수를 구하여라. (2) 일차방정식 $2x+3y=13$의 해의 개수를 구하여라. (3) $a+b$의 값을 구하여라.",
        "answer": "(1) <table border> <tbody> <tr> <td>$x$</td> <td>$1$</td> <td>$2$</td> <td>$3$</td> <td>$4$</td> <td>$5$</td> <td>$6$</td> </tr> <tr> <td>$y$</td> <td>$7$</td> <td>$\\frac{11}{2}$</td> <td>$4$</td> <td>$\\frac{5}{2}$</td> <td>$1$</td> <td>$\\frac{1}{2}$</td> </tr> </tbody> </table> $x$, $y$가 자연수이므로 $3x+2y=17$의 해는 $(1,7)$, $(3,4)$, $(5,1)$의 $3$개 (2) <table border> <tbody> <tr> <td>$x$</td> <td>$5$</td> <td>$\\frac{7}{2}$</td> <td>$2$</td> <td>$\\frac{1}{2}$</td> <td>$-1$</td> </tr> <tr> <td>$y$</td> <td>$1$</td> <td>$2$</td> <td>$3$</td> <td>$4$</td> <td>$5$</td> </tr> </tbody> </table> $x$, $y$가 자연수이므로 $2x+3y=13$의 해는 $(5,1)$, $(2,3)$의 $2$개 (3) $a=3$, $b=2$이므로 $a+b$$=3+2$$=5$"
    },
    {
        "question": "일차함수 $y=ax+\\frac{1}{2}$의 그래프는 일차함수 $y=-3x+2$의 그래프와 평행하고, 일차함수 $y=3x+b$의 그래프와 $y$축 위에서 만난다. 이때 수 $a$, $b$에 대하여 $ab$의 값을 구하여라.",
        "answer": "$y=ax+\\frac{1}{2}$의 그래프는 $y=-3x+2$의 그래프와 평행하므로 기울기가 같다. $∴ $$a=-3$ $y=-3x+\\frac{1}{2}$의 그래프의 $y$절편이 $\\frac{1}{2}$이므로 $y=3x+b$의 그래프의 $y$절편도 $\\frac{1}{2}$이다. $∴ $ $b=\\frac{1}{2}$ $∴ $ $ab$$=(-3)\\times\\frac{1}{2}$$=-\\frac{3}{2}$"
    },
    {
        "question": "방정식 $x-4y-4=4x-8y+6=-x-7y-5$를 만족시키는 $x$, $y$에 대하여 $x+y$의 값을 구하여라.",
        "answer": "$x-4y-4=4x-8y+6$$→$$-3x+4y=10$······ ㉠ $x-4y-4=-x-7y-5$$→$$2x+3y=-1$······ ㉡ $㉠\\times2+㉡\\times3$을 하면 $17y=17$ $∴$ $y=1$ $y=1$을 ㉡에 대입하면 $2x+3=-1$ $∴$ $x=-2$ $∴$ $x+y$$=-2+1$$=-1$"
    },
    {
        "question": "일차방정식 $3y-2x+7=0$을 만족시키는 $x$의 값이 $5$일 때, $y$의 값을 구하여라.",
        "answer": "$x=5$를 $3y-2x+7=0$에 대입하면 $3y-10+7=0$ $3y=3$ $∴$ $y=1$"
    },
    {
        "question": "주스 $3\\times10^3L$를 한 컵에 $200mL$씩 담아서 어린이들에게 나누어 주려고 한다. 한 컵씩 나누어 줄 때, 몇 명의 어린이에게 나누어 줄 수 있는지 구하여라.",
        "answer": "$3\\times10^3 L=(3\\times10^3)\\times10^3 mL=3\\times10^6 mL$ 따라서 나누어 줄 수 있는 학생 수는 $\\frac{3\\times10^6}{200}=\\frac{30\\times10^5}{2\\times10^2}=15\\times10^3=15000$ (명)"
    },
    {
        "question": "다희와 수영이가 가위바위보를 하여 이긴 사람은 $7$ 계단을 올라가고 진 사람은 $4$ 계단을 내려가기로 하였다. 가위바위보를 총 $16$ 회 하여 다희가 처음 위치보다 $13$ 계단을 올라가 있었을 때, 다희가 이긴 횟수를 구하여라. (단, 비기는 경우는 없었다.)",
        "answer": "다희가 이긴 횟수를 $x$ 회, 수영이가 이긴 횟수를 $y$ 회라 하면 $\\begin{cases} x+y=16 ~~~~\\cdots\\cdots㉠\\\\  7x-4y=13 \\cdots\\cdots㉡ \\end{cases}$ $㉠\\times4+㉡$을 하면 $11x=77$ $∴$ $x=7$ $x=7$을 ㉠에 대입하면 $7+y=16$ $∴$ $y=9$ 따라서 다희가 이긴 횟수는 $7$ 회이다."
    },
    {
        "question": "지우개 $4$ 개의 가격은 공책 한 권의 가격과 같고, 지우개 $6$ 개와 공책 $4 권$의 가격의 합은 $8800$원이라 한다. 이때 공책 한 권의 가격을 구하여라.",
        "answer": "지우개 한 개의 가격을 $x$ 원, 공책 한 권의 가격을 $y$ 원이라 하면 $㉠$을 $㉡$에 대입하면 $6x+16x=8800$ $22x=8800$ $∴ x=400$ $x=400$을 $㉠$에 대입하면 $y=1600$ 따라서 공책 한 권의 가격은 $1600$ 원이다."
    },
    {
        "question": "길이가 $400$ $m$인 열차가 어느 다리를 지나는 데 $30$ 초가 걸리고, 길이가 $900 m$인 특급 열차는 이 다리를 열차의 $2$ 배의 속력으로 $20$ 초 만에 지난다. 이때 열차의 속력을 구하여라.",
        "answer": "다리의 길이를 $x$ $m$, 열차의 속력을 초속 $y$ $m$라 하면 $\\begin{cases} x+400=30y\\\\  x+900=2y \\times20 \\end{cases}$ \\( \\rightarrow \\)   $\\begin{cases} x-30y=-400\\cdots\\cdots㉠\\\\  x-40y=-900\\cdots\\cdots㉡  \\end{cases}$ $㉠-㉡$을 하면 $10y=500$ ∴ $y=50$ $y=50$을 ㉠에 대입하면 $x-1500=-400$ ∴ $x=1100$ 따라서 열차의 속력은 초속 $50$ m이다."
    },
    {
        "question": "학생 수가 $50$ 명인 어느 학급에서 남학생의 $\\frac{1}{4}$과 여학생의 $\\frac{1}{6}$이 여행을 좋아한다. 여행을 좋아하는 학생이 전체 학생의 $\\frac{1}{5}$일 때, 이 학급의 남학생 수를 구하여라.",
        "answer": "남학생 수를 $x$ 명, 여학생 수를 $y$ 명이라 하면 $\\begin{cases} x+y = 50 \\\\  \\frac{1}{4}x + \\frac{1}{6}y = 50 \\times \\frac{1}{5} \\end{cases} \\rightarrow$ $\\begin{cases} x+y = 50 \\cdots ㉠\\\\  3x+2y = 120 \\cdots ㉡ \\end{cases}$ $㉠\\times2-㉡$을 하면 $-x=-20$ $∴ x=20$ $x=20$을 $㉠$에 대입하면 $20+y=50$ $∴ y=30$  따라서 남학생 수는 $20$ 명이다."
    },
    {
        "question": "부등식 $ax^2-2x-1<x^2-bx+4$가 일차부등식일 때, 자연수 $a$, $b$에 대하여 $a+b$의 최솟값을 구하여라.",
        "answer": "$ax^2-2x-1<x^2-bx+4$에서 $ax^2-2x-1-x^2+bx-4<0$ $ \\therefore (a-1)x^2+(-2+b)x-5<0$ 이 부등식이 일차부등식이 되려면 $a-1=0$, $-2+b\\ne0$ $ \\therefore a=1$, $b\\ne2$ $a+b$가 최솟값을 가지려면 $b$는 $2$가 아닌 수 중에서 가장 작은 자연수여야 하므로 $b=1$ 따라서 $a+b$의 최솟값은 $1+1=2$"
    },
    {
        "question": "A 인터넷 쇼핑몰에서는 오렌지 $1$ 개의 가격이 $1300 $원이고 배송료가 $1000 $원이다. B 인터넷 쇼핑몰에서는 오렌지 $1 $개의 가격이 $1200 $원이고 배송료가 $2200 $원이다. A 인터넷 쇼핑몰보다 B 인터넷 쇼핑몰에서 구입하는 것이 유리하려면 오렌지를 몇 개 이상 구입해야 하는지 구하여라.",
        "answer": "오렌지를 $x$ 개 구입한다고 하면 $1300x+1000>1200x+2200$ $100x>1200$ ∴ $x>12$ 따라서 오렌지를 $13$ 개 이상 구입해야 한다."
    },
    {
        "question": "수미와 가희가 가위바위보를 하여 이긴 사람은 $3$ 계단을 올라가고 진 사람은 $1$ 계단을 내려가기로 하였다. 가위바위보를 총 $11$ 회 하여 가희가 처음 위치보다 $13$ 계단을 올라가 있었을 때, 가희가 이긴 횟수를 구하여라. (단, 비기는 경우는 없었다.)",
        "answer": "수미가 이긴 횟수를 $x$ 회, 가희가 이긴 횟수를 $y$ 회라 하면 $\\begin{cases} x+y=11 \\cdots\\cdots ㉠\\\\ 3y-x=13 \\cdots\\cdots ㉡ \\end{cases}$ $㉠+㉡$을 하면 $4y=24$ $∴$ $y=6$ $y=6$을 ㉠에 대입하면 $x+6=11$ $∴$ $x=5$ 따라서 가희가 이긴 횟수는 $6$ 회이다."
    },
    {
        "question": "$7$ 점짜리 문제와 $8$ 점짜리 문제를 합하여 $41$ 개가 출제되고, 모두 맞히면 $300$ 점인 시험이 있다. $7$ 점짜리 문제는 몇 개인지 구하여라.",
        "answer": "$7$ 점짜리 문제 수를 $x$ 개, $8$ 점짜리 문제 수를 $y$ 개라 하면 $\\begin{cases} x+y = 41 \\cdots ㉠\\\\  7x+8y = 300 \\cdots ㉡ \\end{cases}$ $㉠\\times7-㉡$을 하면 $-y=-13$ $∴ y=13$ $y=13$을 $㉠$에 대입하면 $x+13=41$ $∴ x=28$ 따라서 $7$ 점짜리 문제는 $28$ 개이다."
    },
    {
        "question": "현아와 태호가 가위바위보를 하여 이긴 사람은 $3$ 계단을 올라가고 진 사람은 $1$ 계단을 내려가기로 하였다. 가위바위보를 총 $14$ 회 하여 현아가 처음 위치보다 $6$ 계단을 올라가 있었을 때, 현아가 이긴 횟수를 구하여라. (단, 비기는 경우는 없었다.)",
        "answer": "현아가 이긴 횟수를 $x$ 회, 태호가 이긴 횟수를 $y$ 회라 하면 $\\begin{cases} x+y =14 \\cdots \\cdots ㉠ 3x-y=6  \\cdots \\cdots ㉡ \\end{cases}$ $㉠+㉡$을 하면 $4x=20$ $\\therefore$ $x=5$ $x=5$를 $㉠$에 대입하면 $5+y=14$ $\\therefore$ $y=9$ 따라서 현아가 이긴 횟수는 $5$ 회이다."
    },
    {
        "question": "연립방정식 $ \\begin{cases} -4x+3y=2 \\cdots\\cdots㉠\\\\ ax-4y=-5\\cdots\\cdots㉡  \\end{cases} $에서 $\\text{㉠}\\times3+\\text{㉡}\\times4$를 하였더니 $x$가 소거되었다. 이때 수 $a$의 값을 구하여라.",
        "answer": "$㉠\\times3$을 하면 $-12x+9y=6$  $㉡\\times4$를 하면 $4ax-16y=-20$  $㉠\\times3+㉡\\times4$를 하면 $(-12+4a)x-7y=-14$  $x$가 소거되려면 $-12+4a=0$  $∴ a=3$"
    },
    {
        "question": "다음은 어느 아이스크림 가게의 주문표이다. 세나가 체리 맛 $1$ 개와 망고 맛 $1$ 개를 주문했을 때, 지불해야 하는 금액을 구하여라. <table border> <tbody> <tr> <td>주문번호</td> <td>체리 맛</td> <td>망고 맛</td> <td>바나나 맛</td> <td>합계(원)</td> </tr> <tr> <td>$~~~~~1$</td> <td>$~~~~1$</td> <td> </td> <td>$~~~~~4$</td> <td>$10500$</td> </tr> <tr> <td>$~~~~~2$</td> <td> </td> <td>$~~~~4$</td> <td> </td> <td>$12000$</td> </tr> <tr> <td>$~~~~~3$</td> <td>$~~~~3$</td> <td> </td> <td>$~~~~~2$</td> <td>$11000$</td> </tr> </tbody> </table>",
        "answer": "체리 맛 $1$ 개의 가격을 $x$ 원, 바나나 맛 $1$ 개의 가격을 $y$ 원이라 하면 $x+4Y=10500$$.....㉠$$3x+2y=11000$$......㉡$ $㉠\\times3-㉡$을 하면 $10y=20500$ $∴$ $y=2050$ $y=2050$을 $㉠$에 대입하면 $x+8200=10500$ $∴$ $x=2300$ 망고 맛 $1$ 개의 가격은 $12000\\div4$$=3000$ (원) 따라서 세나가 지불해야 하는 금액은 $2300+3000$$=5300$ (원)"
    },
    {
        "question": "현지와 경아가 가위바위보를 하여 이긴 사람은 $5$ 계단을 올라가고 진 사람은 $2$ 계단을 내려가기로 하였다. 가위바위보를 총 $13$ 회 하여 현지가 처음 위치보다 $9$ 계단을 올라가 있었을 때, 현지가 이긴 횟수를 구하여라. (단, 비기는 경우는 없었다.)",
        "answer": "현지가 이긴 횟수를 $x$ 회, 경아가 이긴 횟수를 $y$ 회라 하면 $\\begin{cases} x+y=13 ······㉠\\\\  5x-2y=9 ······㉡ \\end{cases}$ $㉠\\times2+㉡$을 하면 $7x=35$ $∴ x=5$ $x=5$를 $㉠$에 대입하면 $5+y=13$ $∴ y=8$ 따라서 현지가 이긴 횟수는 $5$ 회이다."
    },
    {
        "question": "배 $5개$와 사과 $7개$의 가격은 $8700원$이고, 배 한 개의 가격은 사과 한 개의 가격보다 $300원$ 비싸다고 한다. 배 $6개$와사과 $3개$를 살 때, 총금액을 구하여라.",
        "answer": "배 한 개의 가격을 $x$ 원, 사과 한 개의 가격을 $y$ 원이라 하면 $㉡$을 $㉠$에 대입하면 $5(y+300)+7y=8700$ $5y+1500+7y=8700$ $12y=7200$ $∴$ $y=600$ $y=600$을 $㉡$에 대입하면 $x=900$ 따라서 배 $6$ 개와 사과 $3$ 개를 살 때, 총금액은 $6\\times900+3\\times600$$=7200$ (원)"
    },
    {
        "question": "규호네 집에서 기차역까지의 거리는 $3 km$이다. 규호는 집에서 오전 $8$ 시에 출발하여 기차역을 향해 시속 $2 km$로 걷다가 기차 시간에 늦을 것 같아 도중에 시속 $4 km$로 달려서 오전 $9$ 시에 기차역에 도착하였다. 이때 규호가 달려간 거리를 구하여라.",
        "answer": "걸어간 거리를 $x km$, 달려간 거리를 $y km$라 하면  $\\begin{cases} x+y=3 \\\\  \\frac{x}{2}+\\frac{y}{4}=1 \\\\  \\end{cases}$ $\\rightarrow$  $\\begin{cases} x+y=3 \\cdots\\cdots㉠\\\\  2x+y=4 \\cdots\\cdots㉡ \\\\  \\end{cases}$   $㉠-㉡$을 하면 $-x=-1$ $∴ x=1$ $x=1$을 $㉠$에 대입하면 $1+y=3$ $∴ y=2$ 따라서 규호가 달려간 거리는 $2 km$이다."
    },
    {
        "question": "수희와 현태가 가위바위보를 하여 이긴 사람은 $2$ 계단을 올라가고 진 사람은 $1$ 계단을 내려가기로 하였다. 가위바위보를 총 $25$ 회 하여 수희가 처음 위치보다 $20$ 계단을 올라가 있었을 때, 수희가 이긴 횟수를 구하여라. (단, 비기는 경우는 없었다.)",
        "answer": "수희가 이긴 횟수를 $x$ 회, 현태가 이긴 횟수를 $y$ 회라 하면 $ \\begin{cases} x+y=25\\cdots\\cdots㉠ \\\\ 2x-y=20\\cdots\\cdots㉡ \\end{cases} $ $㉠+㉡$을 하면 $3x=45$ $∴$ $x=15$ $x=15$를 ㉠에 대입하면 $15+y=25$ $∴$ $y=10$ 따라서 수희가 이긴 횟수는 $15$ 회이다."
    },
    {
        "question": "태호와 현민이가 오래달리기 경주를 하는 데 태호는 출발 지점에서 초속 $6 m$, 현민이는 태호보다 $9 m$ 앞에서 초속 $3 m$로 동시에 출발하였다. 두 사람이 만나는 것은 출발한 지 몇 초 후인지 구하여라.",
        "answer": "태호가 달린 거리를 $x m$, 현민이가 달린 거리를 $y m$라 하면 $\\begin{cases} x=y+9 \\\\  \\frac{x}{6}=\\frac{y}{3} \\\\  \\end{cases}$ →  $\\begin{cases} x=y+9\\cdots\\cdots ㉠\\\\  x-2y=0\\cdots\\cdots ㉡ \\\\  \\end{cases}$$㉠$을 $㉡$에 대입하면 $(y+9)-2y=0$ $-y=-9$ $∴ y=9$ $y=9$를 $㉠$에 대입하면 $x=18$ 따라서 두 사람이 만나는 것은 출발한 지 $\\frac{18}{6}=3$  (초)후이다."
    },
    {
        "question": "일차방정식 $ax+(a+3)y+b=0$에 대하여 $x=1$일 때 $y=1$이고, $x=2$일 때 $y=-1$이다. $x=3$일 때, $y$의 값을 구하여라. (단, $a$, $b$는 수)",
        "answer": "$x=1$, $y=1$을 $ax+(a+3)y+b=0$에 대입하면 $a+a+3+b$$=0$ $∴$ $2a+b=-3 ······ ㉠$ $x=2$, $y=-1$을 $ax+(a+3)y+b=0$에 대입하면 $2a-(a+3)+b$$=0$ $2a-a-3+b$$=0$ $∴$ $a+b=3 ······ ㉡$ $㉠-㉡$을 하면 $a=-6$ $a=-6$을 $㉠$에 대입하면 $-12+b=-3$ $∴$ $b=9$ 따라서 주어진 일차방정식은 $-6x-3y+9=0$이고, $x=3$을 이 일차방정식에 대입하면 $-18-3y+9=0$ $∴$ $y=-3$"
    },
    {
        "question": "다음은 연립방정식 $\\begin{cases} \\frac{x-y}{10}=1  ······㉠ \\\\  \\frac{1}{2}x+\\frac{5}{4}y=-2······㉡ \\end{cases}$  를 푸는 과정이다.  $\\square $안에 알맞은 것을 써넣어라. $\\\\㉠\\times10$을 하면 $\\square=10$ ······ $㉢$ $\\\\㉡\\times4$를 하면 $\\square=-8$ ······ $㉣$ $\\\\㉢\\times2-㉣$을 하면 $-7y=28$ $\\\\∴ y=-4$ $\\\\y=-4$를 $㉣$에 대입하면 $\\square= -8$ $\\\\∴x=\\square$",
        "answer": "$㉠\\times10$을 하면 $x-y=10$ $······ ㉢$ $㉡\\times4$를 하면 $2x+5y=-8$ $······ ㉣$ $㉢\\times2-㉣$을 하면 $-7y=28$ $∴ y=-4$ $y=-4$를 $㉣$에 대입하면 $2x-20=-8$ $∴ x=6$"
    },
    {
        "question": "어느 동아리의 전체 학생 수는 $48$ 명이다. 이번 봉사활동에 여학생의 $\\frac{1}{8}$과 남학생의 $\\frac{1}{6}$이 참가하여 모두 $7$ 명이 다녀왔다. 이 동아리의 여학생 수를 구하여라.",
        "answer": "여학생 수를 $x$ 명, 남학생 수를 $y$ 명이라 하면  $\\begin{cases} x+y=48 \\\\  \\frac{1}{8}x+\\frac{1}{6}y=7  \\end{cases}$→$\\begin{cases} x+y=48 \\\\  3x+4y=168  \\end{cases}$  $㉠\\times3-㉡$을 하면 $-y=-24$ $∴ y=24$ $y=24$를 ㉠에 대입하면 $x+24=48$ $∴ x=24$ 따라서 여학생 수는 $24$ 명이다."
    },
    {
        "question": "희수와 경호가 함께 하면 $12$ 일 만에 마칠 수 있는 일을 희수가 $6$ 일 동안 작업한 후 나머지를 경호가 $15$ 일 동안 작업하여 모두 마쳤다. 이 일을 희수가 혼자 하면 며칠이 걸리는지 구하여라. (단, 전체 일의 양은 $1$로 한다.)",
        "answer": "희수가 하루에 할 수 있는 일의 양을 $x$, 경호가 하루에 할 수 있는 일의 양을 $y$라 하면 전체 일의 양이 $1$이므로 $\\begin{cases} 12x+12y=1 \\cdots\\cdots ㉠ \\\\  6x+15y=1 ~~\\cdots\\cdots ㉡\\\\  \\end{cases}$ $㉠-㉡\\times2$를 하면 $-18y=-1$ $∴$ $y=\\frac{1}{18}$ $y=\\frac{1}{18}$을 $㉡$에 대입하면 $6x+\\frac{5}{6}=1$ $∴$ $x=\\frac{1}{36}$ 따라서 희수가 혼자 하면 $36$ 일이 걸린다.  희수가 하루에 할 수 있는 일의 양이 $\\frac{1}{36}$, 경호가 하루에 할 수 있는 일의 양이 $\\frac{1}{18}$이면 $12\\times\\frac{1}{36}+12\\times\\frac{1}{18}=1$이고, $6\\times\\frac{1}{36}+15\\times\\frac{1}{18}=1$이므로 구한 해는 문제의 뜻에 맞는다."
    },
    {
        "question": "준규와 희주가 가위바위보를 하여 이긴 사람은 $a$ 계단을 올라가고 진 사람은 $b$ 계단을 내려가기로 하였다. 얼마 후 준규가 $9$ 회 이기고 희주가 $6$ 회 이겨서 준규는 처음 위치보다 $27$ 계단을 올라가 있고, 희주는 처음 위치보다 $3$ 계단을 올라가 있었다고 할 때, $a+b$의 값을 구하여라. (단, 비기는 경우는 없었다.)",
        "answer": "준규가 이긴 횟수는 $9$ 회, 희주가 이긴 횟수는 $6$ 회이므로 $\\begin{cases} 9a-6b=27 \\cdots \\cdots ㉠ \\\\  6a-9b=3\\cdots \\cdots ㉠ \\end{cases}$ $㉠\\times3-㉠\\times2$를 하면 $15a=75$ $\\therefore$ $a=5$ $a=5$를 $㉠$에 대입하면 $45-6b=27$ $\\therefore$ $b=3$ $\\therefore$ $a+b$$=5+3$$=8$"
    },
    {
        "question": "다음 연립방정식을 풀어라. $ \\begin{cases} 3x-2y=-2······㉠\\\\ -3x+5y=-1 ······㉡ \\end{cases}$",
        "answer": "$㉠+㉡$을 하면 $3y=-6$ $∴$ $y=-2$ $y=-2를 ㉠에 대입하면 3x+4=-2$ $∴$ $x=-2$"
    },
    {
        "question": "두 일차함수 $y=ax+b$, $y=-x+4$의 그래프가 다음 그림과 같을 때, 수 $a$, $b$에 대하여 $6a-b$의 값을 구하여라.",
        "answer": "두 그래프의 교점의 $x$좌표가 $3$이므로 $y=-x+4$에 $x=3$을 대입하면 $y$$=-3+4$$=1$ $y=ax+b$의 그래프가 점 $(0, -1)$을 지나므로 $-1=a\\times0+b$ $∴ b=-1$ $y=ax-1$의 그래프가 점 $(3, 1)$을 지나므로 $1=3a-1$ $∴ a=\\frac{2}{3}$ $∴ 6a-b$$=6\\times\\frac{2}{3}-(-1)$$=5$"
    },
    {
        "question": "방정식 $\\frac{x}{4}+y=x+y-a=x$의 해가 일차방정식 $x+3y=13$을 만족시킬 때, 수 $a$의 값을 구하여라.",
        "answer": "연립방정식 $\\begin{cases} \\frac{x}{4}+y=x \\\\  x+3y=13 \\end{cases}$의 해가 $x+3y=13$을 만족시키므로 계수와 상수항에 문자가 없는 두 일차방정식을 연립하면 $\\begin{cases} \\frac{x}{4}+y=x \\\\  x+3y=13 \\end{cases}  \\rightarrow  \\begin{cases} -3x+4y=0 \\cdots \\cdots ㉠ \\\\  x+3y=13 \\cdots \\cdots ㉡ \\end{cases}$  $㉠+㉡\\times3$을 하면 $13y=39$ $∴$ $y=3$ $y=3$을 ㉡에 대입하면 $x+9=13$ $∴$ $x=4$ $x=4$, $y=3$을 $x+y-a=x$에 대입하면 $4+3-a=4$ $∴$ $a=3$"
    },
    {
        "question": "등산을 하는 데 올라갈 때는 시속 $2 km$로 걷고, 내려올 때는 다른 길을 택하여 시속 $5 km$로 걸어서 모두 $3$ 시간이 걸렸다. 총 $9 km$를 걸었다고 할 때, 내려온 거리를 구하여라.",
        "answer": "올라간 거리를 $x$ $km$, 내려온 거리를 $y$$ km$라 하면  $\\begin{cases} x+y=9 \\\\   \\frac{x}{2}+\\frac{y}{5}=3\\\\  \\end{cases}→ \\begin{cases} x+y=9 \\dots ㉠\\\\  5x+2y=30 \\dots㉡\\\\  \\end{cases} ㉠\\times2-㉡$을 하면 $-3x=-12$ $∴$ $x=4$ $x=4$를 $㉠$에 대입하면 $4+y=9$ $∴$ $y=5$ 따라서 내려온 거리는 $5$ $km$이다."
    },
    {
        "question": "두 수 중 큰 수를 작은 수로 나누면 몫은 $4$이고 나머지는 $3$이다. 또, 작은 수의 $10$ 배를 큰 수로 나누면 몫은 $2$이고 나머지는 $6$이다. 두 수의 차를 구하여라.",
        "answer": "큰 수를 $x$, 작은 수를 $y$라 하면  $\\begin{cases}     x=4y+3 ······ ㉠\\\\     10y = 2x+6 ······ ㉡\\\\   \\end{cases}$ $㉠$을 $㉡$에 대입하면 $10y=2(4y+3)+6$ $10y=8y+6+6$ $2y=12$ $∴ y=6$ $y=6$을 $㉠$에 대입하면 $x=27$ 따라서 두 수의 차는 $27-6=21$"
    },
    {
        "question": "다음 연립방정식을 풀어라. $ \\begin{cases} \\frac{1}{2}x-\\frac{3}{2}y=\\frac{1}{3}(1-5y) \\\\ 0.2(2x-y-1)-0.1y=0.5 \\end{cases} $",
        "answer": "$\\frac{1}{2}x-\\frac{3}{2}y=\\frac{1}{3}(1-5y)$의 양변에 $6$을 곱하면 $3x-9y=2(1-5y)$ $3x-9y=2-10y$ $∴ 3x+y=2 ······ ㉠$ $0.2(2x-y-1)-0.1y=0.5$의 양변에 $10$을 곱하면  $2(2x-y-1)-y=5$ $4x-3y-2=5$ $∴ 4x-3y=7 ······ ㉡$ $㉠\\times3+㉡$을 하면 $13x=13$ $∴ x=1$ $x=1$을 $㉠$에 대입하면 $3+y=2$ $∴ y=-1$"
    },
    {
        "question": "현재 어머니와 준수의 나이의 합은 $58$ 세이고, $12$ 년 후에 어머니의 나이는 준수의 나이의 $2$ 배보다 $1$ 세가 많다고 한다. 현재 어머니와 준수의 나이를 각각 구하여라.",
        "answer": "현재 어머니의 나이를 $x$ 세, 준수의 나이를 $y$ 세라 하면 $㉠-㉡$을 하면 $3y=45$ ∴ $y=15$ $y=15$를 $㉠$에 대입하면 $x+15=58$ $∴$ $x=43$ 따라서 현재 어머니의 나이는 $43$ 세, 준수의 나이는 $15$ 세이다."
    },
    {
        "question": "올해 할아버지와 삼촌의 나이의 합은 $100$ 세이다. 할아버지의 나이가 삼촌의 올해 나이였을 때, 삼촌의 나이는 할아버지의 올해 나이의 $\\frac{1}{8}$이었다. 올해 삼촌의 나이를 구하여라.",
        "answer": "올해 할아버지의 나이를 $x$ 세, 삼촌의 나이를 $y$ 세라 하면 $\\begin{cases} x+y=100 \\\\  x-y=y-\\frac{1}{8}x  \\end{cases}$ → $\\begin{cases} x+y=100  ~······~  ㉠  \\\\  9x-16y=0 ~······~  ㉡ \\end{cases}$ $㉠\\times9-㉡$을 하면 $25y=900$ $∴ y=36$ $y=36$을 ㉠에 대입하면 $x+36=100$ $∴ x=64$ 따라서 올해 삼촌의 나이는 $36$ 세이다."
    },
    {
        "question": "세로의 길이가 가로의 길이보다 $5$ $cm$ 더 긴 직사각형이 있다. 이 직사각형의 둘레의 길이가 $110$ $cm$보다 길지 않을 때, 가로의 길이는 몇 $cm$ 이하여야 하는지 구하여라.}",
        "answer": "가로의 길이를 $x cm$라 하면 세로의 길이는 $(x+5) cm$이므로  $2\\lbrace x+(x+5)\\rbrace\\le110$  $2(2x+5)\\le110$  $4x+10\\le110$  $4x\\le100$  $∴ x\\le25$  따라서 가로의 길이는 $25  cm$ 이하여야 한다.  확인 가로의 길이가 $25 cm$ 이하이면 직사각형의 둘레의 길이는 $2\\lbrace25+(25+5)\\rbrace=110 (cm)$ 이하이므로 구한 해는 문제의 뜻에 맞는다."
    },
    {
        "question": "준서는 여행지에서 레일 자전거를 탔다. 출발역에서 휴게소까지 분속 $100 m$로 가고, 휴게소에서 $10$ 분 쉬었다가 종점까지 분속 $130 m$로 가서 모두 $35 분$ 걸렸다. 휴게소에서 종점까지의 거리는 출발역에서 휴게소까지의 거리보다 $200 m$만큼 더 가깝다고 할 때, 출발역에서 종점까지의 거리를 구하여라.",
        "answer": "출발역에서 휴게소까지의 거리를 $x$ $m$, 휴게소에서 종점까지의 거리를 $y m$라 하면 $\\begin{cases} \\frac{x}{100}+10+\\frac{y}{130}=35 \\\\  y=x-200 \\end{cases}$ $\\rightarrow$ $\\begin{cases} 13x+10y=32500 \\cdots㉠\\\\  y=x-200\\cdots㉡ \\end{cases}$  $㉡$을 $㉠$에 대입하면 $13x+10(x-200)=32500$ $13x+10x-2000=32500$ $23x=34500$ $∴ x=1500$ $x=1500$을 ㉡에 대입하면 $y=1300$ 따라서 출발역에서 종점까지의 거리는 $1500+1300=2800 (m)$ 확인 출발역에서 휴게소까지의 거리가 $1500 m$이면 휴게소에서 종점까지의 거리는 $1500-200=1300 (m)$이고, 출발역에서 종점까지 가는 데 걸린 시간은 $\\frac{1500}{100}+10+\\frac{1300}{130}=35$ (분)이므로 구한 해는 문제의 뜻에 맞는다."
    },
    {
        "question": "형우와 세희가 가위바위보를 하여 이긴 사람은 $5$ 계단을 올라가고 진 사람은 $3$ 계단을 내려가기로 하였다. 얼마 후 형우는 처음 위치보다 $11$ 계단을 올라가 있고, 세희는 처음 위치보다 $19$ 계단을 올라가 있었다. 이때 세희가 이긴 횟수를 구하여라. (단, 비기는 경우는 없었다.)",
        "answer": "형우가 이긴 횟수를 $x$ 회, 세희가 이긴 횟수를 $y$ 회라 하면  $\\begin{cases} 5x-3y=11   \\cdots\\cdots ㉠ \\\\ 5y-3x=19   \\cdots\\cdots ㉡ \\end{cases}$  $㉠\\times5+㉡\\times3$을 하면 $16x=112$ $∴ x=7$ $x=7$을 ㉠에 대입하면 $35-3y=11$ $∴ y=8$ 따라서 세희가 이긴 횟수는 $8$ 회이다."
    },
    {
        "question": "재중이는 오후 $3$ 시에 집에서 $8$ km 떨어진 친구 집을 향해 출발하였다. 처음에는 시속 $5$ km로 걷다가 백화점에서 $30$ 분 동안 선물을 사고, 시속 $6$ km로 걸어서 친구 집에 오후 $5$ 시에 도착하였다. 이때 백화점에서 친구 집까지의 거리를 구하여라.",
        "answer": "집에서 백화점까지의 거리를 $x km$, 백화점에서 친구 집까지의 거리를 $y km$라 하면  $\\begin{cases} x+y=8 \\\\  \\frac{x}{5}+\\frac{1}{2}+\\frac{y}{6}=2 \\end{cases}$ $→$  $\\begin{cases} x+y=8 \\cdots\\cdots ㉠\\\\ 6x+5y=45 \\cdots\\cdots㉡ \\end{cases}$$\\\\$ $㉠\\times5-㉡$을 하면 $-x=-5$ $∴$ $x=5$ $x=5$를 $㉠$에 대입하면 $5+y=8$ $∴$ $y=3$ 따라서 백화점에서 친구 집까지의 거리는 $3km$이다."
    },
    {
        "question": "자연수 $x$에 대한 함수 $f(x)$=($x$를 8로 나눈 나머지)라 할 때, $f(55)-f(56)-f(57)$의 값을 구하여라.",
        "answer": "$55$를 $8$로 나눈 나머지는 $7$이므로 $f(55)=7$ $56$을 $8$로 나눈 나머지는 $0$이므로 $f(56)=0$ $57$을 $8$로 나눈 나머지는 $1$이므로 $f(57)=1$ $∴ f(55)-f(56)-f(57)$$=7-0-1$$=6$"
    },
    {
        "question": "할아버지의 나이는 아버지보다 $26$ 세가 많다. 할아버지가 아버지 나이였을 때, 아버지는 현재 주현이의 나이보다 $5$ 세가 많았고, 지금부터 $4$ 년 후에는 할아버지의 나이가 주현이의 나이의 $5$ 배보다 $3$ 세가 적어진다고 한다. 현재 아버지의 나이를 구하여라.",
        "answer": "현재 아버지의 나이를 $x$ 세, 주현이의 나이를 $y$ 세라 하면 할아버지의 나이는 $(x+26)$ 세이므로 $\\begin{cases} x-26=y+5 \\\\  (x+26)+4=5(y+4)-3 \\\\  \\end{cases}$ $ → $ $\\begin{cases} x-y=31 \\cdots\\cdots㉠ \\\\  x-5y=-13 \\cdots\\cdots㉡\\\\  \\end{cases}$ $㉠-㉡$을 하면 $4y=44$ $∴ y=11$ $y=11$을 ㉠에 대입하면 $x-11=31$ $∴ x=42$ 따라서 현재 아버지의 나이는 $42$ 세이다."
    },
    {
        "question": "연립방정식  $\\begin{cases} 2x-my=7 \\\\ nx+5y=3 \\\\ \\end{cases}$  의 해가 $(m-1, -1)$일 때, 수 $m$, $n$에 대하여 $2m-n$의 값을 구하여라.",
        "answer": "$x=m-1$, $y=-1$을 $2x-my=7$에 대입하면 $2(m-1)+m=7$ $2m-2+m=7$ $3m=9$ $∴ m=3$ $x=2$, $y=-1$을 $nx+5y=3$에 대입하면 $2n-5=3$ $2n=8$ $∴ n=4$ $∴ 2m-n=2\\times3-4=2$"
    },
    {
        "question": "길이가 $300 m$인 화물 열차가 어느 다리를 지나는 데 $40$초가 걸리고, 길이가 $240m$인 특급 열차는 이 다리를 화물 열차의 $2$배의 속력으로 $19$초 만에 지난다. 이때 화물 열차의 속력을 구하여라.",
        "answer": "다리의 길이를 $x$ $m$, 화물 열차의 속력을 초속 $y$ $m$라 하면  $\\begin{cases} x+300=40y \\\\  x+240= 2y \\times 19\\\\  \\end{cases} → \\begin{cases} x-4y=-300 \\dots  ㉠\\\\  x-38y=-240 \\dots㉡ \\end{cases} ㉠-㉡$을 하면 $-2y=-60$ $∴$ $y=30$ $y=30$을 $㉠$에 대입하면 $x-1200=-300$ $∴$ $x=900$ 따라서 화물 열차의 속력은 초속 $30$$ m$이다."
    },
    {
        "question": "$x$, $y$에 대한 순서쌍 $(a-6, a)$가 일차방정식 $4x-y=-12$의 한 해일 때, $a$의 값을 구하여라.",
        "answer": "$x=a-6$, $y=a$를 $4x-y=-12$에 대입하면  $4(a-6)-a=-12$  $4a-24-a=-12$  $3a=12$  $∴$ $a=4$"
    },
    {
        "question": "올해 삼촌과 형의 나이의 합은 $60$ 세이다. 삼촌의 나이가 형의 올해 나이였을 때, 형의 나이는 삼촌의 올해 나이의 $\\frac{1}{3}$이었다. 올해 삼촌의 나이를 구하여라.",
        "answer": "올해 삼촌의 나이를 $x$ 세, 형의 나이를 $y$ 세라 하면 $\\begin{cases} x+y=60 \\\\  x-y=y-\\frac{1}{3}x \\\\  \\end{cases}$  $→$  $\\begin{cases} x+y=60 \\cdots\\cdots㉠\\\\  2x-3y=0 \\cdots\\cdots㉡\\\\  \\end{cases}$ $㉠\\times2-㉡$을 하면 $5y=120$ $∴$ $y=24$ $y=24$를 $㉠$에 대입하면 $x+24=60$ $∴$ $x=36$ 따라서 올해 삼촌의 나이는 $36$ 세이다."
    },
    {
        "question": "두 일차방정식 $7x+2y=12$, $3x-4y=10$을 동시에 만족시키는 두 수 $x$, $y$에 대하여 $x+y+2(\\frac{1}{x}+\\frac{1}{y})$의 값을 구하려고 한다. (1) 연립방정식  $\\begin{cases} 7x+2y=12 \\\\  3x-4y=10 \\end{cases}$ 을 풀어라. (2)  $x+y+2(\\frac{1}{x}+\\frac{1}{y})$의 값을 구하여라.",
        "answer": "(1) $\\begin{cases} 7x+2y=12 \\cdots \\cdots ㉠\\\\  3x-4y=10 \\cdots \\cdots ㉡ \\end{cases}$ $㉠ \\times 2 +㉡$을 하면 $17x=34$ $\\therefore x =2$ $x=2$를 ㉠에 대입하면 $14+2y=12$ $\\therefore y=-1$ (2) $x=2$, $y=-1$이므로 $x+y+2(\\frac{1}{x}+\\frac{1}{y})$$=2+(-1)+2\\times(\\frac{1}{2}-1)$$=0$"
    },
    {
        "question": "일차함수 $y=-2x+4$의 그래프와 $x$축 위에서 만나고, 일차함수 $y=5x+8$의 그래프와 $y$축 위에서 만나는 직선을 그래프로 하는 일차함수의 식을 구하여라.",
        "answer": "$y=-2x+4$의 그래프의 $x$절편은 $2$이고, $y=5x+8$의 그래프의 $y$절편은 $8$이다. 구하는 일차함수의 그래프가 두 점 $(2, 0)$, $(0, 8)$을 지나므로 $(기울기)$$=\\frac{8-0}{0-2}$$=-4$ 기울기가 $-4$, $y$절편이 $8$이므로 $y=-4x+8$"
    },
    {
        "question": "일차함수 $y=\\frac{2}{5}x+2$의 그래프와 평행한 것을 보기에서 모두 골라라. 보기 ㄱ. $y$절편이 $-2$이고 점$(10, 2)$를 지나는 직선 ㄴ. 기울기가 $\\frac{2}{5}$ 이고 $y$절편이 $5$인 직선 ㄷ. 두 점$(-5, -6)$,$(-4, -4)$를 지나는 직선 ㄹ. $x$절편이 $10$이고 $t$절편이 $-4$인 직선 ㅁ. 일차함수 $y=\\frac{5}{2}x+2$의 그래프",
        "answer": "$y=\\frac{2}{5}x+2$의 그래프와 평행하려면 기울기가 $\\frac{2}{5}$이고 $y$절편이 $2$가 아니어야 한다. ㄱ. $(기울기)=\\frac{2-(-2)}{10-0}$$=\\frac{2}{5}$, $(y절편)$$=-2$ ㄴ. $(기울기)=-\\frac{2}{5}$, $(y절편)$$=5$ ㄷ. $(기울기)=\\frac{(-4)-(-6)}{(-4)-(-5)}$$=2$ ㄹ. $(기울기)=\\frac{-4-0}{0-10}$$=\\frac{2}{5}$, $(y절편)$$=-4$ ㅁ. $(기울기)=\\frac{5}{2}$, $(y절편)$$=2$"
    },
    {
        "question": "자연수 $x$, $y$에 대한 일차방정식 $ax+2y=45$의 해를 나타낸 표이다. 다음 물음에 답하여라. (단, $a$는 수) <table border> <tbody> <tr> <td>$x$</td> <td>$1$</td> <td>$3$</td> <td>$c$</td> </tr> <tr> <td>$y$</td> <td>$b$</td> <td>$15$</td> <td>$10$</td> </tr>  </tbody> </table> (1)$a$의 값을 구하여라.   (2) $a+b+c$의 값을 구하여라.",
        "answer": "(1)$x=3$, $y=15$를 $ax+2y=45$에 대입하면 $3a+30=45$ $3a=15$ $∴ a=5$ (2)$a=5$이므로 주어진 일차방정식은 $5x+2y=45$ $x=1$, $y=b$를 $5x+2y=45$에 대입하면 $5+2b=45$ $2b=40$ $∴ b=20$ $x=c$, $y=10$을 $5x+2y=45$에 대입하면 $5c+20=45$ $5c=25$ $∴ c=5$ $∴ a+b+c=5+20+5=30$"
    },
    {
        "question": "올해 할아버지와 아버지의 나이의 합은 $140$ 세이다. 할아버지의 나이가 아버지의 올해 나이였을 때, 아버지의 나이는 할아버지의 올해 나이의 $\\frac{1}{9}$이었다. 올해 아버지의 나이를 구하여라.",
        "answer": "올해 할아버지의 나이를 $x$ 세, 아버지의 나이를 $y$ 세라 하면  → $ \\begin{cases} x+y=140\\\\ x-y=y-\\frac{1}{9} \\\\ \\end{cases} $  $→$$ \\begin{cases} x+y=140 \\cdots\\cdots㉠ \\\\ 5x-9y=0 \\cdots\\cdots㉡ \\\\ \\end{cases} $ $㉠\\times5-㉡$을 하면 $14y=700$ $∴ y=50$ $y=50$을 $㉠$에 대입하면 $x+50=140$ $∴ x=90$ 따라서 올해 아버지의 나이는 $50$ 세이다."
    },
    {
        "question": "할머니의 나이는 어머니보다 $26$ 세가 많다. 할머니가 어머니 나이였을 때, 어머니는 현재 지연이의 나이보다 $2$ 세가 많았고, 지금부터 $6$년 후에는 할머니의 나이가 지연이의 나이의 $6$배 보다 $1$ 세가 적어진다고 한다. 현재 어머니의 나이를 구하여라.",
        "answer": "현재 어머니의 나이를 $x$ 세, 지연이의 나이를 $y$ 세라 하면 할머니의 나이는 $(x+26)$ 세이므로 $\\begin{cases} x-26=y+2 \\\\  (x+26)+6=6(y+6)-1 \\\\  \\end{cases}$ $\\rightarrow$ $\\begin{cases} x-y=28 \\cdots\\cdots ㉠\\\\  x-6y=3 \\cdots\\cdots ㉡\\\\  \\end{cases}$  $㉠-㉡$을 하면 $5y=25$ $∴$ $y=5$ $y=5$를 ㉠에 대입하면 $x-5=28$ $∴$ $x=33$ 따라서 현재 어머니의 나이는 $33$ 세이다."
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같은 일차함수의 그래프에서 $x$의 값이 $4$만큼 증가할 때, $y$의 값의 증가량을 구하여라.",
        "answer": "그래프가 두 점 $(0, -6)$, $(3, 0)$을 지나므로 $(기울기)=\\frac{0-(-6)}{3-0}$$=2$ $\\frac{(y의 값의 증가량)}{4}$$=2$이므로 $(y의 값의 증가량)$$=2\\times4$$=8$"
    },
    {
        "question": "재현이와 경미가 가위바위보를 하여 이긴 사람은 $3$ 계단을 올라가고 진 사람은 $1$ 계단을 내려가고 비기면 두 사람 모두 $1$ 계단씩 내려가기로 했다. 그 결과 재현이는 처음 위치보다 $5$ 계단을, 경미는 처음 위치보다 $1$ 계단을 올라가 있었다. 비긴 횟수가 모두 $2$ 회일 때, 두 사람이 가위바위보를 한 전체 횟수를 구하여라.",
        "answer": "재현이가 이긴 횟수를 $x$ 회, 경미가 이긴 횟수를 $y$ 회라 하면 비긴 횟수가 모두 $2$ 회이므로  \\[ \\left\\{\\begin{array} { l }  { 3 x - y - 2 = 5 } \\\\ { 3 y - x - 2 = 1 } \\end{array} \\rightarrow \\left\\{\\begin{array}{l} 3 x-y=7 \\cdots \\cdots㉠  \\\\ -x+3 y=3 \\cdots \\cdots㉡ \\end{array}\\right.\\right. \\] $㉠+㉡\\times3$을 하면 $8y=16$ $∴$ $y=2$ $y=2$를 ㉠에 대입하면 $3x-2=7$ $∴$ $x=3$ 따라서 가위바위보를 한 전체 횟수는 $3+2+2$$=7$ (회) 확인 재현이가 $3$ 회 이기고, 경미가 $2$ 회 이기면 재현이는 $3\\times3-2-2=5$ (계단) 올라가고, 경미는 $3\\times2-3-2=1$ (계단) 올라가므로 구한 해는 문제의 뜻에 맞는다."
    },
    {
        "question": "일차함수 $y=ax+2$의 그래프는 일차함수 $y=-4(x-3)$의 그래프와 평행하고, 두 점 $(b, 6)$, $(-2, c)$를 지날 때, $a+b+c$의 값을 구하여라. (단, $a$는 수)",
        "answer": "기울기가 같고 $y$절편이 다른 두 그래프는 서로 평행하고 $y=-4(x-3)=-4x+12$이므로 $a=-4$ $y=-4x+2$의 그래프가 점 $(b, 6)$을 지나므로 $6=-4b+2$ $∴$ $b=-1$ 또, $y=-4x+2$의 그래프가 점 $(-2, c)$ 를 지나므로 $c$$=(-4)\\times(-2)+2$$=10$ $∴$ $a+b+c$$=-4+(-1)+10$$=5$"
    },
    {
        "question": "시은이는 여행지에서 레일 자전거를 탔다. 출발역에서 휴게소까지 분속 $100 m$로 가고, 휴게소에서 $10 분$ 쉬었다가 종점까지 분속 $110 m$로 가서 모두 $44 분$ 걸렸다. 휴게소에서 종점까지의 거리는 출발역에서 휴게소까지의 거리보다 $800 m$만큼 더 멀다고 할 때, 출발역에서 종점까지의 거리를 구하여라.",
        "answer": "출발역에서 휴게소까지의 거리를 $x m$, 휴게소에서 종점까지의 거리를 $y m$라 하면 $\\begin{cases} \\frac{x}{100}+10+\\frac{y}{110}=44\\\\  y=x+800 \\end{cases}$$\\rightarrow$ $\\begin{cases} 11x+10y+37400\\cdots\\cdots㉠ \\\\  y=x+800 \\cdots\\cdots㉡\\end{cases}$ ㉡을 ㉠에 대입하면 $11x+10(x+800)=37400$ $11x+10x+8000=37400$ $21x=29400$ $∴$ $x=1400$ $x=1400$을 ㉡에 대입하면 $y=2200$ 따라서 출발역에서 종점까지의 거리는 $1400+2200=3600 (m)$ 확인  출발역에서 휴게소까지의 거리가 $1400 m$이면 휴게소에서 종점까지의 거리는 $1400+800=2200 (m)$이고, 출발역에서 종점까지 가는 데 걸린 시간은 $\\frac{1400}{100}+10+\\frac{2200}{110}=44$ (분)이므로 구한 해는 문제의 뜻에 맞는다."
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같은 일차함수의 그래프에서 $x$의 값이 $2$만큼 증가할 때, $y$의 값의 증가량을 구하여라.",
        "answer": "그래프가 두 점 $(0, 6)$, $(3, 0)$을 지나므로 $(기울기)=\\frac{0-6}{3-0}$$=-2$ $\\frac{(y의 값의 증가량)}{2}$$=-2$이므로 $(y의 값의 증가량)$$=(-2)\\times2$$=-4$"
    },
    {
        "question": "방정식 $(a-2)x-2by=2x-y=x+7$의 해가 방정식  $ax+(b+4)y=2x+y=x+3$을 만족시킬 때, 수 $a$, $b$에 대하여 $5a-b$의 값을 구하여라.",
        "answer": "연립방정식 $\\begin{cases} (a-2)x-2by=x+7 \\\\  2x-y=x+7  \\end{cases}$ 의 해가 연립방정식 $\\begin{cases} ax+(b+4)y=x+3 \\\\  2x+y=x+3  \\end{cases}$ 을 만족시키므로 계수와 상수항에 문자가 없는 두 일차방정식을 연립하면  $\\begin{cases} 2x-y=x+7 \\\\  2x+y=x+3  \\end{cases}$$ → $$\\begin{cases} x-y=7 \\cdots \\cdots ㉠\\\\  x+y=3 \\cdots \\cdots㉡ \\end{cases}$ $㉠+㉡$을 하면 $2x=10$ $∴ x=5$ $x=5$를 ㉠에 대입하면 $5-y=7$ $∴ y=-2$ 연립방정식 $\\begin{cases} (a-2)x-2by=x+7 \\\\  ax+(b+4)y=x+3  \\end{cases}$ 의 해도 $x=5$, $y=-2$이므로 대입하면  $\\begin{cases} 5(a-2)+4b=12 \\\\  5a-2(b+4)=8  \\end{cases}$$→$$\\begin{cases} 5a+4b=22 \\cdots \\cdots ㉢\\\\  5a-2b=16 \\cdots \\cdots ㉣ \\end{cases}$ $㉢-㉣$을 하면 $6b=6$ $∴ b=1$ $b=1$을 ㉣에 대입하면 $5a-2=16$ $∴ a=\\frac{18}{5}$ $∴ 5a-b=5\\times\\frac{18}{5}-1=17$"
    },
    {
        "question": "일차함수 $y=ax-4$의 그래프가 $x$축, $y$축과 만나는 점을 각각 $A$, $B$라 할 때, $\\overline{OA}=\\frac{3}{4}\\overline{OB}$를 만족시킨다. 이때 음수 $a$의 값을 구하여라. (단, O는 원점)",
        "answer": "$a$는 음수이므로 $y=ax-4$의 그래프는 다음과 같다.  이때 $\\overline{OB}$$=4$이므로 $\\overline{OA}=\\frac{3}{4}\\overline{OB}$$=3$ $∴ A(-3, 0)$ $y=ax-4$의 그래프는 두 점 $A(-3, 0)$, $B(0, -4)$를 지나므로 $a$$=(기울기)$$=\\frac{-4-0}{0-(-3)}$$=-\\frac{4}{3}$"
    },
    {
        "question": "다음은 민수의 출석 번호에 대한 설명이다. 민수의 출석 번호를 구하여라.$\\\\$ 민수의 출석 번호는 두 자리의 자연수이다.$\\\\$ 출석 번호의 일의 자리의 숫자에서 십의 자리의 숫자를 빼면 $6$ 이다.$\\\\$ 출석 번호의 십의 자리의 숫자와 일의 자리의 숫자를 바꾸면 원래 번호의 $4$ 배보다 $3$ 만큼 크다.",
        "answer": "출석 번호의 십의 자리의 숫자를 $x$, 일의 자리의 숫자를 $y$라 하면    $㉠\\times6-㉡$을 하면 $33x=33$ $ \\therefore x=1$ $x=1$을 $㉠$에 대입하면 $-1+y=6$ $ \\therefore y=7$ 따라서 민수의 출석 번호는 $17$ 번이다.  $17$의 일의 자리의 숫자에서 십의 자리의 숫자를 빼면 $7-1=6$ 또, 십의 자리의 숫자와 일의 자리의 숫자를 바꾼 번호는 $71$ 번이고, $4\\times17+3=71$이므로 구한 해는 문제의 뜻에 맞는다."
    },
    {
        "question": "일차함수 $y=-\\frac{1}{3}x+2$의 그래프와 평행하고, 점 $(3, -3)$을 지나는 직선의 $y$절편을 구하여라.",
        "answer": "$y=-\\frac{1}{3}x+2$의 그래프와 평행하므로 기울기가 $-\\frac{1}{3}$이고, $y$절편을 $b$라 하면 일차함수의 식은 $y=-\\frac{1}{3}x+b$ 이 함수의 그래프가 점 $(3, -3)$을 지나므로 $-3=(-\\frac{1}{3})\\times3+b$ $∴ b=-2$ 따라서 $y$절편은 $-2$이다."
    },
    {
        "question": "현진이는 여행지에서 레일 자전거를 탔다. 출발역에서 휴게소까지 분속 $100 m$로 가고, 휴게소에서 $10$ 분 쉬었다가 종점까지 분속 $140 m$로 가서 모두 $39$ 분 걸렸다. 휴게소에서 종점까지의 거리는 출발역에서 휴게소까지의 거리보다 $500 m$만큼 더 가깝다고 할 때, 출발역에서 종점까지의 거리를 구하여라.",
        "answer": "출발역에서 휴게소까지의 거리를 $x m$, 휴게소에서 종점까지의 거리를 $y m$하면$\\begin{cases} \\frac{x}{100}+10+\\frac{y}{140}=39\\\\  y=x-500\\\\  \\end{cases}$  $→$ $\\begin{cases} 7x+5y=20300\\cdots\\cdots ㉠\\\\  y=x-500\\cdots\\cdots ㉠ \\\\  \\end{cases}$ $㉡$을 $㉠$에 대입하면 $7x+5(x-500)=20300$ $7x+5x-2500=20300$ $12x=22800$ $∴ x=1900$ $x=1900$을 $㉡$에 대입하면 $y=1400$ 따라서 출발역에서 종점까지의 거리는 $1900+1400=3300 (m)$  확인 출발역에서 휴게소까지의 거리가 $1900 m$이면 휴게소에서 종점까지의 거리는 $1900-500=1400 (m)$이고, 출발역에서 종점까지 가는 데 걸린 시간은 $\\frac{1900}{100}+10+\\frac{1400}{140}=39$ (분)이므로 구한 해는 문제의 뜻에 맞는다."
    },
    {
        "question": "다음 그림에서 점 $O$가 $\\triangle ABC$의 외심이고, $\\angle BAO=17\\degree$, $\\angle CAO=41\\degree$이다. $\\angle C-\\angle B$의 크기를 구하여라.",
        "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{OB}$, $\\overline{OC}$를 그으면 $17\\degree+\\angle BCO+41\\degree=90\\degree$ ∴ $\\angle BCO$$=\\angle CBO$$=32\\degree$ $\\angle ACO$$=\\angle CAO$$=41\\degree$이므로 $\\angle ACB=32\\degree+41\\degree=73\\degree$ $\\angle ABO$$=\\angle BAO$$=17\\degree$이므로 $\\angle ABC=32\\degree+17\\degree=49\\degree$ ∴ $\\angle C-\\angle B$$=73\\degree-49\\degree$$=24\\degree$"
    },
    {
        "question": "두 점 $(1, 1)$, $(2, 5)$를 지나는 일차함수의 그래프의 기울기를 구하여라.",
        "answer": "$(기울기)$$=\\frac{5-1}{2-1}$$=4$"
    },
    {
        "question": "지윤이는 여행지에서 레일 자전거를 탔다. 출발역에서 휴게소까지 분속 $100 m$로 가고, 휴게소에서 $10$ 분 쉬었다가 종점까지 분속 $120 m$로 가서 모두 $40 분$ 걸렸다. 휴게소에서 종점까지의 거리는 출발역에서 휴게소까지의 거리보다 $300 m$만큼 더 멀다고 할 때, 출발역에서 종점까지의 거리를 구하여라.",
        "answer": "출발역에서 휴게소까지의 거리를 $x m$, 휴게소에서 종점까지의 거리를 $y m$라 하면 $\\begin{cases} \\frac{x}{100}+10+\\frac{y}{120}=40 \\\\   y=x+300 \\end{cases} \\rightarrow $ $\\begin{cases} 6x+5y=18000 \\cdots  ㉠\\\\   y=x+300 \\cdots  ㉡ \\end{cases}$ $㉡$을 $㉠$에 대입하면 $6x+5(x+300)=18000$ $6x+5x+1500=18000$ $11x=16500$ $∴ x=1500$ $x=1500$을 $㉡$에 대입하면 $y=1800$ 따라서 출발역에서 종점까지의 거리는 $1500+1800=3300 (m)$ 확인 출발역에서 휴게소까지의 거리가 $1500 m$이면 휴게소에서 종점까지의 거리는 $1500+300=1800 (m)$이고, 출발역에서 종점까지 가는 데 걸린 시간은 $\\frac{1500}{100}+10+\\frac{1800}{120}=40$ (분)이므로 구한 해는 문제의 뜻에 맞는다."
    },
    {
        "question": "다음 연립방정식을 풀어라. $y=-2x ······㉠$  $5x+y=9 ······ ㉡$",
        "answer": "$㉠$을 $㉡$에 대입하면 $5x-2x=9$ $3x=9$ $∴ x=3$ $x=3$을 $㉠$에 대입하면 $y=-6$"
    },
    {
        "question": "산의 정상까지 $A$, $B$ 두 코스가 있다. $A$ 코스로 정상까지 시속 $2 km$로 올라가서 $B$ 코스로 시속 $5 km$로 내려왔더니 모두 $4$ 시간이 걸렸다. $A$, $B$ 코스의 거리의 합이 $14 km$일 때, $A$, $B$ 두 코스의 거리의 차를 구하여라.",
        "answer": "A 코스의 거리를 $x$ $km$, B 코스의 거리를 $y$$ km$라 하면 $\\begin{cases} x+y=14 \\\\  \\frac{x}{2}+\\frac{y}{5}=4 \\end{cases}$ $\\rightarrow$ $\\begin{cases} x+y=14\\cdots㉠ \\\\  5x+2y=40\\cdots㉡ \\end{cases}$ $㉠\\times2-㉡$을 하면 $-3x=-12$ $∴ x=4$ $x=4$를 $㉠$에 대입하면 $4+y=14$ $∴ y=10$ 따라서 A, B 두 코스의 거리의 차는 $10-4=6 (km)$"
    },
    {
        "question": "높이가 $45$ $cm$인 원기둥 모양의 물통에 일정한 비율로 물을 넣으면 수면의 높이가 $3$ 분에 $4$ $cm$씩 높아진다고 한다. 수면의 높이가 $13$ $cm$일 때부터 물을 넣기 시작하였을 때, 물통을 가득 채우는 데 걸리는 시간을 구하여라.",
        "answer": "$1$ 분에 $\\frac{4}{3}$ $cm$씩 높아지므로 $x$ 분 후의 수면의 높이를 $y$ $ cm$라 하면 $y=13+\\frac{4}{3}x$ $(0\\le x\\le24)$ 이 식에 $y=45$를 대입하면 $45=13+\\frac{4}{3}x$ $∴ x=24$ 따라서 물통을 가득 채우는 데 걸리는 시간은 $24$ 분 후이다."
    },
    {
        "question": "동현이와 성수가 직선 도로를 따라 달리기를 하는데 성수가 동현이보다 $60 m$ 앞에서 출발하였다. 두 사람이 동시에 출발하여 동현이는 초속 $8 m,$ 성수는 초속 $5$ $m$로 달릴 때, 동현이가 성수를 따라잡는 데 걸리는 시간을 구하여라.",
        "answer": "두 사람이 동시에 출발한 지 $x$ 초 후의 두 사람 사이의 거리를 $y$ $m$라 하자. 동현이가 출발한 곳을 출발선으로 생각하면 출발선으로부터 동현이의 위치까지의 거리는 $8x$ $m$, 성수의 위치까지의 거리는 $(60+5x)$ $m$이므로 $y$$=(60+5x)-8x$ $∴$ $y$$=-3x+60$ 동현이가 성수를 따라잡으면 $y=0$이 되므로 위의 식에 $y=0$을 대입하면 $0=-3x+60$ $∴$ $x=20$ 따라서 동현이가 성수를 따라잡는 데 걸리는 시간은 $20$ 초이다."
    },
    {
        "question": "일차함수 $y=2kx-5$의 그래프는 일차함수 $y=-4x+1$의 그래프와 평행하고 점 $(p,-1)$을 지난다. 이때 수 $k$, $p$에 대하여 $k-p$의 값을 구하여라.",
        "answer": "기울기가 같고 $y$절편이 다른 두 일차함수의 그래프는 서로 평행하므로 $2k=-4$ $∴$ $k=-2$  $y=-4x-5$의 그래프가 점 $(p, -1)$을 지나므로 $-1=-4p-5$ $∴$ $p=-1$ $∴$ $k-p$$=(-2)-(-1)$$=-1$"
    },
    {
        "question": "일차함수 $y=-x+k$의 그래프를 $y$축의 방향으로 $5$만큼 평행이동하였더니 일차함수 $y=-x+7$의 그래프가 되었다. 이때 일차함수 $y=2x-k$의 그래프를 $y$축의 방향으로 $2$만큼 평행이동한 그래프의 식을 구하여라. (단, $k$는 수)",
        "answer": "$y=-x+k$의 그래프를 $y$축의 방향으로 $5$만큼 평행이동한 그래프의 식은 $y=-x+k+5$ 이 함수의 그래프가 $y=-x+7$의 그래프와 같으므로 $k+5=7$ $∴ k=2$ $y=2x-2$의 그래프를 $y$축의 방향으로 $2$만큼 평행이동한 그래프의 식은 $y=2x-2+2=2x$"
    },
    {
        "question": "두 일차함수 $y=ax+6$, $y=-x+3$의 그래프가 모두 점 $(b, 2)$를 지날 때, $a+b$의 값을 구하여라. (단, $a$는 수)",
        "answer": "$y=-x+3$의 그래프가 점 $(b, 2)$를 지나므로 $2=-b+3$ $ \\therefore b=1$ $y=ax+6$의 그래프가 점 $(1, 2)$를 지나므로 $2=a+6$ $ \\therefore a=-4$ $ \\therefore a+b$$=-4+1$$=-3$"
    },
    {
        "question": "보기의 일차방정식의 그래프가 다음 그림과 같을 때, 일차방정식을 나타내는 그래프를 선택하여라. ㄱ.$2x-3y+6=0\\rightarrow\\square$ $\\\\$ ㄴ.$2x+3y-6=0\\rightarrow\\square$ $\\\\$ ㄷ.$2x-3y-6=0\\rightarrow\\square$",
        "answer": "ㄱ. $x$절편은 $-3$, $y$절편은 $2$이므로 그래프는 직선 $m$이다. ㄴ. $x$절편은 $3$, $y$절편은 $2$이므로 그래프는 직선 $n$이다. ㄷ. $x$절편은 $3$, $y$절편은 $-2$이므로 그래프는 직선 $l$이다."
    },
    {
        "question": "일차함수 $y=2x-5$의 그래프를 $y$축의 방향으로 $7$만큼 평행이동한 그래프의 식 $y=ax+b$는 $x=2$일 때 $y=c$이다. $abc$의 값을 구하여라. (단, $a$, $b$는 수)",
        "answer": "$y=2x-5$의 그래프를 $y$축의 방향으로 $7$만큼 평행이동한 그래프의 식은 $y=2x-5+7=2x+2$ ∴ $a=2$, $b=2$ $y=2x+2$에 $x=2$를 대입하면 $y=6$ ∴ $c=6$ ∴ $abc=2\\times2\\times6=24$"
    },
    {
        "question": "일차함수 $y=-\\frac{1}{4}x-2$의 그래프와 평행하고, 점 $(4, 4)$를 지나는 직선의 $y$절편을 구하여라.",
        "answer": "$y=-\\frac{1}{4}x-2$의 그래프와 평행하므로 기울기가 $-\\frac{1}{4}$이고, $y$절편을 $b$라 하면 일차함수의 식은 $y=-\\frac{1}{4}x+b$ 이 함수의 그래프가 점 $(4, 4)$를 지나므로 $4=(-\\frac{1}{4})\\times4+b$ $∴ b=5$ 따라서 $y$절편은 $5$이다."
    },
    {
        "question": "일차함수 $y=\\frac{3}{2}x-6$의 그래프의 기울기를 $a$, $x$절편을 $b$, $y$절편을 $c$라 할 때, $abc$의 값을 구하여라.",
        "answer": "$y=\\frac{3}{2}x-6$의 기울기가 $\\frac{3}{2}$이므로 $a=\\frac{3}{2}$ $y=\\frac{3}{2}x-6$에 $y=0$을 대입하면 $0=\\frac{3}{2}x-6$ $∴ x=4$ 즉, $x$절편이 $4$이므로 $b=4$ $y$절편은 $-6$이므로 $c=-6$ $∴ abc$$=\\frac{3}{2}\\times4\\times(-6)$$=-36$"
    },
    {
        "question": "다음 일차방정식을 $y$를 $x$에 대한 일차식으로 나타내어라. $5x-3y-6=0$",
        "answer": "$5x-3y-6=0$에서 $-3y=-5x+6$ $∴ y=\\frac{5}{3}x-2$"
    },
    {
        "question": "폭이 $5 cm$로 일정한 종이를 다음 그림과 같이 접었다. $\\overline{AB}=6 cm$일 때, $\\triangle ABC$의 넓이를 구하여라.",
        "answer": "$\\angle ABC$$=\\angle CBF$ (접은 각), $\\angle ACB$$=\\angle CBF$ (엇각) $∴$ $\\angle ABC=\\angle ACB$ 두 내각의 크기가 같은 삼각형은 이등변삼각형이므로 $\\overline{AC}=\\overline{AB}$$=6 cm$ 점 $B$에서 $\\overline{AC}$에 내린 수선의 발을 $M$이라 하면 $\\overline{BM}$$=\\overline{DE}=5 cm$ $\\triangle ABC$$=\\frac{1}{2}\\times\\overline{AC}\\times\\overline{BM}$$=\\frac{1}{2}\\times6\\times5$$=15 (cm^2)$"
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같은 일차함수의 그래프에서 $x$의 값이 $3$만큼 증가할 때, $y$의 값의 증가량을 구하여라.",
        "answer": "그래프가 두 점 $(0, -3)$, $(4, 0)$을 지나므로 $(기울기)=\\frac{0-(-3)}{4-0}$$=\\frac{3}{4}$ $\\frac{(y의 값의 증가량)}{3}$$=\\frac{3}{4}$이므로 $(y의 값의 증가량)$$=\\frac{3}{4}\\times3$$=\\frac{9}{4}$"
    },
    {
        "question": "두 점 $(2, a+2)$, $(-1, 2a-3)$을 지나는 직선이 $x$축에 평행할 때, $a$의 값을 구하여라.",
        "answer": "두 점의 $y$좌표가 같아야 하므로 $a+2=2a-3$ $  ∴ a=5$"
    },
    {
        "question": "두 점 $(-2,1)$, $(1,4)$를 지나는 직선을 $y$축의 방향으로 $-2$만큼 평행이동한 직선은 점 $(k,-4)$를 지난다. 이때 $k$의 값을 구하여라.",
        "answer": "두 점 $(-2, 1)$, $(1, 4)$를 지나므로 $(기울기)$$=\\frac{4-1}{1-(-2)}$$=1$ $y$절편을 $b$라 하면 일차함수의 식은 $y=x+b$ 이 함수의 그래프가 점 $(1, 4)$를 지나므로 $4=1+b$ $∴ b=3$ $y=x+3$의 그래프를 $y$축의 방향으로 $-2$만큼 평행이동한 그래프의 식은 $y=x+3-2=x+1$ 이 함수의 그래프가 점 $(k, -4)$를 지나므로 $-4=k+1$ $∴ k=-5$"
    },
    {
        "question": "일차함수 $y=\\frac{6}{5}x-10$의 그래프가 점 $(10, 14)$를 지나려면 $y$축의 방향으로 얼마만큼 평행이동해야 하는지 구하여라.",
        "answer": "$y=\\frac{6}{5}x-10$의 그래프가 $y$축의 방향으로 $k$만큼 평행이동한 그래프의 식은 $y=\\frac{6}{5}x-10+k$ 이 함수의 그래프가 점 $(10, 14)$를 지나야 하므로 $14=\\frac{6}{5}\\times10-10+k$ $∴$ $k=12$ 따라서 $y$축의 방향으로 $12$만큼 평행이동해야 한다."
    },
    {
        "question": "다음 그림에서 점 $O$가 $\\triangle ABC$의 외심이고 $\\angle CAO=67\\degree$, $\\angle BCO=39\\degree$일 때, 다음을 구하여라. (1) $\\angle{BOC}=$$\\square \\degree$  (2) $\\angle{AOB}=$$\\square \\degree$ (3) $\\angle{BAO}=$$\\square \\degree$",
        "answer": "점 $O$가 외심이므로 $\\overline{OA}=\\overline{OB}=\\overline{OC}$ $\\triangle BOC$에서 $\\angle BOC=180\\degree-39\\degree\\times2=102\\degree$ $\\triangle AOC$에서 $\\angle AOC=180\\degree-67\\degree\\times2=46\\degree$ $∴ \\angle AOB=\\angle BOC-\\angle AOC=102\\degree-46\\degree=56\\degree$ $\\triangle ABO$에서 $\\angle BAO=\\frac{1}{2}\\times(180\\degree-56\\degree)=62\\degree$"
    },
    {
        "question": "다음 그림은 $150L$ 의 물이 들어있는 물통에서 일정한 속도로 물이 흘러나갈 때, 시간과 물의 양을 그래프로 나타낸 것이다. $x$ 시간 후에 물통에 남아있는 물의 양을 $yL$ 라 할 때, $5$ 시간 후에 물통에 남은 물의 양을 구하여라.",
        "answer": "두 점 $(6, 0)$, $(0, 150)$을 지나므로 $(기울기)$$=\\frac{150-0}{0-6}$$=-25$ 기울기가 $-25$, $y$절편이 $150$이므로 $y=-25x+150$ $(0\\le x\\le6)$ 이 식에 $x=5$를 대입하면 $y$$=(-25)\\times5+150$$=25$ 따라서 $5$ 시간 후에 물통에 남은 물의 양은 $25 L$이다."
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같은 직선을 그래프로 하는 일차함수의 식을 구하여라.",
        "answer": "주어진 직선은 두 점 $(-2, 2)$, $(1, -4)$를 지나므로 $(기울기)=\\frac{-4-2}{1-(-2)}=-2$ $y$절편을 $b$라 하면 구하는 일차함수의 식은 $y=-2x+b$ 이 함수의 그래프가 점 $(1, -4)$를 지나므로 $-4=(-2)\\times1+b$ $∴$ $b=-2$ $∴$ $y=-2x-2$"
    },
    {
        "question": "다음 그림에서 점 O는 $\\triangle{ABC}$의 외심이다. $\\angle{C}=67\\degree$일 때, $\\angle{BAO}$의 크기를 구하여라.",
        "answer": "$\\angle AOB=2\\angle ACB=2\\times67\\degree=134\\degree$ $\\triangle ABO$에서 $\\overline{OA}=\\overline{OB}$이므로 $\\angle BAO=\\frac{1}{2}\\times(180\\degree-134\\degree)=23\\degree$"
    },
    {
        "question": "두 점 $(1, a)$, $(b, 3)$이 일차방정식 $3x-y=6$의 그래프 위에 있을 때, $a+2b$의 값을 구하여라.",
        "answer": "$3x-y=6$의 그래프가 점 $(1, a)$를 지나므로 $3\\times1-a=6$ $∴ a=-3$ $3x-y=6$의 그래프가 점 $(b, 3)$을 지나므로 $3b-3=6$ $∴ b=3$ $∴ a+2b$$=-3+2\\times3$$=3$"
    },
    {
        "question": "현재 길이가 $70$ $cm$인 나무가 있다. 이 나무가 매년 $3$ $cm$씩 자란다고 할 때, 현재로부터 $7$ 년 후의 나무의 길이를 구하여라.",
        "answer": "$1$ 년마다 나무가 $3$ $cm$씩 자라므로 $x$ 년 후의 나무의 길이를 $y$ $cm$ 라 하면 $y=70+3x$ 이 식에 $x=7$을 대입하면 $y$$=70+3\\times7$$=91$ 따라서 $7$ 년 후의 나무의 길이는 $91$ $cm$이다."
    },
    {
        "question": "다음 그림에서 $\\triangle ABC$는 $\\overline{AB}$$=\\overline{AC}$인 이등변삼각형이다. $\\angle x$, $\\angle y$의 크기를 각각 구하여라.",
        "answer": "이등변삼각형의 밑각의 크기는 서로 같으므로 $\\angle x=\\angle C=52\\degree$ 삼각형의 한 외각의 크기는 그와 이웃하지 않는 두 내각의 크기의 합과 같으므로 $\\triangle ABC$에서 $\\angle y=52\\degree+52\\degree=104\\degree$"
    },
    {
        "question": "일차방정식 $x-2y=9$의 그래프가 두 일차방정식 $ax+y=-7$, $2x+y=-2$의 그래프의 교점을 지날 때, 수 $a$의 값을 구하여라.",
        "answer": "연립방정식 를 풀면 $x=1$, $y=-4$이므로 두 그래프의 교점의 좌표는 $(1, -4)$이다. $ax+y=-7$의 그래프가 점 $(1, -4)$를 지나므로 $a\\times1+(-4)=-7$ $∴ a=-3$"
    },
    {
        "question": "세 점 $(3, 2a+1)$, $(-1, 3)$, $(0, a-4)$를 꼭짓점으로 하는 삼각형이 만들어지지 않도록 하는 $a$의 값을 구하여라.",
        "answer": "세 점이 한 직선 위에 있을 때 삼각형이 만들어지지 않으므로 $\\frac{3-(2a+1)}{-1-3}=\\frac{(a-4)-3}{0-(-1)}$ $\\frac{a-1}{2}$$=a-7$  $a-1=2a-14$ $∴ $$a=13$"
    },
    {
        "question": "일차방정식 $3x-y-6=0$의 그래프가 다음 그림과 같을 때, $a$의 값을 구하여라.",
        "answer": "주어진 그래프가 점 $(a, 3)$을 지나므로 $3x-y-6=0$에 $x=a$, $y=3$을 대입하면 $3a-3-6=0$ $∴$ $a=3$"
    },
    {
        "question": "일차함수 $y=ax-6$의 그래프가 $x$축, $y$축과 만나는 점을 각각 A, B라 할 때, $\\overline{OA}=\\frac{1}{2}\\overline{OB}$를 만족시킨다. 이때 음수 $a$의 값을 구하여라. (단, $O$는 원점)",
        "answer": "$a$는 음수이므로 $y=ax-6$의 그래프는 다음과 같다. 이때 $\\overline{OB}=6$이므로 $\\overline{OA}=\\frac{1}{2}\\overline{OB}=3$ $∴ A(-3, 0)$ $y=ax-6$의 그래프는 두 점 $A(-3, 0)$, $B(0, -6)$을 지나므로 $a=(기울기)=\\frac{-6-0}{0-(-3)}=-2$"
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같은 두 일차함수 $y=f(x)$, $y=g(x)$의 그래프의 기울기를 각각 $p$, $q$라 할 때, $pq$의 값을 구하여라.",
        "answer": "$y=f(x)$의 그래프가 두 점 $(0, 2)$, $(1, 3)$을 지나므로 $p$$=(기울기)$$=\\frac{3-2}{1-0}$$=1$ $y=g(x)$의 그래프가 두 점 $(1, 3)$, $(5, 0)$을 지나므로 $q$$=(기울기)$$=\\frac{0-3}{5-1}$$=-\\frac{3}{4}$ $∴ pq$$=1\\times(-\\frac{3}{4})$$=-\\frac{3}{4}$"
    },
    {
        "question": "두 함수 $f(x)=ax-2$, $g(x)=\\frac{b}{x}+2$에 대하여 $f(1)=3$, $g(-3)=1$일 때, $a-b$의 값을 구하여라. (단, $a$, $b$는 수)",
        "answer": "$f(1)$$=a-2$$=3$이므로 $a=5$ $g(-3)$$=\\frac{b}{-3}+2$$=1$이므로 $\\frac{b}{-3}=-1$ $∴$ $b=3$ $∴$ $a-b$$=5-3$$=2$"
    },
    {
        "question": "다음 그림에서 $\\triangle ABC$는 $\\overline{CA}$$=\\overline{CB}$인 이등변삼각형이고 점 $I$는 $\\triangle ABC$의 내심이다. $\\angle CAI=34\\degree$일 때, $\\angle BCI$의 크기를 구하여라.",
        "answer": "$\\angle BAI=\\angle CAI$이므로 $\\angle BAC$$=2\\angle CAI$$=2\\times34\\degree$$=68\\degree$ $\\triangle ABC$는 이등변삼각형이므로 $\\angle ACB$$=180\\degree-68\\degree\\times2$$=44\\degree$ $\\angle BCI$$=\\frac{1}{2}\\angle ACB$$=\\frac{1}{2}\\times44\\degree$$=22\\degree$"
    },
    {
        "question": "두 함수 $f(x)=2ax+1$, $g(x)=\\frac{b}{x}-3$에 대하여 $f(1)=7$, $g(-2)=-5$일 때, $a+b$의 값을 구하여라. (단, $a$, $b$는 수)",
        "answer": "$f(1)$$=2a+1$$=7$이므로 $2a=6$ $∴$ $a=3$ $g(-2)$$=\\frac{b}{-2}-3$$=-5$이므로 $\\frac{b}{-2}=-2$ $∴$ $b=4$ $∴$ $a+b$$=3+4$$=7$"
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같은 직각이등변삼각형 $ABC$의 두 꼭짓점$ A, B$에서 꼭짓점$C$를 지나는 직선에 내린 수선의 발을 각각$ P, Q$라 할 때, $\\triangle ABC$의 넓이를 구하여라.",
        "answer": "$\\triangle ACP$와 $\\triangle CBQ$에서 $\\angle APC=\\angle CQB=90\\degree$ $\\overline{AC}=\\overline{CB}$ $\\angle CAP=90\\degree-\\angle ACP=\\angle BCQ$ 두 직각삼각형의 빗변의 길이와 한 예각의 크기가 같으므로 $\\triangle ACP\\equiv\\triangle CBQ$ $\\overline{CP}=\\overline{BQ}=4$, $\\overline{CQ}=\\overline{AP}=3$ $\\therefore \\overline{PQ}$$=\\overline{CP}+\\overline{CQ}=4+3$$=7$ $(삼각형 ABC의 넓이)$ $=$$(사다리꼴 ABQP의 넓이)$ $-$ $2$$\\times$$(삼각형 ACP의 넓이)$ $=\\frac{1}{2}\\times(4+3)\\times7-2\\times(\\frac{1}{2}\\times4\\times3)=\\frac{25}{2}$"
    },
    {
        "question": "보기의 함수 중에서 $f(5)$의 값이 작은 것부터 순서대로 기호를 나열하여라. 보기 ㄱ.$f(x)=x-7$ ㄴ.$f(x)=-x+1$ ㄷ.$f(x)=\\frac{2}{x}-2$ ㄹ.$f(x)=-\\frac{x}{4}+2$",
        "answer": "ㄱ. $f(5)$$=5-7$$=-2$ ㄴ. $f(5)$$=-5+1$$=-4$ ㄷ. $f(5)$$=\\frac{2}{5}-2$$=-\\frac{8}{5}$ ㄹ. $f(5)$$=-\\frac{5}{4}+2$$=\\frac{3}{4}$ $-4$$<$$-2$$<$$-\\frac{8}{5}$$<$$\\frac{3}{4}$이므로 $f(5)$의 값이 작은 것부터 순서대로 나열하면 ㄴ, ㄱ, ㄷ, ㄹ이다."
    },
    {
        "question": "집에서 $4 km$ 떨어진 수영장에 가는 데 한주가 먼저 출발하고 $10$ 분 후에 경민이가 출발하였다. 다음 그림은 한주가 출발한 지 $x$ 분 후에 한주와 경민이의 집으로부터의 거리를 $y km$라 할 때, $x$와 $y$ 사이의 관계를 그래프로 각각 나타낸 것이다. 한주가 출발한 지 몇 분 후에 한주와 경민이가 만나는지 구하여라.",
        "answer": "한주가 간 거리를 나타낸 그래프의 식은 $y=\\frac{1}{10}x$ 경민이가 간 거리를 나타낸 그래프의 식은 $y=\\frac{1}{5}x-2$ 한주가 출발한 후 경민이와 만나는 데 걸리는 시간은 두 그래프의 교점의 $x$좌표와 같다. 이때 연립방정식 를 풀면  $y=\\frac{1}{10}$ $y=\\frac{1}{5}x-2$를 풀면  $x=20$, $y=2$ 따라서 한주가 출발한 지 $20$ 분 후에 만난다."
    },
    {
        "question": "보기에서 오른쪽 그림의 일차함수의 그래프와 평행한 직선이 $a$개, 일치하는 직선이 $b$개일 때, $3a+b$의 값을 구하여라. 보기 ㄱ. 두 점 $(0, -2)$, $(2, 1)$을 지나는 직선 ㄴ. 기울기가 $\\frac{3}{2}$이고 점 $(0, 3)$을 지나는 직선 ㄷ. $x$절편이 $3$, $y$절편이 $-2$인 직선 ㄹ. 일차함수 $y=-\\frac{2}{3}x+3$의 그래프",
        "answer": "주어진 그래프는 두 점 $(-2, 0)$, $(0, 3)$을 지나므로 기울기는 $\\frac{3-0}{0-(-2)}=\\frac{3}{2}$이고, $y$절편은 $3$이다. ㄱ. $(기울기)$$=\\frac{1-(-2)}{2-0}$$=\\frac{3}{2}$, $(y절편)$$=-2$ ㄴ. $(기울기)$$=\\frac{3}{2}$, $(y절편)$$=3$ 두 점 $(3, 0)$, $(0, -2)$를 지나므로 $(기울기)$$=\\frac{-2-0}{0-3}$$=\\frac{2}{3}$, $(y절편)$$=-2$ ㄹ. $(기울기)$$=-\\frac{2}{3}$, $(y절편)$$=3$ 주어진 그래프와 평행한 직선은 ㄱ으로 $1$ 개이고, 일치하는 직선은 ㄴ으로 $1 개$이다. $a$$=1$, $b$$=1$이므로 $3a+b=3\\times1+1=4$"
    },
    {
        "question": "일차함수 $y=ax+b$의 그래프를 그리는데 승현이는 $a$를 잘못 보고 그려서 $y$절편이 $4$인 직선이 되었고, 수정이는 $b$를 잘못 보고 그려서 두 점 $(-1, 0)$, $(-2, 5)$를 지나는 직선이 되었다. 바르게 그려진 일차함수의 그래프의 $x$절편을 구하여라. (단, $a$, $b$는 수)",
        "answer": "일차함수 $y=ax+b$의 그래프의 기울기는 $a$이고 $y$절편은 $b$이다. 승현이는 $b$를 바르게 보았으므로 $b=4$ 두 점 $(-1, 0)$, $(-2, 5)$를 지나는 일차함수의 그래프의 기울기는 $\\frac{5-0}{(-2)-(-1)}=-5$이고 수정이는 $a$를 바르게 보았으므로 $a=-5$ 일차함수의 식은 $y=-5x+4$이므로 이 식에 $y=0$을 대입하면 $0=-5x+4$ $\\therefore$ $x=\\frac{4}{5}$ 따라서 바르게 그려진 일차함수의 그래프의 $x$절편은 $\\frac{4}{5}$이다."
    },
    {
        "question": "다음 그림에서 $\\triangle ABC$는 $\\overline{AB}$$=\\overline{AC}$인 이등변삼각형이다. $\\angle A=42\\degree$일 때, $\\angle C$의 크기를 구하여라.",
        "answer": "이등변삼각형의 두 밑각의 크기는 서로 같으므로 $\\angle C$$=\\angle B$ $∴ \\angle C$$=\\frac{1}{2}\\times(180\\degree-42\\degree)$$=69\\degree$"
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같은 평행사변형 $\\text{A}\\text{B}\\text{C}\\text{D}$의 두 대각선의 교점 O를 지나는 직선이 $\\overline{\\text{A}\\text{B}}$, $\\overline{\\text{C}\\text{D}}$와 만나는 점을 각각 P, Q라 하자. $\\angle\\text{A}\\text{P}\\text{O}=90\\degree$일 때, $\\triangle\\text{C}\\text{Q}\\text{O}$의 넓이를 구하여라.",
        "answer": "$\\triangle APO$와 $\\triangle CQO$에서 $\\overline{OA}=\\overline{OC}$ $\\angle OAP=\\angle OCQ$ (엇각) $\\angle AOP=\\angle COQ$ (맞꼭지각) 대응하는 한 변의 길이가 같고, 그 양 끝 각의 크기가 같으므로 $\\triangle APO\\equiv\\triangle CQO$ $\\overline{OQ}=\\overline{OP}=10 cm$이고 $\\overline{CQ}$$=\\overline{CD}-\\overline{DQ}$$=26-16$$=10 (cm)$이므로 $\\triangle CQO$$=\\frac{1}{2}\\times10\\times10$$=50 (cm^2)$"
    },
    {
        "question": "함수 $f(x)=-2x+1$에 대하여 $f(3)$의 값을 구하여라.",
        "answer": "$f(x)=-2x+1$에 $x=3$을 대입하면 $f(3)$$=(-2)\\times3+1$$=-5$"
    },
    {
        "question": "일차함수 $y=ax+b$의 그래프는 일차함수 $y=4x-3$의 그래프와 $y$축 위에서 만나고, 일차함수 $y=2x+6$의 그래프와 $x$축 위에서 만난다. 다음 물음에 답하여라. (단, $a$, $b$는 수) (1) $a$와 $b$의 값을 각각 구하여라.   (2) 일차함수 $y=abx+a$의 기울기를 구하여라.",
        "answer": "(1) $y=4x-3$의 그래프의 $y$절편이 $-3$이므로 $y=ax+b$의 그래프의 $y$절편도 $-3$이다. $∴$ $b=-3$ $y=2x+6$의 그래프의 $x$절편이 $-3$이므로 $y=ax-3$의 그래프의 $x$절편도 $-3$이다. $0=-3a-3$ $3a=-3$  $∴$ $a=-1$  (2) $y=abx+a$의 그래프의 기울기는 $ab$이다. $a=-1$, $b=-3$이므로 기울기는 $3$이다."
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같이 $\\angle{C}=90\\degree$인 직각삼각형 $ABC$에서 $\\overline{B}{C}=\\overline {BE}$이고 $\\angle BED=90\\degree$이다. $\\overline{CD}=5 cm$, $\\angle A=44\\degree$일 때, $x-y$의 값을 구하여라.",
        "answer": "$\\triangle BCD$와 $\\triangle BED$에서 $\\angle BCD$$=\\angle BED$$=90\\degree$ $\\overline{BD}$는 공통 $\\overline{BC}$$=\\overline{BE}$ 두 직각삼각형의 빗변의 길이와 다른 한 변의 길이가 같으므로 $\\triangle BCD\\equiv\\triangle BED$ $\\angle DBE=\\angle DBC=x\\degree$이므로 $\\triangle ABC$에서 $44+x+x+90=180$ $\\therefore$ $x=23$ $\\overline{DE}=\\overline{DC}=5 cm$ $\\therefore$ $y=5$ $\\therefore$ $x-y$$=23-5$$=18$"
    },
    {
        "question": "다음 그림에서 $\\triangle ABC$는 $\\overline{AB}$$=\\overline{AC}$인 이등변삼각형이고 $\\overline{AH}$는 $\\angle A$의 이등분선이다. $\\angle C=72\\degree$일 때, $\\angle CAH$의 크기를 구하여라.",
        "answer": "이등변삼각형의 꼭지각의 이등분선은 밑변을 수직이등분하므로 $\\angle AHC$$=90\\degree$ $\\triangle AHC$에서 $\\angle CAH$$=180\\degree-72\\degree-90\\degree$$=18\\degree$"
    },
    {
        "question": "다음은 빗변의 길이와 한 예각의 크기가 각각 같은 두 직각삼각형은 서로 합동임을 설명하는 과정이다. $□$ 안에 알맞은 것을 써넣어라.",
        "answer": "$\\triangle ABC$와 $\\triangle DEF$에서 $\\overline{AC}=\\overline{DF}$ $······ ㉠$ $\\angle C=\\angle F$ ·$····· ㉡$ 또, $\\angle B=\\angle E$, $\\angle C=\\angle F$이므로 $\\angle A=\\angle D$ $······ ㉢$ $㉠,$$ ㉡,$ $㉢$에 의하여 대응하는 한 변의 길이가 같고, 그 양 끝 각의 크기가 각각 같으므로 $\\triangle ABC\\equiv\\triangle DEF$"
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같이 정사각형 $ABCD$의 꼭짓점 $C$를 지나는 직선과 $\\overline{AB}$의 교점을 $E$라 하고, 두 점 $B$, $D$에서 $\\overline{CE}$에 내린 수선의 발을 각각 $F$, $G$라 하자. $\\overline{BF}=3 cm$, $\\overline{DG}=7 cm$일 때, $\\triangle DFG$의 넓이를 구하여라.",
        "answer": "$\\triangle BCF$와 $\\triangle CDG$에서 $\\angle BFC=\\angle CGD=90\\degree$ $\\overline{BC}=\\overline{CD}$ $\\angle BCF=90\\degree-\\angle DCG=\\angle CDG$ 두 직각삼각형의 빗변의 길이와 한 예각의 크기가 같으므로 $\\triangle BCF\\equiv\\triangle CDG$ $\\overline{CF}=\\overline{DG}=7 cm$, $\\overline{CG}=\\overline{BF}=3 cm$이므로 $\\overline{FG}$$=\\overline{CF}-\\overline{CG}$$=7-3$$=4 (cm)$ $\\triangle DFG$$=\\frac{1}{2}\\times4\\times7$$=14 (cm^2)$"
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같이 $\\overline{AB}=\\overline{AC}$인 이등변삼각형 $ABC$에서 $\\angle A$의 이등분선과 $\\overline{BC}$의 교점을 $D$라 하자. $\\overline{CD}=13 cm$, $\\angle B=51\\degree$일 때, $y-x$의 값을 구하여라.",
        "answer": "$\\overline{BD}$$=\\overline{CD}$이므로 $\\overline{BC}$$=2\\overline{CD}$$=2\\times13$$=26 (cm)$ $ \\therefore x=26$ $\\triangle ADC$에서 $\\angle ADC$$=90\\degree$, $\\angle C$$=\\angle B$$=51\\degree$이므로 $\\angle CAD$$=180\\degree-51\\degree-90\\degree$$=39\\degree$ $ \\therefore y=39$ $ \\therefore y-x$$=39-26$$=13$"
    },
    {
        "question": "다음 그림에서 점$I$가 $\\triangle ABC$의 내심일 때, $\\angle ACI$의 크기를 구하여라. ",
        "answer": "$40\\degree+\\angle ACI+31\\degree=90\\degree$ $∴$ $\\angle ACI=19\\degree$"
    },
    {
        "question": "길이가 $8cm$인 용수철 저울이 있다. 이 저울에 물건을 달면 $5g$마다 $0.5cm$씩 늘어난다. $xg$의 물건을 달 때, 용수철의 길이를 $ycm$라 한다. 이때 $x$, $y$ 사이의 관계를 식으로 나타내어라.",
        "answer": "$5 g$마다 $0.5 cm$씩 늘어나는 용수철 저울은 $1 g$마다 $0.1 cm$씩 늘어나므로 $x g$의 물건을 달면 $0.1x cm$만큼 늘어난다. 처음 길이가 $8 cm$이므로 $x g$의 물건을 달았을 때 용수철의 길이는 $(8+0.1x) cm$ $ \\therefore y=0.1x+8$"
    },
    {
        "question": "$y$절편이 $x$절편의 $3$ 배이고, 두 점 $(a-1,2a+2)$, $(2a+1,-3a)$를 지나는 직선을 그래프로 하는 일차함수의 식을 구하여라. (단, 이 직선은 원점을 지나지 않는다.)",
        "answer": "주어진 그래프의 $x$절편을 $k(k\\ne0)$라 하면 $y$절편은 $3k$이다. 즉, 두 점 $(k, 0)$, $(0, 3k)$를 지나므로 $(기울기)=\\frac{3k-0}{0-k}$$=-3$ 기울기가 $-3$, $y$절편이 $3k$이므로 $y=-3x+3k$ 이 함수의 그래프가 점 $(a-1, 2a+2)$를 지나므로 $2a+2=-3(a-1)+3k$ $\\therefore$ $ 5a-3k=1 ······ ㉠$ 또, 점 $(2a+1, -3a)$를 지나므로 $-3a=-3(2a+1)+3k$ $\\therefore$ $ a-k=-1 ······ ㉡$ $㉠$, $㉡$을 연립하여 풀면 $a=2$, $k=3$ 따라서 구하는 일차함수의 식은 $y=-3x+9$이다."
    },
    {
        "question": "일차함수 $y=ax-4$의 그래프가 $x$축, $y$축과 만나는 점을 각각 A, B라 할 때, $\\overline{OA}=\\frac{7}{4}\\overline{OB}$를 만족시킨다. 이때 양수 $a$의 값을 구하여라. (단, O는 원점)",
        "answer": "$a$는 양수이므로 $y=ax-4$의 그래프는 다음과 같다.  이때 $\\overline{OB}$$=4$이므로 $\\overline{OA}=\\frac{7}{4}\\overline{OB}$$=7$ $∴$ $A(7, 0)$ $y=ax-4$의 그래프는 두 점 $A(7, 0)$, $B(0, -4)$를 지나므로 $a$$=(기울기)$$=\\frac{-4-0}{0-7}$$=\\frac{4}{7}$"
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같이 좌표평면 위에 두 점 $A(2, 2)$, $B(3, 5)$가 있다. 일차함수 $y=ax+4$의 그래프가 선분 $AB$와 만나도록 하는 수 $a$의 값의 범위를 구하여라.",
        "answer": "(ⅰ)$y=ax+4$의 그래프가 점 $A$를 지날 때  $2=a\\times2+4$ $∴ a=-1$ (ⅱ)$y=ax+4$의 그래프가 점 $B$를 지날 때  $5=a\\times3+4$ $∴ a=\\frac{1}{3}$ 따라서 (ⅰ), (ⅱ)에 의해 $-1\\le a\\le\\frac{1}{3}$"
    },
    {
        "question": "다음 그림에서 두 점$ O, I$는 각각 $\\triangle ABC$의 외심과 내심이다. $\\angle AOC=76\\degree$일 때, $\\angle AIC$의 크기를 구하여라.",
        "answer": "점 $O$가 $\\triangle ABC$의 외심이므로 $\\angle ABC$$=\\frac{1}{2}\\angle AOC$$=\\frac{1}{2}\\times76\\degree$$=38\\degree$ 점 $I$가 $\\triangle ABC$의 내심이므로 $\\angle AIC$$=90\\degree+\\frac{1}{2}\\angle ABC$$=90\\degree+\\frac{1}{2}\\times38\\degree$$=109\\degree$"
    },
    {
        "question": "다음 그림에서 점 O는 $\\triangle ABC$의 외심이고, 점 O에서 $\\overline{AB}$, $\\overline{AC}$에 내린 수선의 발을 각각 D, E라 하자. $\\overline{DO}$$=\\overline{EO}$이고 $\\angle A=56\\degree$일 때, $\\angle C$의 크기를 구하여라.",
        "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{OA}$, $\\overline{OB}$, $\\overline{OC}$를 그으면 $\\triangle ADO$와 $\\triangle AEO$에서 $\\angle ADO$$=\\angle AEO$$=90\\degree$, $\\overline{OA}$는 공통, $\\overline{DO}$$=\\overline{EO}$ 두 직각삼각형의 빗변의 길이와 다른 한 변의 길이가 같으므로 $\\triangle ADO\\equiv\\triangle AEO$ $\\angle EAO$$=\\frac{1}{2}\\times56\\degree$$=28\\degree$ $\\triangle AOC$에서 $\\overline{OA}$$=\\overline{OC}$이므로 $\\angle ACO$$=\\angle CAO$$=28\\degree$ $\\angle BAO+\\angle BCO+\\angle CAO=90\\degree$이고 $\\angle BAO+\\angle CAO=56\\degree$이므로 $\\angle BCO+56\\degree=90\\degree$ $\\angle BCO=34\\degree$ $∴ \\angle C$$=\\angle ACO+\\angle BCO$$=28\\degree+34\\degree$$=62\\degree$"
    },
    {
        "question": "다음 그림에서 점 $O$는 $\\overline{AC}$의 중점이고 $\\square ABCD$, $\\square ABFO$는 모두 평행사변형이다. $\\overline{AD}=20cm$, $\\overline{CD}=16cm$일 때, $\\overline{BE}+\\overline{EF}$의 길이를 구하여라.",
        "answer": "$\\overline{CO} // \\overline{BF}$, $\\overline{CO}=\\overline{AO}=\\overline{BF}$이므로 $\\square BFCO$는 평행사변형이다. $\\overline{BE}$$=\\frac{1}{2}\\overline{BC}$$=\\frac{1}{2}\\overline{AD}$$=\\frac{1}{2}\\times20$$=10 (cm)$ $\\overline{EF}$$=\\frac{1}{2}\\overline{FO}$$=\\frac{1}{2}\\overline{AB}$$=\\frac{1}{2}\\overline{CD}$$=\\frac{1}{2}\\times16$$=8 (cm)$ $∴ \\overline{BE}+\\overline{EF}$$=10+8$$=18 (cm)$"
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같이 $\\angle C=90\\degree$인 직각삼각형 $ABC$에서 $\\angle A$의 이등분선이 $\\overline{BC}$와 만나는 점을 $D$라 하자. $\\overline{AB}=20 cm$, $\\overline{BC}=16 cm$, $\\overline{AC}=12 cm$일 때, $\\overline{BD}$의 길이를 구하여라.",
        "answer": "다음 그림과 같이 점 $D$에서 $\\overline{AB}$에 내린 수선의 발을 $E$라 하면  $\\triangle AED$와 $\\triangle ACD$에서 $\\angle AED$$=\\angle ACD$$=90\\degree$, $\\overline{AD}$는 공통, $\\angle DAE$$=\\angle DAC$ 두 직각삼각형의 빗변의 길이와 한 예각의 크기가 같으므로 $\\triangle AED\\equiv\\triangle ACD$ 따라서 $\\overline{CD}=\\overline{ED}=x cm$라 하면 $\\triangle ABD$$=\\frac{1}{2}\\times20\\times x$$=\\frac{1}{2}\\times(16-x)\\times12$ $10x=96-6x$ $10x+6x=96$ $16x=96$ $∴ x=6$ $∴ \\overline{BD}$$=\\overline{BC}-\\overline{CD}$$=16-6$$=10 (cm)$"
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같은 두 직각삼각형에서 $\\angle D$의 크기를 구하여라.",
        "answer": "$\\triangle ABC$와 $\\triangle DFE$에서 $\\angle C$$=\\angle E$$=90\\degree$ $\\overline{AB}$$=\\overline{DF}$ $\\overline{BC}$$=\\overline{FE}$ 두 직각삼각형의 빗변의 길이와 다른 한 변의 길이가 같으므로 $\\triangle ABC\\equiv\\triangle DFE$ $∴$ $\\angle D$$=\\angle A$$=180\\degree-59\\degree-90\\degree$$=31\\degree$"
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같이 $\\overline{AB}$$=\\overline{AD}$, $\\overline{BC}$$=\\overline{CD}$인 사각형 $ABCD$에서 두 대각선의 교점이 E일 때, $\\overline{BE}$의 길이를 구하여라. ",
        "answer": "$\\triangle ABC$와  $\\triangle ADC$에서 $\\overline{AB}=\\overline{AD}$, $\\overline{BC}=\\overline{DC}$, $\\overline{AC}$는 공통이므로 $\\triangle ABC\\equiv\\triangle ADC$ (SSS 합동) $∴ \\angle BAC$$=\\angle DAC$ $\\overline{AC}$가 이등변삼각형 $ABD$의 꼭지각의 이등분선이므로 $\\overline{BE}$$=\\frac{1}{2}\\overline{BD}$$=\\frac{1}{2}\\times24$$=12 (cm)$"
    },
    {
        "question": "다음 그림에서 $\\square ABCD$가 평행사변형이 되도록 하는 $x$, $y$의 값을 각각 구하여라. ",
        "answer": "두 쌍의 대변의 길이가 각각 같아야 한다. $3x+5=10-2x$이므로 $x=1$ $3y-4=4x+7$이므로 $y=5$"
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같이 $\\angle C=90\\degree$인 직각삼각형 $ABC$에서 $\\overline{DA}$$=\\overline{DC}$이고 $\\angle B=30\\degree$, $\\overline{AC}=7 cm$일 때, $\\overline{AB}$의 길이를 구하여라.",
        "answer": "$\\angle BAC$$=180\\degree-30\\degree-90\\degree$$=60\\degree$ $\\triangle ADC$에서 $\\overline{DA}$$=\\overline{DC}$이므로 $\\angle ACD$$=\\angle CAD$$=60\\degree$ $\\angle ADC=60\\degree$이므로 $\\triangle ADC$는 정삼각형이다. $∴ \\overline{AD}=\\overline{CD}=\\overline{AC}$$=7 cm$ $\\triangle BCD$에서 $60\\degree=30\\degree+\\angle BCD$ $∴  \\angle BCD=30\\degree$ $\\angle CBD$$=\\angle BCD$이므로 $\\overline{BD}=\\overline{CD}$$=7 cm$ $∴  \\overline{AB}$$=\\overline{AD}+\\overline{BD}$$=7+7$$=14 (cm)$"
    },
    {
        "question": "다음 그림에서 점 $I$는 $\\triangle ABC$의 내심이다. $\\angle CBI$$=29\\degree$, $\\angle ACI$$=28\\degree$일 때, $\\angle x-\\angle y$의 크기를 구하여라.",
        "answer": "$\\angle x+29\\degree+28\\degree=90\\degree$이므로 $\\angle x=33\\degree$ $\\angle BCI$$=\\angle ACI$$=28\\degree$이므로 $\\angle y=28\\degree$ $∴$ $\\angle x-\\angle y$$=33\\degree-28\\degree$$=5\\degree$"
    },
    {
        "question": "다음 그림에서 점 $I$는 $\\triangle{ABC}$의 내심이다. $\\angle{ACI}=50\\degree$, $\\angle{BIC}=112\\degree$일 때, $\\angle{ABI}$의 크기를 구하여라.",
        "answer": "점 $I$가 내심이므로 $\\angle CBI=\\angle ABI$, $\\angle BCI=\\angle ACI=50\\degree$ $\\triangle BCI$에서 $\\angle CBI$$=180\\degree-50\\degree-112\\degree$$=18\\degree$"
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같은 평행사변형 $ABCD$에서 $x$, $y$, $z$의 값을 각각 구하여라.",
        "answer": "평행사변형의 두 쌍의 대변의 길이는 각각 같으므로 $\\overline{AD}$$=\\overline{BC}$$=16 cm$ $∴$ $x$$=16$ 평행사변형의 두 대각선은 서로를 이등분하므로 $\\overline{OB}=\\frac{1}{2}\\overline{BD}$$=\\frac{1}{2}\\times26$$=13 (cm)$ $∴$ $y=13$ 평행사변형의 두 쌍의 대각의 크기는 각각 같으므로 $\\angle BCD$$=\\angle BAD$$=110\\degree$ $∴$ $z=110$"
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같은 직각삼각형 $ABC$의 외접원의 반지름의 길이를 $x$, 내접원의 반지름의 길이를 $y$라 할 때, $xy$의 값을 구하여라.",
        "answer": "직각삼각형의 외심은 빗변의 중점에 위치하므로 외접원의 반지름의 길이는 $\\frac{1}{2}\\overline{AB}$$=\\frac{1}{2}\\times26$$=13$ $∴ x=13$ 내접원의 반지름의 길이는 $y$이므로 삼각형의 넓이는 $\\triangle ABC$$=\\frac{1}{2}\\times y\\times(26+24+10)$$=30y$ $\\triangle ABC$$=\\frac{1}{2}\\times24\\times10$$=120$이므로 $30y=120$ $∴ y=4$ $∴ xy$$=13\\times4$$=52$"
    },
    {
        "question": "다음 그림에서 점 $I$는 $\\triangle ABC$의 내심이고, 점 $I'$은 $\\triangle BCI$의 내심이다. $\\angle A=76\\degree$일 때, $\\angle BI'C$의 크기를 구하여라.",
        "answer": "점 $I$가 $\\triangle ABC$의 내심이므로 $\\angle BIC$$=90\\degree+\\frac{1}{2}\\angle BAC$$=90\\degree+\\frac{1}{2}\\times76\\degree$$=128\\degree$ 점 $I'$이 $\\triangle BCI$의 내심이므로 $\\angle BI'C$$=90\\degree+\\frac{1}{2}\\angle BIC$$=90\\degree+\\frac{1}{2}\\times128\\degree$$=154\\degree$"
    },
    {
        "question": "다음 그림에서 점$I$는 $\\triangle ABC$의 세 내각의 이등분선의 교점이다. $\\angle BAC : \\angle ABC : \\angle ACB=2 : 3 : 4$일 때, $\\angle BIC$의 크기를 구하여라.",
        "answer": "$\\angle BAC=\\frac{2}{9}\\times180\\degree=40\\degree$이므로 $\\angle BIC$$=90\\degree+\\frac{1}{2}\\angle BAC$$=90\\degree+\\frac{1}{2}\\times40\\degree$$=110\\degree$"
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같은 직각삼각형 $ABC$의 외접원의 반지름의 길이를 $a cm$, 내접원의 반지름의 길이를 $b cm$라 할 때, $2a+b$의 값을 구하여라.",
        "answer": "직각삼각형의 외심은 빗변의 중점에 위치하므로 외접원의 반지름의 길이는 $\\frac{1}{2}\\overline{BC}$$=\\frac{1}{2}\\times13$$=\\frac{13}{2} (cm)$ $∴ a=\\frac{13}{2}$ 내접원의 반지름의 길이는 $b cm$이므로 삼각형의 넓이는 $\\triangle ABC$$=\\frac{1}{2}\\times b\\times(5+13+12)$$=15b (cm^2)$ $\\triangle ABC$$=\\frac{1}{2}\\times12\\times5$$=30 (cm^2)$이므로 $15b=30$ $∴ b=2$ $∴ 2a+b$$=2\\times\\frac{13}{2}+2$$=15$"
    },
    {
        "question": "원 $O$와 원 $O'$의 닮음비가 $3 : 2$이고 원 $O'$의 반지름의 길이가 $4 cm$일 때, 원 $O$의 둘레의 길이를 구하여라.",
        "answer": "원 $O$의 반지름의 길이를 $r cm$라 하면 $r : 4=3 : 2$ $∴ r=6$ 원 $O$의 반지름의 길이가 $6 cm$이므로 $(원 O의 둘레의 길이)$$=2\\pi\\times6$$=12\\pi (cm)$"
    },
    {
        "question": "오른쪽 그림에서 두 점 O, I는 각각 $\\overline{AB} = \\overline{AC}$인 이등변삼각형 $ABC$의 외심과 내심이다. $\\angle A=40\\degree$, $\\angle IBO$의 크기를 구하려고 한다. (1) $\\angle CBO$의 크기를 구하여라. (2) $\\angle CBI$의 크기를 구하여라. (3) $\\angle IBO$의 크기를 구하여라.",
        "answer": "(1) 점 $O$가 $\\triangle ABC$의 외심이므로 $\\angle BOC$$=2\\angle A$$=2\\times40\\degree$$=80\\degree$ $\\overline{OB}=\\overline{OC}$이므로 $\\triangle BCO$는 이등변삼각형이다. 즉, $\\angle CBO=\\angle BCO$이므로 $\\angle CBO=\\frac{1}{2}\\times(180\\degree-80\\degree)=50\\degree$ (2) $\\triangle ABC$가 $\\overline{AB}=\\overline{AC}$인 이등변삼각형이므로 $\\angle ABC=\\frac{1}{2}\\times(180\\degree-40\\degree)=70\\degree$ 점 $I$가 $\\triangle ABC$의 내심이므로 $\\angle CBI=\\frac{1}{2}\\angle ABC=\\frac{1}{2}\\times70\\degree=35\\degree$ (3) $\\angle IBO=\\angle CBO-\\angle CBI=50\\degree-35\\degree=15\\degree$"
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같은 평행사변형 $ABCD$에서 $x$, $y$의 값을 각각 구하여라.",
        "answer": "평행사변형에서 두 쌍의 대변의 길이는 각각 같다. $\\overline{AB}$$=\\overline{CD}$이므로 $3x-4=8$ $∴$ $x=4$ $\\overline{AD}$$=\\overline{BC}$이므로 $12-5y=7$ $∴$ $y=1$"
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같은 평행사변형 $ABCD$에서 $\\angle B$의 이등분선과 $\\overline{AD}$의 교점을 $E$, $\\overline{CD}$의 연장선과의 교점을 $F$라 하자. $\\overline{AB}=9 cm$, $\\overline{BC}=13 cm$일 때, $\\overline{DF}$의 길이를 구하여라.",
        "answer": "$\\overline{AB}$$ // $$\\overline{CF}$이므로 $\\angle BFC$$=\\angle ABF$ (엇각)이고 $\\angle ABF$$=\\angle CBF$이므로 $\\angle BFC$$=\\angle CBF$ $\\triangle BCF$는 이등변삼각형이므로 $\\overline{CF}=\\overline{CB}$$=13 cm$ $\\overline{DF}$$=\\overline{CF}-\\overline{CD}$$=13-9$$=4 (cm)$"
    },
    {
        "question": "다음 그림에서 점 $O$가 $\\triangle ABC$의 외심일 때, $\\angle AOC$의 크기를 구하여라.",
        "answer": "$\\angle AOC$$=2\\angle ABC$$=2\\times72\\degree$$=144\\degree$"
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같은 평행사변형 $ABCD$의 두 대각선의 교점을 O라 하면 $\\overline{OA}=7$, $\\overline{OB}=5$이다. $\\angle CBD$의 이등분선과 $\\overline{AD}$의 연장선의 교점을 $E$라 할 때, $\\overline{DE}$의 길이를 구하여라.",
        "answer": "$\\angle BED$$=\\angle CBE$ (엇각)이고 $\\angle CBE$$=\\angle DBE$이므로 $\\angle DBE$$=\\angle BED$ $\\triangle BED$는 이등변삼각형이므로 $\\overline{DE}$$=\\overline{BD}$$=2\\overline{OB}$$=2\\times5$$=10$"
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같은 평행사변형 $ABCD$에서 $\\angle ADE=\\angle CDE$, $\\angle BED=130\\degree$일 때, $\\angle x$의 크기를 구하여라.",
        "answer": "$\\overline{AD}$$ // $$\\overline{BC}$이므로 $\\angle ADE$$=\\angle CED$$=180\\degree-130\\degree$$=50\\degree$ (엇각) $\\angle A+\\angle ADC=180\\degree$이므로 $\\angle x+(50\\degree+50\\degree)=180\\degree$ $∴$ $\\angle x=80\\degree$"
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같은 마름모 $ABCD$에서 $\\overline{BP}:\\overline{PC}=2:7$이고, $\\overline{AC}=12cm$, $\\overline{BD}=18cm$일 때, $\\triangle{APC}$의 넓이를 구하여라.",
        "answer": "$\\square ABCD$는 마름모이므로 $\\angle AOB=90\\degree$ $\\overline{OB}$$=\\frac{1}{2}\\overline{BD}$$=\\frac{1}{2}\\times18$$=9 (cm)$ $∴ \\triangle ABC=\\frac{1}{2}\\times12\\times9=54 (cm^2)$ $\\triangle ABP : \\triangle APC=\\overline{BP} : \\overline{PC}$$=2 : 7$ $∴ \\triangle APC$$=\\frac{7}{9}\\triangle ABC$$=\\frac{7}{9}\\times54$$=42 (cm^2)$"
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같이 중심이 일치하는 세 원의 반지름의 길이의 비가 $2 : 3 : 4$이고 가장 작은 원의 넓이가 $16\\pi$일 때, 색칠한 부분의 넓이를 구하여라.",
        "answer": "세 원의 넓이의 비는 $2^2 : 3^2 : 4^2$$=4 : 9 : 16$ 가장 작은 원의 넓이와 색칠한 부분의 넓이의 비는 $4 : (9-4)$$=4 : 5$ 색칠한 부분의 넓이를 $x$라 하면 $16\\pi : x=4 : 5$ $∴$ $x=20\\pi$ 따라서 색칠한 부분의 넓이는 $20\\pi$이다."
    },
    {
        "question": "다음 그림에서 $\\overline{AB} // \\overline{CD}$이고 $\\overline{AE} : \\overline{EF}=5 : 3$이다. $\\triangle CFE$의 넓이가 $30$일 때, $\\square BCED$의 넓이를 구하여라.",
        "answer": "$\\triangle ACE$와 $\\triangle CFE$에서 밑변의 길이의 비는 $\\overline{AE} : \\overline{EF}=5 : 3$이고 높이는 같으므로 $\\triangle ACE : \\triangle CFE=5 : 3$ $\\triangle ACE : 30=5 : 3$ $∴$ $\\triangle ACE$$=50$ $\\overline{AB} // \\overline{CD}$이므로 $\\triangle BCD$$=\\triangle ACD$ $∴$ $\\square$$BCED$ $=$ $\\triangle BCD$ $+$ $\\triangle$ $CED$$=$ $\\triangle$ $ACD$ $+$ $\\triangle$ $CED$ $=$$\\triangle ACE$$=$$50$"
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같은 원뿔 모양의 그릇에 물을 부어서 그릇의 높이의 $\\frac{1}{4}$만큼 채웠을 때, 수면의 넓이를 구하여라.",
        "answer": "물이 채워진 부분과 그릇은 닮은 도형이고 그릇의 높이의 $\\frac{1}{4}$만큼 물을 채웠으므로 닮음비는 $1 : 4$ 수면의 반지름의 길이를 $r cm$라 하면 $r : 28=1 : 4$ $∴ r=7$ 수면의 넓이는 $\\pi\\times7^2$$=49\\pi (cm^2)$"
    },
    {
        "question": "다음 그림에서 점 $I$가 $\\triangle ABC$의 내심이고 세 점 $D$, $E$, $F$가 접점일 때, $x$의 값을 구하여라.",
        "answer": "$\\overline{AD}=\\overline{AF}$$=12 cm$이므로 $\\overline{BD}$$=\\overline{AB}-\\overline{AD}$$=21-12$$=9 (cm)$ $\\overline{BE}=\\overline{BD}$$=9 cm$ $∴ x$$=9$"
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같이 평행사변형 $ABCD$의 내부의 한 점 $P$에 대하여 $\\overline{AP}$의 연장선과 $\\overline{BC}$의 교점을 $Q$라 하자. $\\triangle DPQ=4\\triangle APD$, $\\triangle BCP=28 cm^2$일 때, $\\square ABCD$의 넓이를 구하여라.",
        "answer": "$\\triangle APD=x cm^2$라 하면 $\\triangle DPQ=4x cm^2$이므로 $\\triangle AQD=\\triangle APD+\\triangle DPQ =$$x+4x$$=$$5x (cm^2)$ $\\square ABCD=2\\triangle AQD =$$2\\times5x$$=$$10x (cm^2)$ $\\triangle APD+\\triangle BCP$$=\\frac{1}{2}\\square ABCD$이므로 $x+28=\\frac{1}{2}\\times10x$ $x+28=5x$ $-4x=-28$ $∴ $$x=7$ $∴$ $\\square ABCD$$=10x$$=10\\times7$$=70 (cm^2)$"
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같이 $\\square ABCD$의 꼭짓점 $D$를 지나고 $\\overline{AC}$에 평행한 직선이 $\\overline{BC}$의 연장선과 만나는 점을 $E$, $\\overline{AE}$와 $\\overline{CD}$가 만나는 점을 $F$라 하자. $\\triangle ABC$의 넓이가 $32$ $cm^2$이고, $\\triangle ACE$의 넓이가 $28$ $cm^2$일 때, $\\square ABCD$의 넓이를 구하여라.",
        "answer": "$□ABCD=△ABC+△ACD$ $=$$△ABC+△ACE$ $=$$32+28$ $=$$60$$ (cm$$^2)$"
    },
    {
        "question": "다음 그림에서 점 $I$가 $\\triangle ABC$의 내심일 때, 점$ I$를 지나고 $\\overline{BC}$에 평행한 직선이 $\\overline{AB}$, $\\overline{AC}$와 만나는 점을 각각 $D$, $E$라 하자. $\\triangle ADE$의 둘레의 길이가 $33 cm$이고, $\\overline{BC}=12 cm$일 때, $\\triangle ABC$의 둘레의 길이를 구하여라.",
        "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{BI}$, $\\overline{CI}$를 그으면 점 $I$는 $\\triangle ABC$의 내심이므로 $\\angle ABI=\\angle CBI, \\angle ACI=\\angle BCI$ $\\overline{BC}$$ // $$\\overline{DE}$이므로 $\\angle CBI=\\angle BID, \\angle BCI=\\angle CIE (엇각)$ $∴$ $\\angle ABI=\\angle BID$, $\\angle ACI=\\angle CIE$ 즉, $\\triangle BID$와 $\\triangle CEI$는 모두 이등변삼각형이므로 $\\overline{DB}=\\overline{DI}, \\overline{EC}=\\overline{EI}$ $∴$ $(\\triangle ABC의 둘레의 길이)=(\\triangle ADE의 둘레의 길이)+\\overline{BC}$ $=$$33+12$$=$$45 (cm)$"
    },
    {
        "question": "다음 그림의 평행사변형 $ABCD$에서 $\\angle A$와 $\\angle B$의 크기의 비가 $4 : 5$일 때, $\\angle D$의 크기를 구하여라.",
        "answer": "$\\angle A+\\angle B=180\\degree$이므로 $\\angle B=180\\degree\\times\\frac{5}{4+5}=100\\degree$ $∴$ $\\angle D$$=\\angle B$$=100\\degree$"
    },
    {
        "question": "다음 그림의 $\\square ABCD$는 마름모이다. $\\angle ADB=27\\degree$일 때, $\\angle x$의 크기를 구하여라.",
        "answer": "$\\overline{AD}$$ // $$\\overline{BC}$이므로 $\\angle CBD=\\angle ADB=27\\degree$ (엇각) $\\triangle BCD$에서 $\\overline{CB}$$=\\overline{CD}$이므로 $\\angle x=180\\degree-27\\degree\\times2=126\\degree$"
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같은 평행사변형 $ABCD$에서 $\\overline{AB}=\\overline{BE}$, $\\overline{BC}=\\overline{BF}$가 되도록 $\\overline{AB}$, $\\overline{BC}$의 연장선 위에 각각 점 $E$, $F$를 잡는다. $\\square AFEC$의 넓이가 $48 cm^2$일 때, $\\triangle{ABO}$의 넓이를 구하려고 한다. (1) $\\triangle{ABC}$의 넓이를 구하여라. (2) $\\triangle{ABO}$의 넓이를 구하여라.",
        "answer": "(1)$\\square AFEC$는 두 대각선이 서로 다른 것을 이등분하므로 평행사변형이다. $∴ \\triangle ABC=\\frac{1}{4}\\square AFEC=\\frac{1}{4}\\times48=12 (cm^2)$   (2)$\\square ABCD$가 평행사변형이므로 $\\overline{OA}=\\overline{OC}$ $∴ \\triangle ABO=\\frac{1}{2}\\triangle ABC=\\frac{1}{2}\\times12=6 (cm^2)$"
    },
    {
        "question": "다음 그림의 $\\triangle{A}{B}{C}$에서 $\\angle{A}$의 외각의 이등분선과 $\\angle{C}$의 외각의 이등분선의 교점을 $P$라 하고, 점 $P$에서 $\\overline{{A}{B}}$와 $\\overline{{B}{C}}$의 연장선에 내린 수선의 발을 각각 $D, E$라 하자. $\\overline{{A}{C}}=12{ }{cm}$, $\\overline{{D}{P}}=8{ }{cm}$일 때, $\\triangle{A}{P}{D}$와 $\\triangle{C}{E}{P}$의 넓이의 합을 구하여라.",
        "answer": "위 그림과 같이 점 $P$에서 $\\overline{AC}$에 내린 수선의 발을 $F$라 하면 $\\triangle APD$와 $\\triangle APF$에서 $\\angle ADP$$=\\angle AFP$$=90\\degree$, $\\overline{AP}$는 공통, $\\angle DAP$$=\\angle FAP$ 두 직각삼각형의 빗변의 길이와 한 예각의 크기가 같으므로 $\\triangle APD\\equiv\\triangle APF$ 한편 $\\triangle CEP$와 $\\triangle CFP$에서 $\\angle CEP$$=\\angle CFP$$=90\\degree$, $\\overline{CP}$는 공통, $\\angle ECP$$=\\angle FCP$ 두 직각삼각형의 빗변의 길이와 한 예각의 크기가 같으므로 $\\triangle CEP\\equiv\\triangle CFP$ $∴$ $\\triangle APD+\\triangle CEP$$=\\triangle APE+\\triangle CFP=\\triangle ACP =\\frac{1}{2}\\times\\overline{A}\\overline{C}\\times\\overline{FP}$$= \\frac{1}{2}\\times\\overline{A}\\overline{C}\\times\\overline{DP}$ $=$$\\frac{1}{2}\\times12\\times8$$=$$48 (cm^2)$"
    },
    {
        "question": "다음 그림에서 $\\overline{AE}//\\overline{BC}$, $\\overline{AB}//\\overline{DE}$일 때, $\\overline{BC}$의 길이를 구하여라.",
        "answer": "$\\triangle ADE$와 $\\triangle CAB$에서 $\\angle DAE=\\angle ACB$ (엇각), $\\angle ADE=\\angle CAB$ (엇각) 이므로 $\\triangle ADE\\backsim\\triangle CAB$ ($AA$ 닮음) $\\overline{AD} : \\overline{CA}=\\overline{AE} : \\overline{CB}$ $(9+6) : 9=10 : \\overline{BC}$ $15\\overline{BC}=90$ $∴ \\overline{BC}$$=6 (cm)$"
    },
    {
        "question": "다음 그림에서 $\\overline{AC} // \\overline{DE}$이고 $\\square ABCD$$=60 cm^2$, $\\triangle ABC$$=40 cm^2$일 때, $\\triangle ACE$의 넓이를 구하여라.",
        "answer": "$\\triangle ABE=\\triangle ABC+\\triangle ABE$ $=\\triangle ABC+\\triangle ACD$ $=\\square ABCD$ $\\triangle ACE=\\triangle ABE-\\triangle ABC$ $=\\square ABCD-\\triangle ABC$ $=60-40$ $=20 (cm^2)$"
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같은 평행사변형 $ABCD$에서 $\\angle y-\\angle x$의 크기를 구하여라.",
        "answer": "$\\overline{AD}$$ // $$\\overline{BC}$이므로 $\\angle CAD$$=\\angle ACB$ (엇각) $∴$ $\\angle x=44\\degree$ $\\triangle AOD$에서 $94\\degree=\\angle x+\\angle y$ $94\\degree=44\\degree+\\angle y$ $∴$ $\\angle y=50\\degree$ $∴$ $\\angle y-\\angle x$$=50\\degree-44\\degree$$=6\\degree$"
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같은 평행사변형 $ABCD$에서 $\\angle BAE$$=\\angle DAE$, $\\angle AEC=116\\degree$일 때, $\\angle x$의 크기를 구하여라.",
        "answer": "$\\overline{AD}$$ // $$\\overline{BC}$이므로 $\\angle DAE$$=\\angle AEB$$=180\\degree-116\\degree$$=64\\degree$ (엇각) $\\angle BAD+\\angle D=180\\degree$이므로 $(64\\degree+64\\degree)+\\angle x=180\\degree$ $∴ \\angle x=52\\degree$"
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같은 평행사변형 $ABCD$에서 $\\overline{OA}=11 cm$, $\\overline{OD}=9 cm$일 때, $x, $$y$의 값을 각각 구하여라.",
        "answer": "평행사변형의 두 대각선은 서로를 이등분한다. $\\overline{OB}=\\overline{OD}$이므로 $\\overline{BD}=2\\overline{OD}$$=2\\times9$$=18 (cm)$ $∴ x=18$ $\\overline{OC}=\\overline{OA}$$=11 cm$이므로 $y=11$"
    },
    {
        "question": "다음 그림에서 $\\triangleABC$는 $\\angleA=90\\degree$인 직각삼각형이다. 점 M은 $\\overline{BC}$의 중점이고, 점 D는 점 A에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발, 점 E는 점 D에서 $\\overline{AM}$에 내린 수선의 발이다. $\\overline{AB}=4 cm$, $\\overline{AC}=3 cm$, $\\overline{BC}=5 cm$, $\\overline{CD}=\\frac{9}{5} cm$일 때, $\\overline{DE}$의 길이를 구하여라.",
        "answer": "점 $M$은 직각삼각형 $ABC$의 빗변의 중점에 위치하므로 직각삼각형 $ABC$의 외심이다. $\\overline{MA}$$=\\overline{MB}$$=\\overline{MC}$$=\\frac{1}{2}\\overline{BC}$$=\\frac{1}{2}\\times5$$=\\frac{5}{2} (cm)$ $∴$ $\\overline{DM}$$=\\overline{CM}-\\overline{CD}$$=\\frac{5}{2}-\\frac{9}{5}$$=\\frac{7}{10} (cm)$ $\\triangle ABC$$=$$\\frac{1}{2}\\times4\\times3$$=\\frac{1}{2}\\times5\\times\\overline{AD}$ $∴$ $\\overline{AD}$$=\\frac{12}{5} (cm)$ $\\triangle AMD$$=$$\\frac{1}{2}\\times\\frac{7}{10}\\times\\frac{12}{5}$$=\\frac{1}{2}\\times\\frac{5}{2}\\times\\overline{DE}$ $∴$ $\\overline{DE}$$=\\frac{84}{125} (cm)$"
    },
    {
        "question": "다음 그림에서 점 $I$가 $\\triangle ABC$의 내심일 때, 점 $I$를 지나고 $\\overline{BC}$에 평행한 직선이 $\\overline{AB}$, $\\overline{AC}$와 만나는 점을 각각 $D$, $E$라 하자. $\\triangle ADE$의 둘레의 길이가 $38 cm$이고, $\\overline{BC}=21 cm$일 때, $\\triangle ABC$의 둘레의 길이를 구하여라.",
        "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{BI}$, $\\overline{CI}$를 그으면 점 I는 $\\triangle ABC$의 내심이므로 $\\angle ABI=\\angle CBI, \\angle ACI=\\angle BCI$ $\\overline{BC} // \\overline{DE}$이므로 $\\angle CBI=\\angle BID, \\angle BCI=\\angle CIE (엇각)$ $∴ \\angle ABI=\\angle BID$, $\\angle ACI=\\angle CIE$ 즉, $\\triangle BID$와 $\\triangle CEI$는 모두 이등변삼각형이므로 $\\overline{DB}=\\overline{DI}, \\overline{EC}=\\overline{EI}$ $=38+21=59 (cm)$"
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같은 평행사변형 $ABCD$에서 점 $F$는 $\\overline{CD}$ 위의 점이고, 점 $A$에서 $\\overline{BF}$에 내린 수선의 발을 $E$라 하자. $\\angle CBF=43\\degree$일 때, $\\angle x$의 크기를 구하여라.",
        "answer": "위 그림과 같이 $\\angle BAE=\\angle a$, $\\angle ABE=\\angle b$라 하면 $\\triangle ABE$에서 $\\angle a+\\angle b=90\\degree$ 평행사변형 $ABCD$에서 $\\angle BAD+\\angle ABC=180\\degree$이므로 $(\\angle x+\\angle a)+(\\angle b+43\\degree)=180\\degree$ $(\\angle a+\\angle b)+\\angle x+43\\degree=180\\degree$ $90\\degree+\\angle x+43\\degree=180\\degree$ $\\angle x+133\\degree=180\\degree$ $∴$ $\\angle x=47\\degree$"
    },
    {
        "question": "다음 그림에서 $\\square$$ABCD$가 직사각형일 때, $\\angle x$의 크기를 구하여라.",
        "answer": "$\\angle BAC=90\\degree-37\\degree=53\\degree$ $\\triangle ABO$에서 $\\overline{OA}=\\overline{OB}$이므로 $\\angle x=\\angle BAO=53\\degree$"
    },
    {
        "question": "다음 그림에서 점 $I$는 $\\triangle ABC$의 세 내각의 이등분선의 교점이다. $\\angle BAC : \\angle ABC : \\angle ACB=7 : 8 : 9$일 때, $\\angle x$의 크기를 구하여라.",
        "answer": "$\\angle ABC=\\frac{8}{24}\\times180\\degree=60\\degree$이므로 $\\angle x$$=90\\degree+\\frac{1}{2}\\angle ABC$$=90\\degree+\\frac{1}{2}\\times60\\degree$$=120\\degree$"
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같은 평행사변형 $ABCD$에서 $\\overline{CD}$ 위에 $\\overline{AD} = \\overline{DE}$가 되도록 점 $E$를 잡고, 꼭짓점 $B$에서 $\\overline{AE}$에 내린 수선의 발을 $F$라 하자. $\\angle C=118\\degree$일 때, $\\angle x$의 크기를 구하여라.",
        "answer": "$\\angle C+\\angle D=180\\degree$이므로 $118\\degree+\\angle D=180\\degree$ $∴ \\angle D=62\\degree$ $\\triangle AED$는 $\\overline{DA}$$=\\overline{DE}$인 이등변삼각형이므로  $\\angle AED$$=\\frac{1}{2}\\times(180\\degree-62\\degree)$$=59\\degree$ $∴ \\angle AEC$$=180\\degree-59\\degree$$=121\\degree$ $\\square BCEF$에서 $\\angle x+118\\degree+121\\degree+90\\degree=360\\degree$ $∴ \\angle x$$=360\\degree-118\\degree-121\\degree-90\\degree$$=31\\degree$"
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같이 한 변의 길이가 $20 cm$인 정사각형 $ABCD$에서 $\\triangle CEG$의 넓이를 구하여라.",
        "answer": "$\\triangle BCE$와 $\\triangle CDF$에서 $\\overline{BC}=\\overline{CD}=20 cm$, $\\angle BCE=\\angle CDF=90\\degree$, $\\overline{CE}=\\overline{DF}=15 cm$ 이므로 $\\triangle BCE\\equiv\\triangle CDF$ ($SAS$ 합동) $\\triangle CEG$와 $\\triangle CFD$에서 $\\angle C$는 공통, $\\angle CEG=\\angle CFD$ 이므로 $\\triangle CEG∽\\triangle CFD$($AA$ 닮음) 닮음비는 $\\overline{CE} : \\overline{CF}$$=15 : 25$$=3 : 5$이므로 넓이의 비는 $3^2 : 5^2$$=9 : 25$이고 $\\triangle CFD=\\frac{1}{2}\\times\\overline{DF}\\times\\overline{CD}=\\frac{1}{2}\\times15\\times20=150 (cm^2)$이므로 $\\triangle CEG : \\triangle CFD=9 : 25$ $\\triangle CEG : 150=9 : 25$ ∴ $\\triangle CEG=54$ $(cm^2)$"
    },
    {
        "question": "다음 그림의 $\\triangle ABC$에서 $\\angle A$의 외각의 이등분선과 $\\angle C$의 외각의 이등분선의 교점을 P라 하고, 점 P에서 $\\overline{AB}$와 $\\overline{BC}$의 연장선에 내린 수선의 발을 각각 D, E라 하자. $\\overline{AC}=12 cm$, $\\overline{DP}=7 cm$일 때, $\\triangle APD$와 $\\triangle CEP$의 넓이의 합을 구하여라.",
        "answer": "위 그림과 같이 점 $P$에서 $\\overline{AC}$에 내린 수선의 발을 F라 하면 $\\triangle APD$와 $\\triangle APF$에서 $\\angle ADP$$=\\angle AFP$$=90\\degree$, $\\overline{AP}$는 공통, $\\angle DAP$$=\\angle FAP$ 두 직각삼각형의 빗변의 길이와 한 예각의 크기가 같으므로 $\\triangle APD\\equiv\\triangle APF$ 한편 $\\triangle CEP$와 $\\triangle CFP$에서 $\\angle CEP$$=\\angle CFP$$=90\\degree$, $\\overline{CP}$는 공통, $\\angle ECP$$=\\angle FCP$ 두 직각삼각형의 빗변의 길이와 한 예각의 크기가 같으므로 $\\triangle CEP\\equiv\\triangle CFP$ $∴ \\triangle APD+\\triangle CEP=\\triangle APF+\\triangle CFP=\\triangle ACP$ $=\\frac{1}{2}\\times\\overline{AC}\\times\\overline{FP}$ $=\\frac{1}{2}\\times\\overline{AC}\\times\\overline{DP}$ $=$$\\frac{1}{2}\\times12\\times7$$=$$42 (cm^2)$"
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같이 $\\overline{AB}$$=\\overline{AC}$인 이등변삼각형 $ABC$에서 $\\overline{AD}\\bot\\overline{BC}$, $\\overline{AB}\\bot\\overline{DE}$이다. $\\overline{AC}=18cm$, $\\overline{BC}=16cm$일 때, $\\overline{AE}$의 길이를 구하여라.",
        "answer": "$\\triangle ADC$와 $\\triangle DEB$에서 $\\angle ADC=\\angle DEB=90\\degree$ $\\overline{AB}$$=\\overline{AC}$이므로 $\\angle C=\\angle B$  ∴ $\\triangle ADC$~$\\triangle DEB$ ($AA$ 닮음) $\\overline{AD}$는 $\\overline{BC}$의 수직이등분선이므로 $\\overline{CD}$$=\\overline{BD}=8 cm$ $\\overline{AC} : \\overline{DB}=\\overline{CD} : \\overline{BE}$ $18 : 8=8 : \\overline{BE}$ $18\\overline{BE}=64$ $∴ \\overline{BE}$$=\\frac{32}{9} (cm)$ $∴ \\overline{AE}$$=\\overline{AB}-\\overline{BE}$$=18-\\frac{32}{9}$$=\\frac{130}{9} (cm)$"
    },
    {
        "question": "다음 그림의 두 사각기둥은 서로 닮은 도형이고 $\\overline{FG}$에 대응하는 모서리가 $\\overline{NO}$일 때, $\\square MNOP$의 둘레의 길이를 구하여라.",
        "answer": "두 사각기둥의 닮음비는 $\\overline{FG} : \\overline{NO}$$=15 : 9$$=5 : 3$ $\\square EFGH$의 둘레의 길이는 $2\\times(10+15)=50 (cm)$ $\\square MNOP$의 둘레의 길이를 $l cm$라 하면 $50 : l=5 : 3$ $∴ l=30$ 따라서 $\\square MNOP$의 둘레의 길이는 $30 cm$이다."
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같은 $\\triangle ABC$에서 $\\overline{AC}$, $\\overline{BC}$의 중점을 각각 $P$,$Q$라 할 때, $\\angle CQP$의 크기를 구하여라. ",
        "answer": "$\\overline{PQ} // \\overline{AB}$이므로 $\\angle CQP$$=\\angle ABC$$=47\\degree$"
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같이 $\\overline{AB}=\\overline{AC}$인 직각이등변삼각형 $ABC$의 두 꼭짓점 $B$, $C$에서 꼭짓점 $A$를 지나는 직선 $l$에 내린 수선의 발을 각각 $D$, $E$라 하자. $\\triangle BPD$의 넓이가 $\\frac{32}{3} cm^2$일 때, $\\triangle CPE$의 넓이를 구하여라.",
        "answer": "$\\triangle ABD$와 $\\triangle CAE$에서 $\\angle ADB=\\angle CEA=90\\degree$ $\\overline{AB}=\\overline{CA}$ $\\angle ABD=90\\degree-\\angle BAD=\\angle CAE$ 두 직각삼각형의 빗변의 길이와 한 예각의 크기가 같으므로 $\\triangle ABD\\equiv\\triangle CAE$ 즉, $\\overline{AD}=\\overline{CE}=4 cm$, $\\overline{AE}=\\overline{BD}=8 cm$ $\\triangle BPD$$=\\frac{1}{2}\\times\\overline{DP}\\times8$$=\\frac{32}{3}$ $∴$ $\\overline{DP}$$=\\frac{8}{3} (cm)$ 따라서 $\\overline{EP}$$=\\overline{AE}-\\overline{AD}-\\overline{DP}$$=8-4-\\frac{8}{3}$$=\\frac{4}{3} (cm)$이므로 $\\triangle{CPE}=\\frac{1}{2}\\times\\overline{CE}\\times\\overline{EP}$ $=$$\\frac{1}{2}\\times4\\times\\frac{4}{3}$$=$$\\frac{8}{3} (cm^2)$"
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같은 $\\triangle ABC$에서 $\\overline{BD}$는 $\\angle B$의 이등분선이고 $\\overline{AB} // \\overline{DE}$이다. $\\overline{AB}=12 cm$, $\\overline{BC}=10 cm$일 때, $\\overline{DE}$의 길이를 구하여라.",
        "answer": "$\\overline{BD}$는 $\\angle B$의 이등분선이므로 $\\overline{AD} : \\overline{DC}$$=\\overline{AB} : \\overline{BC}$$=12 : 10$$=6 : 5$ $\\overline{AB} // \\overline{DE}$이므로 $\\overline{CD} : \\overline{AC}$$=\\overline{DE} : \\overline{AB}$ $5 : (6+5)=\\overline{DE} : 12$ $11\\overline{DE}=60$ $∴ \\overline{DE}$$=\\frac{60}{11} (cm)$"
    },
    {
        "question": "다음 그림의 두 원기둥 $A$, $B$는 서로 닮은 도형일 때, 밑면의 둘레의 길이의 비를 가장 간단한 자연수의 비로 나타내어라.",
        "answer": "서로 닮은 두 원기둥에서 밑면의 둘레의 길이의 비, 높이의 비, 닮음비는 모두 같다. 밑면의 둘레의 길이의 비는 $18 : 16=9 : 8$"
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같이 $\\overline{AD}$ // $\\overline{BC}$인 등변사다리꼴 $ABCD$에서 $\\overline{AB}=13 cm$, $\\overline{AD}=11 cm$, $\\angle B=60\\degree$일 때, $\\overline{BC}$의 길이를 구하여라.",
        "answer": "위 그림과 같이 점 $A$에서 $\\overline{CD}$에 평행한 직선을 그어 $\\overline{BC}$와 만나는 점을 $E$라 하자. $\\square ABCD$가 등변사다리꼴이므로 $\\angle C$$=\\angle B$$=60\\degree$ $\\overline{AE}$$ // $$\\overline{CD}$이므로 $\\angle AEB$$=\\angle C=60\\degree (동위각)$ $\\triangle ABE$에서 $\\angle BAE=180\\degree-\\angle ABE-\\angle AEB =180\\degree-60\\degree-60\\degree=60\\degree$ $\\triangle ABE$가 정삼각형이므로 $\\overline{BE}$$=\\overline{AB}$$=13 cm$ $\\square AECD$는 평행사변형이므로 $\\overline{CE}$$=\\overline{AD}=11 cm$ $∴ \\overline{BC}$$=\\overline{BE}+\\overline{CE}$$=13+11$$=24 (cm)$"
    },
    {
        "question": "다음 그림에서 평행사변형 $ABCD$의 넓이가 $48$일 때, $\\triangle BQP$의 넓이를 구하여라.",
        "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{BD}$를 긋고 $\\overline{AC}$와 $\\overline{BD}$가 만나는 점을 $O$라 하면 $\\triangle ABD=\\frac{1}{2}\\square ABCD=\\frac{1}{2}\\times48=24$ 점 $P$는 $\\triangle ABD$의 무게중심이므로 $\\triangle BOP$$=\\frac{1}{6}\\triangle ABD=\\frac{1}{6}\\times24=4$ 같은 방법으로 $\\triangle BQO=4$ $∴ \\triangle BQP=\\triangle BOP+\\triangle BQO=4+4=8$"
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같이 $\\overline{AB}=120 cm$인 평행사변형 $ABCD$에서 점 $P$는 점 $A$를 출발하여 점 $B$까지 $\\overline{AB}$ 위를 매초 $8 cm$씩, 점 $Q$는 점 $C$를 출발하여 점 $D$까지 $\\overline{CD}$ 위를 매초 $6 cm$씩 움직이고 있다. 점 $Q$가 출발한 지 $4$ 초 후에 점 $P$가 출발한다면 처음으로 $\\overline{AQ}$$ // $$\\overline{CP}$가 되는 것은 점$P$가 출발한 지 몇 초 후인지 구하여라.",
        "answer": "$\\overline{AP}$$ // $$\\overline{CQ}$이므로 $\\overline{AQ}$$ // $$\\overline{CP}$가 되면 $\\square APCQ$는 평행사변형이다. $∴$ $\\overline{AP}$$=\\overline{CQ}$ 점$ P$가 점 $A$를 출발한 지 $x$ 초 후에 두 점 $P$, $Q$가 움직인 거리는 각각 $\\overline{AP}$$=8x cm$ $\\overline{CQ}$$=6(x+4)$$=6x+24 (cm)$이므로 $8x=6x+24$ $8x-6x=24$  $2x=24$ $∴$ $x=12$ 따라서 처음으로 $\\overline{AQ}$$ // $$\\overline{CP}$가 되는 것은 점 $P$가 출발한 지 $12$ 초 후이다."
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같이 밑면의 반지름의 길이가 $12 cm$인 원뿔을 밑면에 평행한 면으로 자를 때 생기는 단면이 원일 때, 잘라서 생긴 단면의 반지름의 길이를 구하여라.",
        "answer": "처음 원뿔과 밑면에 평행한 평면으로 잘라서 생긴 작은 원뿔은 서로 닮은 도형이고 닮음비는 $(30+6) : 30=6 : 5$ 잘라서 생긴 단면의 반지름의 길이를 $r cm$라 하면 $12 : r=6 : 5$ $∴$ $r=10$  따라서 잘라서 생긴 단면의 반지름의 길이는 $10 cm$이다."
    },
    {
        "question": "다음 그림의 두 원뿔 $A$, $B$는 서로 닮은 도형이고 원뿔 $A$의 옆넓이가 $32\\pi cm^2$일 때, 원뿔 $B$의 옆넓이를 구하여라.",
        "answer": "닮음비는 $4 : 6=2 : 3$이므로 옆넓이의 비는 $2^2 : 3^2$$=4 : 9$ 원뿔 $B$의 옆넓이를 $x cm^2$라 하면 $32\\pi : x=4 : 9$ ∴ $x=72\\pi$ 따라서 원뿔 $B$의 옆넓이는 $72\\pi cm^2$이다."
    },
    {
        "question": "다음 그림에서 $\\triangle{ABC}$의 무게중심 $G$를 지나고 $\\overline{BC}$에 평행한 직선이 $\\overline{AB}$, $\\overline{AC}$와 만나는 점을 각각 $D, E$라 하자. $\\overline{BC}=24{cm}$일 때, $x$의 값을 구하여라.",
        "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{AG}$의 연장선과 $\\overline{BC}$의 교점을 M이라 하자. $\\triangle ABM$에서 $\\overline{AD} : \\overline{AB}$$=\\overline{AG} : \\overline{AM}$$=2 : 3$ $\\triangle ABC$에서 $\\overline{AD} : \\overline{AB}$$=\\overline{DE} : \\overline{BC}$ $2 : 3=x : 24$ $3x=48$ $∴ x$$=16$"
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같이 $\\triangle ABC$에 직사각형 $DEFG$가 내접하고 있다. 점 $A$에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\overline{BC}=20 cm$, $\\overline{AH}=12 cm$, $\\overline{DG} : \\overline{FG}=1 : 2$일 때, 직사각형 $DEFG$의 둘레를 구하여라.",
        "answer": "$\\triangle ABC$와 $\\triangle AGF$에서 $\\angle BAC$는 공통, $\\angle ABC=\\angle AGF$ (동위각) 이므로 $\\triangle ABC~\\triangle AGF$ ($AA $닮음) $\\overline{AH}$와 $\\overline{FG}$의 교점을 $K$, $\\overline{DG}=x cm$라 하면 $\\overline{FG}=2x cm$, $\\overline{AK}=(12-x) cm$  $\\overline{BC} : \\overline{FG}$$=\\overline{AH} : \\overline{AK}$  $20 : 2x=12 : (12-x)$ ∴ $x=\\frac{60}{11}$ 직사각형 $DEFG$의 둘레의 길이는 $2(x+2x)$$=6x$$=6\\times\\frac{60}{11}$$=\\frac{360}{11} (cm)$"
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같은 마름모 $ABCD$의 내부의 한 점 P에 대하여 $\\triangle ABP$가 정삼각형이고 $\\angle BAD=84\\degree$일 때, $\\angle x-\\angle y$의 크기를 구하여라.",
        "answer": "$\\angle DAP$$=\\angle BAD-\\angle BAP$$=84\\degree-60\\degree$$=24\\degree$ $\\triangle APD$는 $\\overline{AD}$$=\\overline{AP}$인 이등변삼각형이므로 $\\angle x$$=\\frac{1}{2}\\times(180\\degree-24\\degree)$$=78\\degree$ $\\angle BAD+\\angle ABC=180\\degree$이므로 $\\angle ABC$$=180\\degree-84\\degree$$=96\\degree$ $∴$$\\angle CBP$$=\\angle ABC-\\angle ABP$$=96\\degree-60\\degree$$=36\\degree$ $\\triangle BCP$는 $\\overline{BC}$$=\\overline{BP}$인 이등변삼각형이므로 $\\angle BCP$$=\\frac{1}{2}\\times(180\\degree-36\\degree)$$=72\\degree$ $\\angle BCD$$=\\angle BAD$$=84\\degree$이므로 $\\angle y$$=\\angle BCD-\\angle BCP$$=84\\degree-72\\degree$$=12\\degree$ $∴$ $\\angle x-\\angle y$$=78\\degree-12\\degree$$=66\\degree$"
    },
    {
        "question": "다음 그림에서 $\\square ABCD$는 마름모이고, $\\overline{AB}=10cm$, $\\overline{AE}=8cm$이다. $\\overline{BE}$의 연장선과 $\\overline{CD}$의 연장선의 교점을 $F$라 할 때, $\\overline{DF}$의 길이를 구하여라.",
        "answer": "$\\triangle ABE$와 $\\triangle DFE$에서 $\\angle BAE=\\angle FDE$ (엇각), $\\angle ABE=\\angle DFE$ (엇각) 이므로 $\\triangle ABE\\backsim\\triangle DFE$ ($AA$ 닮음) $\\overline{AB} : \\overline{DF}=\\overline{AE} : \\overline{DE}$ $10 : \\overline{DF}=8 : (10-8)$ $8\\overline{DF}=20$ $∴ \\overline{DF}$$=\\frac{5}{2} (cm)$"
    },
    {
        "question": "다음 그림의 두 정사각형 $ABCD$와 $EFGH$에서 $\\overline{BC}=4 cm$, $\\overline{FG}=6 cm$일 때, $\\square ABCD$와 $\\square EFGH$의 넓이의 비를 가장 간단한 자연수의 비로 나타내어라.",
        "answer": "닮음비가 $4 : 6$$=2 : 3$이므로 넓이의 비는 $2^2 : 3^2$$=4 : 9$"
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같은 평행사변형 $ABCD$에서 $\\overline{BE}$와 $\\overline{CF}$는 각각 $\\angle B$, $\\angle C$의 이등분선이고, 점 $H$는 $\\overline{AB}$의 연장선과 $\\overline{CF}$의 연장선의 교점이다. $\\angle H=58\\degree$이고 $\\overline{BE}$와 $\\overline{CF}$의 교점을 $G$라 할 때, $\\angle{DEG}$의 크기를 구하여라.",
        "answer": "$\\overline{BH}$$ // $$\\overline{CD}$이므로 $\\angle DCH=\\angle H=58\\degree$ (엇각) $\\angle BCD$$=2\\times58\\degree$$=116\\degree$ 평행사변형 $ABCD$에서 $\\angle ABC+\\angle BCD=180\\degree$이므로 $\\angle ABC+116\\degree=180\\degree$ $\\therefore \\angle ABC=64\\degree$ 즉, $\\angle CBE$$=\\frac{1}{2}\\times64\\degree$$=32\\degree$ $\\overline{AD}$$ // $$\\overline{BC}$이므로 $\\angle AEB$$=\\angle CBE$$=32\\degree$ (엇각) $ \\therefore \\angle DEG$$=180\\degree-32\\degree$$=148\\degree$"
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같이 평행사변형 $ABCD$의 두 대각선의 교점 $O$를 지나는 직선이 $\\overline{AB}$, $\\overline{CD}$와 만나는 점을 각각 $P$, $Q$라 하자. $\\square ABCD$의 넓이가 $80 cm^2$일 때, 색칠한 부분의 넓이를 구하여라.",
        "answer": "$\\triangle BOP$와 $\\triangle DOQ$에서 $\\overline{OB}=\\overline{OD}$ $\\angle OBP=\\angle ODQ (엇각)$ $\\angle BOP=\\angle DOQ (맞꼭지각)$ 대응하는 한 변의 길이가 같고, 그 양 끝 각의 크기가 같으므로 $\\triangle BOP\\equiv\\triangle DOQ$ $∴ \\triangle BOP$+$\\triangle CQO$ $=$$\\triangle CDO$ $=$$\\frac{1}{4}$ $\\square ABCD$ $=$$\\frac{1}{4}\\times80$$=$$20 (cm^2)$"
    },
    {
        "question": "다음 그림의 정사각형 ${ABCD}$에서 $\\overline{CD}$ 위의 한 점 $E$를 잡고 $\\overline{AE}$의 연장선과 $\\overline{BC}$의 연장선의 교점을 $F$라 하자. $\\overline{AD}=60{cm}$, $\\overline{BF}=144{cm}$, $\\overline{EF}=91{cm}$일 때, $\\overline{AE}$의 길이를 구하여라.",
        "answer": "$\\triangle AED$와 $\\triangle FEC$에서 $\\angle ADE=\\angle FCE=90\\degree$,  $\\angle DAE=\\angle CFE$ (엇각) 이므로 $\\triangle AED\\sim\\triangle FEC$ (AA 닮음) 이때 $\\overline{AD} : \\overline{FC}=\\overline{AE} : \\overline{FE}$ $60 : (144-60)=\\overline{AE} : 91$ $∴ \\overline{AE}=65 (cm)$"
    },
    {
        "question": "다음 그림에서 $\\square$$ABCD$$\\sim$$\\square$$HGFE$일 때, $\\angle F$의 크기를 구하여라. ",
        "answer": "$\\angle A$$=\\angle H$$=90\\degree$이므로 $\\angle F$$=\\angle C$$=360\\degree-90\\degree-97\\degree-81\\degree$$=92\\degree$"
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같은 $\\triangle ABC$에서 $\\overline{AB}\\bot\\overline{CD}$, $\\overline{AC}\\bot\\overline{BE}$이고 $\\overline{AB}=20, $$\\overline{AC}=16, $$\\overline{AD} : \\overline{BD}=2 : 3$일 때, $\\overline{CE}$의 길이를 구하여라.",
        "answer": "$\\triangle ADC$와 $\\triangle AEB$에서 $\\angle A$는 공통, $\\angle ADC$$=\\angle AEB$$=90\\degree$ 이므로 $\\triangle ADC \\backsim \\triangle AEB$ ($AA$ 닮음) $\\overline{AD}=\\frac{2}{5}\\overline{AB}=\\frac{2}{5}\\times20=8$ $\\overline{AC} : \\overline{AB}=\\overline{AD} : \\overline{AE}$ $16 : 20=8 : \\overline{AE}$ $16\\overline{AE}=160$ ∴ $\\overline{AE}$$=10$ ∴ $\\overline{CE}=16-10$$=6$"
    },
    {
        "question": "$\\angle A=\\angle ADC=68\\degree,\\angle B=34 \\degree$이고 $\\overline{AC}=11cm$일 때, $x$의 값을 구하려고 한다. (1) $\\angle BCD$의 크기를 구하여라.    (2) $x$의 값을 구하여라.",
        "answer": "(1)$\\triangle BCD$에서 한 외각의 크기는 그와 이웃하지 않은 두 내각의 크기의 합과 같으므로 $68\\degree=34\\degree+\\angle BCD$ $∴ \\angle BCD$$=34\\degree$ (2)$\\triangle ADC$에서 $\\angle A$$=\\angle ADC$$=68\\degree$이므로 $\\overline{CD}=\\overline{AC}$$=11 cm$ $\\triangle BCD$에서 $\\angle B$$=\\angle BCD$$=34\\degree$이므로 $\\overline{BD}=\\overline{CD}$$=11 cm$ $∴ x=11$"
    },
    {
        "question": "다음 그림에서 $\\overline{BC} // \\overline{DE}$일 때, $x$의 값을 구하여라.",
        "answer": "$\\overline{AB} : \\overline{AD}=\\overline{BC} : \\overline{DE}$ $4 : x=5 : 8$ $5x=32$  $∴x=\\frac{32}{5}$"
    },
    {
        "question": "다음 그림에서 $\\overline{AB}$$ // $$\\overline{CD}$$ // $$\\overline{EF}$일 때, $\\overline{EF}$의 길이를 구하여라. ",
        "answer": "$\\triangle ABF$에서 $\\overline{BF} : \\overline{DF}=\\overline{AB} : \\overline{CD}=20 : 12=5 : 3$이므로 $\\overline{BD} : \\overline{BF}=2 : 5$ $\\triangle BFE$에서 $\\overline{BD} : \\overline{BF}=\\overline{CD} : \\overline{EF}$ $2 : 5=12 : \\overline{EF}$ $2\\overline{EF}=60$ $∴ \\overline{EF}=30 (cm)$"
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같은 사다리꼴 $ABCD$에서 $\\overline{AD}$$ // $$\\overline{EF}$$ // $$\\overline{BC}$일 때, $\\overline{AD}$의 길이를 구하여라.",
        "answer": "$\\overline{AD}$$=x$라 하고 점 A에서 $\\overline{CD}$에 평행한 직선을 그어 $\\overline{EF}$, $\\overline{BC}$와 만나는 점을 각각 $G$,$ H$라 하자.  $\\overline{AD}$$=\\overline{FG}$$=\\overline{CH}$$=x$이므로 $\\overline{EG}$$=9-x$, $\\overline{BH}$$=12-x$ $\\triangle ABH$에서 $\\overline{AE} : \\overline{AB}=\\overline{EG} : \\overline{BH}$ $4 : (4+3)=(9-x) : (12-x)$ $48-4x=63-7x$ $∴$ $x=5$ 따라서 $\\overline{AD}$의 길이는 $5$이다."
    },
    {
        "question": "지름의 길이가 $20 cm$인 구 모양의 큰 초콜릿 $1$ 개를 녹여서 지름의 길이가 $5 cm$인 구 모양의 작은 초콜릿을 만들려고 한다. 이때 만들 수 있는 작은 초콜릿의 개수를 구하여라.",
        "answer": "닮음비가 $20 : 5=4 : 1$이므로 부피의 비는 $4^3 : 1^3=64 : 1$ 만들 수 있는 작은 초콜릿은 $64$ 개이다."
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같은 $\\triangle ABC$에서 $\\angle ACB=\\angle ADE$이고 $\\overline{AC}=12 cm$, $\\overline{AD}=6 cm$, $\\overline{AE}=4 cm$일 때, $\\overline{AB}$의 길이를 구하여라.",
        "answer": "$\\triangle ABC$와 $\\triangle AED$에서 $\\angle A$는 공통, $\\angle ACB=\\angle ADE$ 이므로 $\\triangle ABC$$\\backsim$$\\triangle AED$ ($AA $닮음) $\\overline{AB} : \\overline{AE}=\\overline{AC} : \\overline{AD}$ $\\overline{AB} : 4=12 : 6$ $6\\overline{AB}=48$ ∴ $\\overline{AB}$$=8 (cm)$"
    },
    {
        "question": "다음 그림에서 점 $G$는 $\\triangle ABC$의 무게중심이고 $\\overline{BM} // \\overline{DN}$이다. $\\overline{GM}=2$일 때, $\\frac{y}{x}$의 값을 구하여라.",
        "answer": "$\\triangle ABC$에서 $\\overline{BG} : \\overline{GM}$$=2 : 1$ $y : 2$$=2 : 1$ ∴ $y$$=4$ $\\triangle ABM$에서 $\\overline{AD}=\\overline{DB}$이고 $\\overline{BM} // \\overline{DN}$이므로 $\\overline{AD} : \\overline{AB}=\\overline{DN} : \\overline{BM}$ $1 : 2=x : (4+2)$ $2x=6$ $∴$ $x$$=3$ $∴$ $\\frac{y}{x}$$=\\frac{4}{3}$"
    },
    {
        "question": "다음 그림에서 $\\overline{AB}$$ // $$\\overline{CD}$, $\\overline{BC}$$ // $$\\overline{DE}$일 때, $\\overline{CD}$의 길이를 구하여라.",
        "answer": "$\\triangle ABC$와 $\\triangle CDE$에서 $\\angle BAC=\\angle DCE$ (엇각), $\\angle ACB=\\angle CED$ (엇각) 이므로 $\\triangle ABC\\backsim\\triangle CDE$ ($AA$ 닮음) $\\overline{AB} : \\overline{CD}=\\overline{BC} : \\overline{DE}$ $9 : \\overline{CD}=12 : 8$ $12\\overline{CD}=72$ $∴$ $\\overline{CD}$$=6 (cm)$"
    },
    {
        "question": "다음 그림에서 평행사변형 $ABCD$의 넓이가 $78$일 때, $\\triangle{BQP}$의 넓이를 구하여라.",
        "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{BD}$를 긋고 $\\overline{AC}$와 $\\overline{BD}$가 만나는 점을 $O$라 하면 $\\triangle ABD$$=\\frac{1}{2}\\square ABCD$$=\\frac{1}{2}\\times78$$=39$ 점 $P$는 $\\triangle ABD$의 무게중심이므로 $\\triangle BOP$$=\\frac{1}{6}\\triangle ABD$$=\\frac{1}{6}\\times39$$=\\frac{13}{2}$ 같은 방법으로 $\\triangle BQO$$=\\frac{13}{2}$ $∴ \\triangle BQP$$=\\triangle BOP+\\triangle BQO$$=\\frac{13}{2}+\\frac{13}{2}$$=13$"
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같이 $\\overline{AD} // \\overline{BC}$인 사다리꼴 $ABCD$에서 두 대각선의 교점을 $O$라 하자. $\\triangle ABC$, $\\triangle CDO$의 넓이가 각각 $45 cm^2$, $9 cm^2$일 때, $\\triangle BCO$의 넓이를 구하여라.",
        "answer": "$△ABO$$=$ $△ABD -△AOD$ $=△ACD -△AOD$ $=△CDO$ $=9 (cm^2)$ $△BCO= △ ABC -△ABO =45-9$$=$$36 (cm^2)$"
    },
    {
        "question": "다음 그림에서 $\\square ABCD$는 마름모이고, $\\overline{CD}=13 cm$, $\\overline{CE}=9 cm$이다. $\\overline{DE}$의 연장선과 $\\overline{AB}$의 연장선의 교점을 F라 할 때, $\\overline{BF}$의 길이를 구하여라.",
        "answer": "$\\triangle CDE$와 $\\triangle BFE$에서 $\\angle DCE=\\angle FBE$ (엇각), $\\angle CDE=\\angle BFE$ (엇각) 이므로 $\\triangle CDE~\\triangle BFE$ ($AA$ 닮음) $\\overline{CD} : \\overline{BF}=\\overline{CE} : \\overline{BE}$ $13 : \\overline{BF}=9 : (13-9)$ $9\\overline{BF}=52$ $∴ \\overline{BF}$$=\\frac{52}{9} (cm)$"
    },
    {
        "question": "A 주머니에는 빨간 공 $5$ 개, 파란 공 $2$ 개가 들어 있고, B 주머니에는 빨간 공 $3 $개, 파란 공 $6$ 개가 들어 있다. A, B 두 주머니에서 각각 한 개씩 공을 꺼낼 때, 두 공의 색깔이 서로 다를 확률을 구하여라.",
        "answer": "$(ⅰ)$ A 주머니에서는 빨간 공, B 주머니에서는 파란 공이 나올 확률 A 주머니에서 빨간 공이 나올 확률은 $\\frac{5}{7}$이고, B 주머니에서 파란 공이 나올 확률은 $\\frac{6}{9}=\\frac{2}{3}$이므로 구하는 확률은 $\\frac{5}{7}\\times\\frac{2}{3}=\\frac{10}{21}$ $(ⅱ)$ A 주머니에서는 파란 공, B 주머니에서는 빨간 공이 나올 확률 A 주머니에서 파란 공이 나올 확률은 $\\frac{2}{7}$이고, B 주머니에서 빨간 공이 나올 확률은 $\\frac{3}{9}=\\frac{1}{3}$이므로 구하는 확률은 $\\frac{2}{7}\\times\\frac{1}{3}=\\frac{2}{21}$ $(ⅰ)$, $(ⅱ)$에 의해 A, B 두 주머니에서 각각 $1$ 개씩 공을 꺼낼 때 두 공의 색깔이 서로 다를 확률은 $\\frac{10}{21}+\\frac{2}{21}=\\frac{4}{7}$"
    },
    {
        "question": "빨간 공 $4$ 개, 노란 공 $6$ 개가 들어 있는 주머니에서 한 개의 공을 꺼낼 때, 빨간 공이 나올 확률을 구하여라.",
        "answer": "공을 꺼내는 모든 경우의 수는 $4+6$$=10$이고, 빨간 공이 나오는 경우의 수는 $4$이다. 따라서 빨간 공이 나올 확률은 $\\frac{4}{10}=\\frac{2}{5}$"
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같이 원뿔의 모선을 $2 : 1$로 나누는 점을 지나고 밑면과 평행한 평면으로 자를 때 생기는 두 입체도형 $P$와 $Q$의 부피의 비를 가장 간단한 자연수의 비로 나타내어라.",
        "answer": "원뿔 $P$와 처음 원뿔의 닮음비는 $2 : (2+1)$$=2 : 3$이므로 부피의 비는 $2^3 : 3^3=8 : 27$ 원뿔 $P$와 원뿔대 $Q$의 부피의 비를 구하면 $8 : (27-8)$$=8 : 19$"
    },
    {
        "question": "오른쪽 그림과 같은 $\\triangle ABC$에서 $\\angle A=\\angle {ADB}=54\\degree$,$\\angle C=27\\degree$이고 $\\overline{AB}=5cm$일 때,$x$의 값을 구하려고 한다.  (1) $\\angle CBD$의 크기를 구하여라.    (2) $x$의 값을 구하여라.",
        "answer": "(1) $\\triangle BCD$에서 한 외각의 크기는 그와 이웃하지 않은 두 내각의 크기의 합과 같으므로 $54\\degree=\\angle CBD+27\\degree$ $∴$ $\\angle CBD$$=27\\degree$ (2) $\\triangle ABD$에서 $\\angle A$$=\\angle ADB$$=54\\degree$이므로 $\\overline{BD}=\\overline{AB}$$=5 cm$ $\\triangle BCD$에서 $\\angle CBD$$=\\angle C$$=27\\degree$이므로 $\\overline{CD}=\\overline{BD}$$=5 cm$ $\\therefore x=5$"
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같은 $\\triangle ABC$와 $\\triangle BDE$에서 $\\overline{AE}=\\overline{EB}$, $\\overline{DF}=\\overline{FE}$이다. 점 E에서 $\\overline{BC}$에 평행한 선분을 그어 $\\overline{AC}$와 만나는 교점을 $G$라 할 때, $\\overline{AC}$의 길이를 구하여라.",
        "answer": "$\\triangle EFG\\equiv\\triangle DFC$ ($ASA$ 합동)이므로 $\\overline{FG}$$=\\overline{FC}$$=5 cm$ $\\triangle ABC$에서 $\\overline{AE} : \\overline{BE}=\\overline{AG} : \\overline{CG}$ $1 : 1=\\overline{AG} : (5+5)$ $∴ \\overline{AG}$$=10 (cm)$ $∴ \\overline{AC}$$=\\overline{AG}+\\overline{FG}+\\overline{CF}$$=10+5+5$$=20 (cm)$"
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같이 $\\overline{AD} // \\overline{BC}$인 사다리꼴 $ABCD$에서 $\\overline{AB}$, $\\overline{CD}$의 중점을 각각 $M$, $N$이라 할 때, $\\overline{MN}$의 길이를 구하여라.",
        "answer": "$\\overline{DM}$의 연장선과 $\\overline{BC}$의 연장선의 교점을 $P$라고 하자. $\\triangle AMD\\equiv\\triangle BMP$(ASA 합동)이므로 $\\overline{BP}$$=\\overline{AD}$$=8 cm$ $\\overline{DM}$$=\\overline{PM}$이므로 $\\triangle CDP$에서 $\\overline{MN}=\\frac{1}{2}\\overline{CP}$$=\\frac{1}{2}\\times(12+8)$$=\\frac{1}{2}\\times20$$=10 (cm)$"
    },
    {
        "question": "다음 그림에서 두 점 $G$, $G'$은 각각 $\\triangle ABC$, $\\triangle AGC$의 무게중심이다. $\\overline{BD}=12$일 때, $\\overline{GG}'$의 길이를 구하여라.",
        "answer": "$\\triangle ABC$에서 $\\overline{BG} : \\overline{GD}$$=2 : 1$ $\\overline{GD}$$=\\frac{1}{3}\\overline{BD}=\\frac{1}{3}\\times12$$=4$ $\\triangle AGC$에서 $\\overline{GG'} : \\overline{G'D}$$=2 : 1$ $\\overline{GG'}$$=\\frac{2}{3}\\overline{GD}=\\frac{2}{3}\\times4$$=\\frac{8}{3}$"
    },
    {
        "question": "다음 그림에서 $\\overline{BD}$가 $\\triangle ABC$의 중선이다. $\\triangle ABD$의 넓이가 $\\frac{9}{2}$일 때, $\\triangle BCD$의 넓이를 구하여라.",
        "answer": "$\\triangle BCD$$=\\triangle ABD$$=\\frac{9}{2}$"
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같이 $\\overline{AD}$$ // $$\\overline{BC}$인 사다리꼴 $ABCD$에서 $\\overline{AB}$, $\\overline{CD}$의 중점을 각각 $M$, $N$이라 할 때, $\\overline{MN}$의 길이를 구하여라.",
        "answer": "$\\overline{AN}$의 연장선과 $\\overline{BC}$의 연장선의 교점을 $P$라고 하자. $\\triangle AND\\equiv\\triangle PNC$(ASA 합동)이므로 $\\overline{CP}$$=\\overline{DA}$$=10 cm$ $\\overline{AN}$$=\\overline{PN}$이므로 $\\triangle ABP$에서 $\\overline{MN}=\\frac{1}{2}\\overline{BP}$$=\\frac{1}{2}\\times(24+10)$$=\\frac{1}{2}\\times34$$=17 (cm)$"
    },
    {
        "question": "다음 그림에서 점 G는 $\\triangle ABC$의 무게중심이고 $\\overline{BM} // \\overline{DN}$이다. $\\overline{BG}=3$일 때, $\\frac{y}{x}$의 값을 구하여라.",
        "answer": "$\\triangle ABC$에서 $\\overline{BG} : \\overline{GM}$$=2 : 1$ $3 : x$$=2 : 1$ $2x=3$ $∴ x$$=\\frac{3}{2}$ $\\triangle BCM$에서 $\\overline{BD}=\\overline{DC}$이고 $\\overline{BM} // \\overline{DN}$이므로 $\\overline{CD} : \\overline{BC}=\\overline{DN} : \\overline{BM}$ $1 : 2=y : (3+ \\frac{3}{2})$ $2y=\\frac{9}{2}$ $∴ y$$=\\frac{9}{4}$ $∴ \\frac{y}{x}$$=\\frac{9}{4}\\div\\frac{3}{2}$$=\\frac{3}{2}$"
    },
    {
        "question": "서로 닮은 두 평면도형의 닮음비가 $7 : 4$이고 작은 도형의 넓이가 $80 cm^2$일 때, 큰 도형의 넓이를 구하여라.",
        "answer": "서로 닮은 두 평면도형의 넓이의 비는 $7^2 : 4^2$$=49 : 16$ 큰 도형의 넓이를 $x cm^2$라 하면 $x : 80=49 : 16$ $\\therefore x=245$ 따라서 큰 도형의 넓이는 $245 cm^2$이다."
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같은 평행사변형 $ABCD$에서 $\\overline{BC}$, $\\overline{CD}$의 중점을 각각 M, N이라 하고, $\\overline{BD}$와 $\\overline{AM}$, $\\overline{AN}$의 교점을 각각 $P$, $Q$라 하자. $\\overline{PQ}=5$일 때, $\\overline{MN}$의 길이를 구하여라.",
        "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{AC}$를 긋고 $\\overline{AC}$와 $\\overline{BD}$의 교점을$ O$라고 하자. 두 점$ P$, $Q$는 각각 $\\triangle ABC$, $\\triangle ACD$의 무게중심이므로 $\\overline{BD}$$=3\\overline{PQ}$$=3\\times5$$=15$ $\\triangle BCD$에서 $\\overline{BM}=\\overline{MC}$, $\\overline{CN}=\\overline{ND}$이므로 $\\overline{MN}=\\frac{1}{2}\\overline{BD}$$=\\frac{15}{2}$"
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같은 사다리꼴 $ABCD$에서 $\\overline{AD}$$ // $$\\overline{EF}$$ // $$\\overline{BC}$일 때, $\\overline{AD}$의 길이를 구하여라.",
        "answer": "$\\overline{AD}$$=x$라 하고 점 $A$에서 $\\overline{CD}$에 평행한 직선을 그어 $\\overline{EF}$, $\\overline{BC}$와 만나는 점을 각각 $G$, $H$라 하자.  $\\overline{AD}$$=\\overline{FG}$$=\\overline{CH}$$=x$이므로 $\\overline{EG}$$=8-x$, $\\overline{BH}$$=9-x$ $\\triangle ABH$에서 $\\overline{AE} : \\overline{AB}=\\overline{EG} : \\overline{BH}$ $4 : (4+2)=(8-x) : (9-x)$ $36-4x=48-6x$ $∴$ $x=6$ 따라서 $\\overline{AD}$의 길이는 $6$이다."
    },
    {
        "question": "다음 그림에서 점 G는 $\\triangle ABC$의 무게중심이고, 두 점$ D$, $E는$ 각각 $\\overline{AG}$, $\\overline CG$의 중점이다. $\\triangle ABC$의 넓이가 $60 cm^2$일 때, 색칠한 부분의 넓이를 구하여라.",
        "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{BG}$를 그으면 $\\triangle ABG$$=\\frac{1}{3}\\triangle ABC$$=\\frac{1}{3}\\times60$$=20 (cm^2)$ $\\overline{AD}=\\overline{DG}$이므로 $\\triangle BGD$$=\\frac{1}{2}\\triangle ABG$$=\\frac{1}{2}\\times20$$=10 (cm^2)$ 같은 방법으로 $\\triangle BEG=10 cm^2$ 따라서 색칠한 부분의 넓이는 $\\triangle BGD+\\triangle BEG=10+10=20 (cm^2)$"
    },
    {
        "question": "$5$부터 $10$까지의 자연수가 각각 적힌 카드 $6$ 장 중에서 한 장의 카드를 뽑아서 나온 수를 $a$라 한다. $\\frac{1}{a}$을 소수로 나타내었을 때, 순환소수가 되는 경우의 수를 구하여라.",
        "answer": "$\\frac{1}{a}$을 소수로 나타내었을 때 순환소수가 되려면 $a$에 $2$나 $5$ 이외의 소인수가 있어야 한다.  $5$부터 $10$까지의 자연수 중 $2$나 $5$ 이외의 소인수를 갖는 수는 $6$, $7$, $9$이고 그 경우의 수는 $3$이다."
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같이 $\\angle A$$=90\\degree$인 직각삼각형 모양의 종이 $ABC$에서 $\\overline{AB}$의 중점을 $D$, 점 $D$에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 $E$라 하자. 이 종이를 $\\overline{DE}$를 접는 선으로 하여 꼭짓점 $B$가 $\\overline{BC}$ 위의 점 $B'$에 오도록 접었다. $\\overline{AB}=6 cm$, $\\overline{BC}=10 cm$일 때, $\\overline{B'C}$의 길이를 구하여라.",
        "answer": "$\\triangle ABC$와 $\\triangle EBD$에서 $\\angle B$는 공통, $\\angle A$$=\\angle BED$$=90\\degree$ 이므로 $\\triangle ABC \\backsim \\triangle EBD$ ($AA$ 닮음) $\\overline{AB} : \\overline{EB}=\\overline{BC} : \\overline{BD}$ $6 : \\overline{BE}=10 : 3$ $10\\overline{BE}=18$ $∴ \\overline{BE}=\\frac{9}{5} (cm)$ $∴ \\overline{B'C}=\\overline{BC}-\\overline{BB'}=\\overline{BC}-2\\overline{BE}$ $=$$10-2\\times\\frac{9}{5}$$=$$\\frac{32}{5} (cm)$"
    },
    {
        "question": "다음 그림에서 $\\triangle ABC$의 무게중심 G를 지나고 $\\overline{BC}$에 평행한 직선이 $\\overline{AB}$, $\\overline{AC}$와 만나는 점을 각각 $D, E$라 하자. $\\overline{BC}=15 cm$일 때, $\\overline{DE}$의 길이를 구하여라.",
        "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{AG}$의 연장선과 $\\overline{BC}$의 교점을 M이라 하자. $\\triangle ABM$에서 $\\overline{AD} : \\overline{AB}$$=\\overline{AG} : \\overline{AM}$$=2 : 3$ $\\triangle ABC$에서 $\\overline{AD} : \\overline{AB}$$=\\overline{DE} : \\overline{BC}$ $2 : 3=\\overline{DE} : 15$ $3\\overline{DE}=30$ $∴ \\overline{DE}$$=10 (cm)$"
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같이 $\\overline{AD}$$ // $$\\overline{BC}$인 등변사다리꼴 $ABCD$에서 세 점 $P$, $M$, $Q$는 각각 $\\overline{AD}$, $\\overline{BD}$, $\\overline{BC}$의 중점이다. $\\angle ABD=42\\degree$, $\\angle BDC=82\\degree$일 때, $\\angle MPQ$의 크기를 구하여라.",
        "answer": "$\\triangle ABD$에서 $\\overline{AP}=\\overline{PD}$, $\\overline{BM}=\\overline{MD}$이므로 $\\overline{MP} // \\overline{AB}$, $\\overline{MP}=\\frac{1}{2}\\overline{AB}$ ······ ㉠ $\\angle DMP$$=\\angle ABD$$=42\\degree$ (동위각) $\\triangle BCD$에서 $\\overline{BM}=\\overline{MD}$, $\\overline{BQ}=\\overline{QC}$이므로 $\\overline{MQ} // \\overline{CD}$, $\\overline{MQ}=\\frac{1}{2}\\overline{CD}$ ······ ㉡ $\\angle BMQ$$=\\angle BDC$$=82\\degree$ (동위각) $\\angle DMQ$$=180\\degree-\\angle BMQ$$=180\\degree-82\\degree$$=98\\degree$이므로 $=$$42\\degree+98\\degree$$=$$140\\degree$ 이때 $\\overline{AB}=\\overline{CD}$이므로 ㉠, ㉡에서 $\\overline{MP}=\\overline{MQ}$ 따라서 $\\triangle MQP$는 $\\overline{MP}=\\overline{MQ}$인 이등변삼각형이므로 $\\angle MPQ$$=\\frac{1}{2}\\times(180\\degree-140\\degree)$$=20\\degree$"
    },
    {
        "question": "다음 두 종이컵 A, B는 닮음비가 $3 : 2$인 닮은 도형이다. 종이컵 B에 가득 담을 수 있는 주스의 양이 $120 mL$일 때, 종이컵 A에 가득 담을 수 있는 주스의 양을 구하여라.",
        "answer": "부피의 비는 $3^3 : 2^3=27 : 8$ 종이컵 A에 가득 담을 수 있는 주스의 양을 $x mL$라 하면 $x : 120=27 : 8$ $8x=3240$ $∴ x=405$ 따라서 종이컵 A에 가득 담을 수 있는 주스의 양은 $405 mL$이다."
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같은 원뿔 모양의 그릇에 물을 부어서 그릇의 높이의 $\\frac{1}{4}$만큼 채웠을 때, 물의 부피를 구하여라.",
        "answer": "물이 채워진 부분과 그릇은 닮은 도형이고 그릇의 높이의 $\\frac{1}{4}$만큼 물을 채웠으므로 닮음비는 $1 : 4$ 수면의 반지름의 길이를 $r cm$라 하면 $r : 12=1 : 4$ $∴ r=3$ 물이 채워진 부분의 높이를 $h$ $cm$라 하면 $h : 32=1 : 4$ $∴ h=8$ 따라서 구하는 물의 부피는 $\\frac{1}{3}\\times\\pi\\times3^2\\times8$$=24\\pi (cm^3)$"
    },
    {
        "question": "다음 그림에서 $\\triangle ABC$의 무게중심 $G$를 지나고 $\\overline{AB}$에 평행한 직선이 $\\overline{AC}$, $\\overline{BC}$와 만나는 점을 각각 $D, E$라 하자. $\\overline{DE}=9 cm$일 때, $x$의 값을 구하여라.",
        "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{CG}$의 연장선과 $\\overline{AB}$의 교점을 $F$라 하자. $\\triangle AFC$에서 $\\overline{CD} : \\overline{AC}$$=\\overline{CG} : \\overline{CF}$$=2 : 3$ $\\triangle ABC$에서 $\\overline{CD} : \\overline{AC}$$=\\overline{DE} : \\overline{AB}$ $2 : 3=9 : x$ $2x=27$ $∴ x$$=\\frac{27}{2}$"
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같이 크기가 같은 정육면체 모양의 상자 $A$, $B$가 있다. $A$ 상자에는 크기가 같은 작은 공 $64$ 개가 꼭 맞게 들어갔고, $B$ 상자에는 큰 공 $1$ 개가 꼭 맞게 들어갔다. 두 상자$ A$,$ B$ 각각에 들어 있는 공 전체의 겉넓이의 비를 가장 간단한 자연수의 비로 나타내어라. (단, 공은 모두 구 모양이다.)",
        "answer": "두 상자에 들어 있는 공 $1$ 개의 닮음비는 $1 : 4$이므로 겉넓이의 비는 $1^2 : 4^2=1 : 16$ 두 상자 A, B에 들어 있는 공의 개수는 각각 $64$ 개, $1$ 개이므로 공 전체의 겉넓이의 비는 $(1\\times64) : (16\\times1)$$=4 : 1$"
    },
    {
        "question": "오른쪽 그림에서 $점 G$가 $\\triangle ABC$의 무게중심이고 $\\overline{BC}//\\overline{EG}$이다. $\\triangle ABC$의 넓이가 $24cm^2$일 때, $\\triangle AEG$의 넓이를 구하려고 한다. $(1) \\triangle ABG$의 넓이를 구하여라. $(2)\\triangle AEG$의 넓이를 구하여라.",
        "answer": "(1)$\\overline{BD}=\\overline{DC}$이므로  $\\triangle ABD=\\frac{1}{2}$$\\triangle ABC$ $∴\\triangle ABG=\\frac{2}{3}$$\\triangle ABD=\\frac{2}{3}$$\\times \\frac{1}{2}\\triangle ABC=\\frac{1}{3}\\triangle ABC$ $=$$\\frac{1}{3}\\times24$$=$$8 (cm^2)$  (2)$\\triangle ABD$에서 $\\overline{AE}:\\overline{EB}=\\overline{AG} : \\overline{GD}=2 : 1$이므로 $\\overline{AE}=\\frac{2}{3}\\overline{AB}$ $∴ \\triangle AEG=\\frac{2}{3}\\triangle ABG=\\frac{2}{3}\\times8=\\frac{16}{3} (cm^2)$"
    },
    {
        "question": "다음과 같이 $ㄱ~ㅂ$ 중에서 하나를 선택하여 사다리를 타면 상품을 받는 사다리 타기 그림을 그리는 중이다. 상품은 공, 줄넘기, 제기가 있고, 공은 줄넘기보다 $3$ 개 더 많이 있을 때, 나머지 자리에 상품을 배치하여 그림을 완성하는 경우의 수를 구하여라. (단, 어느 것을 선택해도 상품은 $1$ 개 받는다.)",
        "answer": "상품은 공, 줄넘기, 제기가 있고, 공은 줄넘기보다 $3$ 개 더 많이 있으므로 나머지 세 자리에 놓을 수 있는 상품은 공 $3$ 개이다. 나머지 자리에 놓을 수 있는 상품을 왼쪽부터 순서대로 $a$, $b$, $c$라 할 때, 각 경우를 순서쌍 $(a, b, c)$로 나타내면 $(공, 공, 공)$의 $1$ 가지이다. 따라서 그림을 완성하는 경우의 수는 $1$이다."
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같은 사다리꼴 $ABCD$에서 $\\overline{AD}$$ // $$\\overline{EF}$$ // $$\\overline{BC}$이고 점 $G$는 $\\overline{AC}$와 $\\overline{EF}$의 교점일 때, $x+y$의 값을 구하여라.",
        "answer": "$\\triangle ABC$에서 $\\overline{AE} : \\overline{AB}=\\overline{EG} : \\overline{BC}$ $9 : (9+6)=x : 15$ $∴$ $x$$=9$ $\\overline{CG} : \\overline{AC}$$=\\overline{BE} : \\overline{AB}$$=6 : (9+6)$$=2 : 5$ $\\triangle ACD$에서 $\\overline{CG} : \\overline{AC}=\\overline{FG} : \\overline{AD}$ $2 : 5=4 : y$ $2y=20$ $∴ $$y$$=10$ $∴$ $x+y$$=9+10$$=19$"
    },
    {
        "question": "비가 온 날의 다음 날에 비가 올 확률은 $\\frac{1}{4}$이고, 비가 오지 않은 날의 다음 날에 비가 올 확률은 $\\frac{5}{6}$라 한다. 수요일에 비가 왔을 때, 같은 주 금요일에 비가 올 확률을 구하여라.",
        "answer": "비가 온 날을 $𝗢$ , 비가 오지 않은 날을 $𝗫$로 표시하여 순서쌍 $(수, 목, 금)$으로 나타내면 (ⅰ)$( 𝗢, 𝗢 , 𝗢 )$인 경우 수요일에 비가 오고 목요일에 비가 올 확률은 $\\frac{1}{4}$ 목요일에 비가 오고 금요일에 비가 올 확률은 $\\frac{1}{4}$ 수요일에 비가 왔을 때, 목요일과 금요일에 비가 올 확률은 $\\frac{1}{4}\\times\\frac{1}{4}=\\frac{1}{16}$  (ⅱ)$( 𝗢,  𝗫 , 𝗢)$인 경우 수요일에 비가 오고 목요일에 비가 오지 않을 확률은 $1-\\frac{1}{4}=\\frac{3}{4}$ 목요일에 비가 오지 않고 금요일에 비가 올 확률은 $\\frac{5}{6}$ 수요일에 비가 왔을 때, 목요일에 비가 오지 않고 금요일에 비가 올 확률은 $\\frac{3}{4}\\times\\frac{5}{6}=\\frac{5}{8}$ (ⅰ), (ⅱ)에 의해 수요일에 비가 왔을 때, 같은 주 금요일에 비가 올 확률은 $\\frac{1}{16}+\\frac{5}{8}$$=\\frac{11}{16}$"
    },
    {
        "question": "다음 그림의 두 정육면체 $A$와 $B$는 서로 닮은 도형이고 $A$와 $B$의 닮음비가 $1 : 2$일 때, 정육면체 $B$의 모든 모서리의 길이의 합을 구하여라.",
        "answer": "정육면체 $B$의 한 모서리의 길이를 $x cm$라 하면 $6 : x=1 : 2$ $∴ x=12$ 정육면체 $B$의 모든 모서리의 길이의 합은 $12\\times12=144 (cm)$"
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같은 $\\triangle ABC$에서 $\\angle A$$=\\angle ACD$$=\\angle BCD$일 때, $\\overline{AC}$의 길이를 구하여라.",
        "answer": "$\\triangle ABC$와 $\\triangle CBD$에서 $\\angle B$는 공통, $\\angle BAC=\\angle BCD$ 이므로 $\\triangle ABC$$\\backsim$$\\triangle CBD$ ($AA$ 닮음) $\\overline{AB} : \\overline{CB}=\\overline{BC} : \\overline{BD}$ $11 : 7=7 : \\overline{BD}$ $11\\overline{BD}=49$ $∴$ $\\overline{BD}$$=\\frac{49}{11} (cm)$ $\\triangle ABC$에서 $\\overline{CD}$는 $\\angle C$의 이등분선이므로 $\\overline{AC} : \\overline{BC}$$=$$\\overline{AD} : \\overline{BD}$ $\\overline{AC} : 7$$=$$(11-\\frac{49}{11}) : \\frac{49}{11}$ $\\frac{49}{11}\\overline{AC}=\\frac{504}{11}$ $∴$ $\\overline{AC}$$=\\frac{72}{7} (cm)$"
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같이 원뿔의 모선을 $3 : 2$로 나누는 점을 지나고 밑면과 평행한 평면으로 자르면 두 입체도형 $P$와 $Q$가 생긴다. 원뿔 $P$의 부피가 $108 cm^3$일 때, 원뿔대 $Q$의 부피를 구하여라.",
        "answer": "원뿔 $P$와 처음 원뿔의 닮음비는 $3 : (3+2)$$=3 : 5$이므로 부피의 비는 $3^3 : 5^3=27 : 125$ 원뿔 $P$와 원뿔대 $Q$의 부피의 비를 구하면 $27 : (125-27)$$=27 : 98$ 원뿔대 $Q$의 부피를 $x cm^3$라 하면 $108 : x=27 : 98$ $∴$ $x=392$ 따라서 원뿔대 $Q$의 부피는 $392 cm^3$이다."
    },
    {
        "question": "오른쪽 그림의 평행사변형 $ABCD$에서$\\overline{CD}$의 연장선 위의 점 $F$에 대하여 $\\overline{AD}$와$\\overline{BF}$의 교점을 $E$라 할 때, $\\overline{AE}$의 길이를 구하려고 한다. (1) $\\overline{ED}$의 길이를 구하여라 (2) $\\overline{AE}$의 길이를 구하여라.",
        "answer": "(1) $\\square ABCD$가 평행사변형이므로 $\\overline{BC}$$ // $$\\overline{DE}$ $\\\\$ $\\triangle BCF$에서 $\\overline{BC}$$ // $$\\overline{DE}$이므로 $\\overline{FD} : \\overline{FC}=\\overline{ED} : \\overline{BC}$ $6 : (6+10)=\\overline{ED} : 12$ $\\\\$ $16\\overline{ED}=72$ $\\\\$ $∴$ $\\overline{ED}=\\frac{9}{2} (cm)$ (2) $\\square ABCD$가 평행사변형이므로 $\\overline{AD}$$=\\overline{BC}$$=12 cm$ $\\\\$ $∴ \\overline{AE}=\\overline{AD}-\\overline{ED}=12-\\frac{9}{2}=\\frac{15}{2} (cm)$"
    },
    {
        "question": "다음 그림에서 점 $G$는 $\\triangle{A}{B}{C}$의 무게중심이고 점 $E$는 $\\overline{{A}{G}}$의 중점이다. $\\overline{{A}{D}}=36{ }{cm}$일 때, $\\overline{{E}{G}}$의 길이를 구하려고 한다.  (1) $\\overline{{A}{G}}$의 길이를 구하여라. (2) $\\overline{{E}{G}}$의 길이를 구하여라.",
        "answer": "(1) 삼각형의 무게중심은 세 중선의 길이를 각 꼭짓점으로부터 각각 $2 : 1$로 나누므로 $\\overline{AG} : \\overline{GD}$$=2 : 1$ $∴$ $\\overline{AG}$$=\\frac{2}{3}\\overline{AD}=\\frac{2}{3}\\times36$$=24 (cm)$ (2) 점 $E$는 $\\overline{AG}$의 중점이므로 $\\overline{EG}=\\frac{1}{2}\\overline{AG}=\\frac{1}{2}\\times24=12 (cm)$"
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같이 $\\overline{AB} // \\overline{CD}$인 사다리꼴 $ABCD$에서 $\\triangle ABO$의 넓이가 $16$일 때, $\\square ABCD$의 넓이를 구하여라. (단, 점 $O$는 두 대각선의 교점이다.)",
        "answer": "$\\triangle ABO$와 $\\triangle CDO$에서 $\\angle AOB=\\angle COD$ (맞꼭지각), $\\angle BAO=\\angle DCO$ (엇각) 이므로 $\\triangle ABO~\\triangle CDO$ (AA 닮음) 닮음비는 $\\overline{AB} : \\overline{CD}$$=8 : 12$$=2 : 3$이므로 넓이의 비는 $2^2 : 3^2=4 : 9$ $16 : \\triangle CDO=4 : 9$ $∴ \\triangle CDO$$=36$ $\\triangle ABD$에서 $\\triangle ABO : \\triangle ADO=\\overline{BO} : \\overline{OD}$$=2 : 3$ $16 : \\triangle ADO=2 : 3$ $∴ \\triangle ADO$$=24$ 같은 방법으로 $\\triangle BCO$$=24$ $∴ \\square ABCD$$=16+24+36+24$$=100$"
    },
    {
        "question": "다음 그림에서 $x$, $y$의 값을 각각 구하여라.",
        "answer": "피타고라스 정리에 의하여 $\\triangle ABD$에서 $9^2+x^2=15^2$, $x^2$$=144$$=12^2$ $x>0$이므로 $x$$=12$ $\\triangle ADC$에서 $12^2+y^2=20^2$, $y^2$$=256$$=16^2$ $y>0$이므로 $y$$=16$"
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같은 $\\triangle ABC$에서 세 점 $D$, $E$, $F$가 각각 $\\overline{AB}$, $\\overline{BC}$, $\\overline{AC}$의 중점이고 $\\triangle ABC$의 넓이가 $28 cm^2$일 때, $\\triangle DEF$의 넓이를 구하여라.",
        "answer": "$\\triangle ABC$에서 $\\overline{DF}=\\frac{1}{2}\\overline{BC}=\\overline{BE}=\\overline{EC}$ $\\overline{DE}=\\frac{1}{2}\\overline{AC}=\\overline{AF}=\\overline{FC}$ $\\overline{EF}=\\frac{1}{2}\\overline{AB}=\\overline{AD}=\\overline{DB}$ 이므로 $\\triangle ADF\\equiv\\triangle DBE\\equiv\\triangle FEC\\equiv\\triangle EFD$ ($SSS$ 합동) $∴$ $\\triangle DEF=\\frac{1}{4}\\triangle ABC=\\frac{1}{4}\\times28=7 (cm^2)$"
    },
    {
        "question": "오른쪽 그림과 같은 평행사변형 $ABCD$에서 점 $E$는 $\\overline{AD}$의 중점이고 점 $G$는 $\\overline{BD}$와 $\\overline{CE}$의 교점이다. $\\square{ABCD}$의 넓이가 $32cm^2$ 일 때, $\\triangle{DEG}$의 넓이를 구하여라.",
        "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{AC}$를 긋고 $\\overline{AC}$와 $\\overline{BD}$의 교점을 $O$라 하자. $\\triangle ACD=\\frac{1}{2}\\square ABCD=\\frac{1}{2}\\times32=16 (cm^2)$ 점 $E$는 $\\overline{AD}$의 중점이므로 $\\triangle CDE=\\frac{1}{2}\\triangle ACD=\\frac{1}{2}\\times16=8 (cm^2)$ 한편, 평행사변형의 성질에 의하여 점 $O$는 $\\overline{AC}$의 중점이다. $\\triangle ACD$에서 $\\overline{CE}$, $\\overline{DO}$는 중선이므로 점 $G$는 $\\triangle ACD$의 무게중심이다. $\\overline{CG} : \\overline{GE}=2 : 1$이므로 $\\overline{GE}=\\frac{1}{3}\\overline{CE}$ $∴ \\triangle DEG=\\frac{1}{3}\\triangle CDE=\\frac{1}{3}\\times8=\\frac{8}{3} (cm^2)$"
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같이 $\\overline{AD} // \\overline{BC}$인 사다리꼴 $ABCD$에서 대각선 $\\overline{BD}$ 위의 점 $P$를 지나고 $\\overline{BC}$에 평행한 직선과 $\\overline{AC}$의 교점을 $Q$라 하자. $3\\overline{CQ}=\\overline{AQ}$, $\\overline{AD}=15 cm$, $\\overline{BC}=20 cm$이고 $\\overline{OQ}=k\\overline{CQ}$일 때, 유리수 $k$의 값을 구하여라. (단, 점 $O$는 두 대각선의 교점이다.)",
        "answer": "$\\triangle BCO \\backsim \\triangle DAO$ ($AA$ 닮음)이므로  $\\overline{CO} : \\overline{AO}$$=\\overline{BC} : \\overline{DA}$$=20 : 15$$=4 : 3$ $\\overline{CO} : \\overline{AO}=4 : 3$, $\\overline{CQ} : \\overline{AQ}=1 : 3$이므로 $\\overline{CO}=4x cm$, $\\overline{AO}=3x cm$, $\\overline{CQ}=y cm$, $\\overline{AQ}=3y cm$라 하자. $\\overline{AC}$$=\\overline{AO}+\\overline{CO}$$=3x+4x$$=7x$ $\\overline{AC}$$=\\overline{AQ}+\\overline{CQ}$$=3y+y$$=4y$ 즉, $7x=4y$이므로 $y=\\frac{7}{4}x$ $=$$\\frac{9}{4}x (cm)$ $\\overline{OQ}=k\\overline{CQ}$이므로 $\\frac{9}{4}x=k\\times\\frac{7}{4}x$ $ \\therefore k=\\frac{9}{7}$"
    },
    {
        "question": "이어달리기 선수 $4$ 명이 달리는 순서를 정하는 방법은 몇 가지인지 구하여라.",
        "answer": "첫 번째 주자를 정하는 경우의 수는 $4$이고, 두 번째 주자를 정하는 경우의 수는 첫 번째 주자를 제외한 $3$, 세 번째 주자를 정하는 경우의 수는 첫 번째 주자와 두 번째 주자를 제외한 $2$이다. 같은 방법으로 네 번째 주자를 정하는 경우의 수는 $1$이다. 따라서 구하는 방법은 $4\\times3\\times2\\times1=24$ (가지)"
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같은 $\\triangle ABC$에서 $\\angle A=\\angle ACD=\\angle BCD$일 때, $\\overline{AC}$의 길이를 구하여 라. ",
        "answer": "$\\triangle ABC$와 $\\triangle CBD$에서 $\\angle B$는 공통, $\\angle BAC=\\angle BCD$ 이므로 $\\triangle ABC\\backsim\\triangle CBD$ (AA 닮음) $\\overline{AB} : \\overline{CB}=\\overline{BC} : \\overline{BD}$ $10 : 6=6 : \\overline{BD}$ $10\\overline{BD}=36$ $∴ \\overline{BD}$$=\\frac{18}{5} (cm)$ $\\triangle ABC$에서 $\\overline{CD}$는 $\\angle C$의 이등분선이므로 $\\overline{AC} : \\overline{BC}=\\overline{AD} : \\overline{BD}$ $\\overline{AC} : 6=(10-\\frac{18}{5}) : \\frac{18}{5}$ $\\frac{18}{5}\\overline{AC}=\\frac{192}{5}$ $∴ \\overline{AC}$$=\\frac{32}{3} (cm)$"
    },
    {
        "question": "학생들이 한 사람씩 돌아가면서 자연수를 $1$부터 차례로 말하는데 $4$의 배수 또는 $7$의 배수는 수를 말하는 대신 손뼉을 치는 게임을 하려고 한다. $25$ 이하의 자연수 중 손뼉을 쳐야 하는 자연수의 개수를 구하여라.",
        "answer": "$1$부터 $25$ 이하의 자연수 중 $4$의 배수는 $4, 8, 12, 16, 20, 24$의 $6 개$이고, $7$의 배수는 $7, 14, 21$의 $3 개$이다. 이때 $4$의 배수와 $7$의 배수는 동시에 나오지 않으므로 손뼉을 쳐야 하는 자연수는 $6+3=9 (개)$"
    },
    {
        "question": "석고로 크기가 다른 두 개의 닮은 조형물을 만들어서 겉면에 물감을 칠하는 데 각각 $32 mL$, $18 mL$의 물감이 필요하다고 한다. 큰 조형물을 만드는 데 $128 cm^3$의 석고가 필요하다고 할 때, 작은 조형물을 만드는 데 몇 $cm^3$의 석고가 필요한지 구하여라. (단, 필요한 물감의 양은 조형물의 겉넓이에 정비례하고 조형물 속은 석고로 빈틈없이 채워져 있다.)",
        "answer": "두 조형물의 겉넓이의 비가 $32 : 18$$=16 : 9$$=4^2 : 3^2$이므로 닮음비는 $4 : 3$ 따라서 두 조형물의 부피의 비는 $4^3 : 3^3$$=64 : 27$ 작은 조형물을 만드는 데 필요한 석고의 양을 $x cm^3$라 하면 $128 : x=64 : 27$ $64x=3456$ $∴$ $x=54$ 따라서 작은 조형물을 만드는 데 필요한 석고의 양은 $54 cm^3$이다."
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같이 가로, 세로의 길이가 각각 $12 cm$, $5 cm$인 직사각형 $ABCD$의 점 $A$에서 대각선 $BD$에 내린 수선의 발을 H라 할 때, $\\overline{AH}$의 길이를 구하여라.",
        "answer": "$\\triangle ABD$에서 $5^2+12^2=\\overline{BD}^2$, $\\overline{BD}^2=169$$=13^2$ $\\overline{BD}>0$이므로 $\\overline{BD}$$=13 (cm)$ $\\frac{1}{2}\\times\\overline{AD}\\times\\overline{AB}$$=\\frac{1}{2}\\times\\overline{BD}\\times\\overline{AH}$이므로 $\\frac{1}{2}\\times12\\times5$$=\\frac{1}{2}\\times13\\times\\overline{AH}$ $∴$ $\\overline{AH}$$=\\frac{60}{13} (cm)$"
    },
    {
        "question": "두 자연수 $m$, $n$에 대하여 $2^m+4^n$의 일의 자리의 숫자가 $2$일 확률을 구하여라.",
        "answer": "$2^m$의 일의 자리의 숫자는 $2$, 4$, 8$, $6$이 반복되고, $4^n$의 일의 자리의 숫자는 $4$, $6$이 반복되므로 $2^m+4^n$의 일의 자리의 숫자가 $2$인 경우의 확률은 다음과 같다. (ⅰ)$2^m$의 일의 자리의 숫자가 $8$이고, $4^n$의 일의 자리의 숫자가 $4$일 확률 $2^m$의 일의 자리의 숫자가 $8$일 확률은 $\\frac{1}{4}$, $4^n$의 일의 자리의 숫자가 $4$일 확률은 $\\frac{1}{2}$이므로 구하는 확률은 $\\frac{1}{4}\\times\\frac{1}{2}$$=\\frac{1}{8}$ $2^m$의 일의 자리의 숫자가 $6$이고, $4^n$의 일의 자리의 숫자가 $6$일 확률 (ⅱ)$2^m$의 일의 자리의 숫자가 $6$일 확률은 $\\frac{1}{4}$, $4^n$의 일의 자리의 숫자가 $6$일 확률은 $\\frac{1}{2}$이므로 구하는 확률은 $\\frac{1}{4}\\times\\frac{1}{2}$$=\\frac{1}{8}$(ⅰ), (ⅱ)에서 $2^m+4^n$의 일의 자리의 숫자가 $2$일 확률은 $\\frac{1}{8}+\\frac{1}{8}=\\frac{1}{4}$"
    },
    {
        "question": "다음 그림의 직각삼각형 $ABC$에서 $\\overline{BC}$의 길이를 구하여라. ",
        "answer": "피타고라스 정리에 의하여 $12^2+\\overline{BC}^2=13^2$, $\\overline{BC}^2=25$$=5^2$ $\\overline{BC}>0$이므로 $\\overline{BC}$$=5$"
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같은 $\\triangle ABC$에서 $\\overline{AH}\\bot\\overline{BC}$일 때, $\\overline{AB}$의 길이를 구하여라. ",
        "answer": "피타고라스 정리에 의하여 $\\triangle AHC$에서 $12^2+\\overline{CH}^2=13^2$, $\\overline{CH}^2=25$$=5^2$ $\\overline{CH}>0$이므로 $\\overline{CH}$$=5 (cm)$ $\\triangle ABH$에서 $(21-5)^2+12^2=\\overline{AB}^2$, $\\overline{AB}^2=400$$=20^2$ $\\overline{AB}>0$이므로 $\\overline{AB}$$=20 (cm)$"
    },
    {
        "question": "서로 다른 세 개의 동전을 동시에 던질 때, 적어도 한 개는 앞면이 나오는 경우의 수를 구하여라.",
        "answer": "적어도 한 개는 앞면이 나오는 경우의 수는 모든 경우의 수에서 세 개의 동전이 모두 뒷면이 나오는 경우의 수를 제외하는 것과 같다. 서로 다른 세 개의 동전을 동시에 던질 때 일어날 수 있는 모든 경우의 수는 $2\\times2\\times2=8$ 이 중에서 모두 뒷면이 나오는 경우의 수는 (뒷면, 뒷면, 뒷면)의 $1$이다. 따라서 적어도 한 개는 앞면이 나오는 경우의 수는 $8-1$$=7$"
    },
    {
        "question": "다음 그림의 두 원기둥이 서로 닮은 도형일 때, 큰 원기둥의 밑넓이를 구하여라. ",
        "answer": "두 원기둥의 닮음비는 $12 : 8=3 : 2$ $x : 3=3 : 2$ $2x=9$ $x=\\frac{9}{2}$ 따라서 큰 원기둥의 밑넓이는 $\\pi\\times(\\frac{9}{2})^2$$=\\frac{81}{4}\\pi (cm^2)$"
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같은 $\\triangle ABC$에서 $90\\degree<\\angle A<180\\degree$일 때, $x$의 값이 될 수 있는 모든 자연수의 합을 구하여라.",
        "answer": "$x$가 가장 긴 변의 길이이고 삼각형이 되기 위한 조건에 의하여 $11<x<18$ 둔각삼각형이 되려면 $x^2>11^2+7^2$ ∴ $x^2>170$ 두 조건을 만족시키는 자연수 $x$는 $14$, $15$, $16$, $17$이므로 구하는 합은 $14+15+16+17=62$이다."
    },
    {
        "question": "다음 그림의 두 정삼각뿔 $A$, $B$는 서로 닮은 도형이고 부피의 비가 $64 : 27$일 때, $a$의 값을 구하여라.",
        "answer": "부피의 비가 $64 : 27=4^3 : 3^3$이므로 닮음비는 $4 : 3$ $a : 9=4 : 3$ $∴$ $a=12$"
    },
    {
        "question": "서로 다른 세 개의 주사위를 동시에 던질 때, 나오는 눈의 수의 합이 $17$이 되는 경우의 수를 구하여라.",
        "answer": "서로 다른 세 개의 주사위에서 나오는 눈의 수를 $a$, $b$, $c$라 할 때, 나오는 눈의 수의 합이 $17$이 되는 순서쌍 $(a, b, c)$를 구하면 $(5, 6, 6), $$(6, 5, 6), $$(6, 6, 5)$이고 그 경우의 수는 $3$이다."
    },
    {
        "question": "다음 그림에서 $\\overline{AQ}$와 $\\overline{DP}$의 교점이 $E$이고 $\\overline{AB} // \\overline{EF} // \\overline{CD}$이다. $\\overline{AB}=\\overline{CD}=12 cm$, $\\overline{BC}=18 cm$, $\\overline{EF}=3 cm$일 때, $\\overline{PQ}$의 길이를 구하여라.",
        "answer": "$\\overline{FP}=a cm$, $\\overline{FQ}=b cm$라 하자. $\\triangle CDP$에서 $\\overline{CD} // \\overline{EF}$이므로 $\\overline{FP} : \\overline{CP}=\\overline{EF} : \\overline{DC}$ $a : \\overline{CP}=3 : 12$ $a : \\overline{CP}=1 : 4$ $∴ \\overline{CP}=4a (cm)$ $∴ \\overline{CF}$$=\\overline{CP}-\\overline{FP}$$=4a-a$$=3a (cm) ······ ㉠$ $\\triangle ABQ$에서 $\\overline{AB} // \\overline{EF}$이므로 $\\overline{FQ} : \\overline{BQ}=\\overline{EF} : \\overline{AB}$ $b : \\overline{BQ}=3 : 12$ $b : \\overline{BQ}=1 : 4$ $∴ \\overline{BQ}=4b (cm)$ $∴ \\overline{BF}$$=\\overline{BQ}-\\overline{FQ}$$=4b-b$$=3b (cm) ······ ㉡$ $㉠$, $㉡$에서 $\\overline{BC}$$=\\overline{BF}+\\overline{CF}$$=3a+3b$$=3(a+b)=18$ $∴ a+b=6$ $∴ \\overline{PQ}$$=\\overline{FP}+\\overline{FQ}$$=a+b$$=6 (cm)$"
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같은 직각삼각형 $ABC$에서 $\\overline{AB}$, $\\overline{BC}$를 각각 지름으로 하는 반원의 넓이가 $17\\pi cm^2$, $67\\pi cm^2$일 때, $\\overline{AC}$의 길이를 구하여라.",
        "answer": "직각삼각형의 세 변을 각각 지름으로 하는 세 반원에서 가장 큰 반원의 넓이는 다른 두 반원의 넓이의 합과 같다. $(\\overline{AC}를 지름으로 하는 반원의 넓이)$$=$$67\\pi$$-$$17\\pi$$=50\\pi (cm^2)$이므로 $\\frac{1}{2}\\times\\pi\\times(\\frac{\\overline{AC}}{2})^2=50\\pi$,  $\\overline{AC}^2=400=20^2$ $\\overline{AC}>0$이므로 $\\overline{AC}$$=20 (cm)$"
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같이 직사각형 $ABCD$의 대각선을 한 변으로 하는 정사각형 $BEFD$의 넓이를 구하여라.",
        "answer": "$\\square BEFD$$=\\overline{BD}^2=6^2+7^2$$=85 (cm^2)$"
    },
    {
        "question": "다음 그림에서 $\\overline{AQ}$와 $\\overline{DP}$의 교점이 $E$이고 $\\overline{AB}$$ // $$\\overline{EF}$$ // $$\\overline{CD}$이다.  $\\overline{AB}=\\overline{CD}=16 cm$, $\\overline{BC}=27 cm$, $\\overline{EF}=4 cm$일 때, $\\overline{PQ}$의 길이를 구하여라.",
        "answer": "$\\overline{FP}=a cm$, $\\overline{FQ}=b cm$라 하자. $\\triangle CDP$에서 $\\overline{CD} // \\overline{EF}$이므로 $\\overline{FP} : \\overline{CP}=\\overline{EF} : \\overline{DC}$ $a : \\overline{CP}=4 : 16$ $a : \\overline{CP}=1 : 4$ $∴ \\overline{CP}=4a (cm)$ $∴ \\overline{CF}$$=\\overline{CP}-\\overline{FP}$$=4a-a$$=3a (cm)$ $······ ㉠$ $\\triangle ABQ$에서 $\\overline{AB} // \\overline{EF}$이므로 $\\overline{FQ} : \\overline{BQ}=\\overline{EF} : \\overline{AB}$ $b : \\overline{BQ}=4 : 16$ $b : \\overline{BQ}=1 : 4$ $∴ \\overline{BQ}=4b (cm)$ $∴ \\overline{BF}$$=\\overline{BQ}-\\overline{FQ}$$=4b-b$$=3b (cm)$ $······ ㉡$ ㉠, ㉡에서 $=$$3(a+b)$$=$$27$ $∴ a+b=9$ $∴ \\overline{PQ}$$=\\overline{FP}+\\overline{FQ}$$=a+b$$=9 (cm)$"
    },
    {
        "question": "다음과 같이 ㄱ~ㅂ 중에서 하나를 선택하여 사다리를 타면 상품을 받는 사다리 타기 그림을 그리는 중이다. 상품은 인형, 시계, 가방이 있고, 인형은 가방보다 $2$ 개 더 많이 있을 때, 나머지 자리에 상품을 배치하여 그림을 완성하는 경우의 수를 구하여라. (단, 어느 것을 선택해도 상품은 $1\\text{개}$ 받는다.)",
        "answer": "상품은 인형, 시계, 가방이 있고, 인형은 가방보다 $2$ 개 더 많이 있으므로 나머지 세 자리에 놓을 수 있는 상품은 인형 $2$ 개, 시계 $1$ 개이다. 나머지 자리에 놓을 수 있는 상품을 왼쪽부터 순서대로 $a$, $b$, $c$라 할 때, 각 경우를 순서쌍 $(a, b, c)$로 나타내면 (인형, 인형, 시계), (인형, 시계, 인형), (시계, 인형, 인형)의 $3$ 가지이다. 따라서 그림을 완성하는 경우의 수는 $3$이다."
    },
    {
        "question": "소연이가 문구점에서 $850$원짜리 연필 $1 $자루를 사려고 한다. $500$원짜리 동전 $1$개, $100$ 원짜리 동전 $8$ 개, $50$ 원짜리 동전 $3$ 개를 가지고 있을 때, 연필의 값을 지불하는 경우의 수를 구하여라.",
        "answer": "연필의 값을 지불할 수 있는 방법을 액수가 큰 동전의 개수부터 표로 나타내면 다음과 같다. (단위 : 개) <table border> <tbody> <tr> <td>$500$원</td> <td>$100$원</td> <td>$50$원</td> </tr> <tr> <td>$1$</td> <td>$3$</td> <td>$1$</td> </tr> <tr> <td>$1$</td> <td>$2$</td> <td>$3$</td> </tr> <tr> <td>$0$</td> <td>$8$</td> <td>$1$</td> </tr> <tr> <td>$0$</td> <td>$7$</td> <td>$3$</td> </tr> </tbody> </table> 따라서 그 경우의 수는 $4$이다."
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같이 $\\angle A=90\\degree$인 직각삼각형 $\\triangle ABC$에서 $\\overline {AB}=12cm$, $\\overline{AC}=9cm$, $\\overline{AD}$$\\bot$$\\overline{BC}$일 때, $\\overline{AD}$의 길이를 구하려고 한다.  $\\overline{AD}$의 길이를 구하여라. (1)$\\overline{BC}$의 길이를 구하여라. (2)$\\overline{AD}$의 길이를 구하여라.",
        "answer": "(1) 피타고라스 정리에 의하여 $\\triangle ABC$에서 $12^2+9^2=\\overline{BC}^2$ $\\overline{BC}^2=225=15^2$ $\\overline{BC}>0$이므로 $\\overline{BC}=15 (cm)$ (2) $\\triangle ABC$에서 $\\frac{1}{2}\\times\\overline{AB}\\times\\overline{AC}=\\frac{1}{2}\\times\\overline{BC}\\times\\overline{AD}$ $\\frac{1}{2}\\times12\\times9=\\frac{1}{2}\\times15\\times\\overline{AD}$ $∴ \\overline{AD}=\\frac{36}{5} (cm)$"
    },
    {
        "question": "서로 다른 동전 네 개와 주사위 한 개를 동시에 던질 때, 일어날 수 있는 모든 경우의 수를 구하여라.",
        "answer": "동전 한 개를 던질 때 일어날 수 있는 경우의 수는 $2$이고, 주사위 한 개를 던질 때 일어날 수 있는 경우의 수는 $6$이다. 따라서 서로 다른 동전 네 개와 주사위 한 개를 동시에 던질 때 일어날 수 있는 경우의 수는 $2\\times2\\times2\\times2\\times6$$=96$"
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같이 한 원 위에 있는 $10$ 개의 점 $A$, $B$,$ C$, $D$,$ E$,$ F$,$ G$, $H$, $I$,$ J$ 중에서 세 점을 연결하여 만들 수 있는 삼각형의 개수를 구하여라.",
        "answer": "$10$ 개의 점 중에서 순서에 상관없이 $3$ 개의 점을 선택하는 경우이므로 만들 수 있는 삼각형의 개수는 $\\frac{10\\times9\\times8}{3\\times2\\times1}=120 (개)$"
    },
    {
        "question": "어떤 야구팀에서 $A$ 선수의 타율은 $\\frac{1}{6}$, $B$ 선수의 타율은 $\\frac{2}{5}$일 때, 이 두 선수가 연속으로 안타를 칠 확률을 구하여라.",
        "answer": "두 선수가 연속으로 안타를 칠 확률은 $\\frac{1}{6}\\times\\frac{2}{5}$$=\\frac{1}{15}$"
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같은 직각삼각형 $ABC$에서 $\\overline{AB}$, $\\overline{AC}$를 각각 지름으로 하는 반원의 넓이가 $20\\pi cm^2$, $30\\pi cm^2$일 때, $\\overline{BC}$의 길이를 구하여라.",
        "answer": "직각삼각형의 세 변을 각각 지름으로 하는 세 반원에서 가장 큰 반원의 넓이는 다른 두 반원의 넓이의 합과 같다. $(\\overline{BC}를 지름으로 하는 반원의 넓이)$$=$$20\\pi$$+$$30\\pi$$=50\\pi (cm^2)$이므로 $\\frac{1}{2}\\times\\pi\\times(\\frac{\\overline{BC}}{2})^2$$=50\\pi$, $\\overline{BC}^2=400=20^2$ $\\overline{BC}>0$이므로 $\\overline{BC}$$=20 (cm)$"
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같이 직각삼각형 $ABC$의 세 변을 각각 지름으로 하는 반원을 그렸다. $\\overline{AB}=15cm$이고 색칠한 부분의 넓이가 $150cm^2$일 때, $\\overline{BC}$의 길이를 구하여라.",
        "answer": "$(색칠한 부분의 넓이)$$=(\\triangle ABC의 넓이)$$=150 cm^2$ $150$$=\\frac{1}{2}\\times\\overline{AC}\\times15$ $∴$ $\\overline{AC}$$=20 (cm)$ $\\triangle ABC$에서 $15^2+20^2=\\overline{BC}^2$, $\\overline{BC}^2=625$$=25^2$ $\\overline{BC}>0$이므로 $\\overline{BC}$$=25 (cm)$"
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같은 직각삼각형 $ABC$에서 $\\overline{AC}$, $\\overline{BC}$를 각각 지름으로 하는 반원의 넓이가 $12\\pi cm^2$, $14\\pi cm^2$일 때, $\\overline{AB}$의 길이를 구하여라.",
        "answer": "직각삼각형의 세 변을 각각 지름으로 하는 세 반원에서 가장 큰 반원의 넓이는 다른 두 반원의 넓이의 합과 같다. $(\\overline{AB}를 지름으로 하는 반원의 넓이)$$=$$14\\pi$$-$$12\\pi$$=2\\pi (cm^2)$이므로 $\\frac{1}{2}$ $\\times$$\\pi$$\\times$$(\\frac{\\overline{AB}}{2})^2$$=2\\pi$, $\\overline{AB}^2=16=4^2$ $\\overline{AB}>0$이므로 $\\overline{AB}$$=4 (cm)$"
    },
    {
        "question": "한 개의 주사위를 던질 때, $3$의 약수의 눈이 나올 확률을 구하여라.",
        "answer": "한 개의 주사위를 던질 때 일어날 수 있는 모든 경우의 수는 $6$이고, $3$의 약수의 눈이 나오는 경우의 수는 $1$, $3$의 $2$이다. 따라서 $3$의 약수의 눈이 나올 확률은 $\\frac{2}{6}=\\frac{1}{3}$"
    },
    {
        "question": "오른쪽 그림은 가로, 세로의 길이가 각각 $6cm$, $8cm$인 직사각형 $ABCD$의 각 변을 지름으로 하는 반원을 그린 후, 네 점 $A, B, C, D$를 지나는 원을 그린 것이다. 색칠한 부분의 넓이를 구하여라.",
        "answer": "위의 그림과 같이 $\\overline{AC}$를 그으면 $\\triangle ACD$는 직각삼각형이므로 $\\overline{AC}$는 네 점 $A$, $B$, $C$, $D$를 지나는 원의 지름이다. 직각삼각형 $ACD$에서 $6^2+8^2=\\overline{AC}^2$ $\\overline{AC}^2=100=10^2$ $\\overline{AC}>0$이므로 $\\overline{AC}=10 (cm)$ 색칠한 부분의 넓이는 $\\square ABCD$의 넓이와 $\\overline{AB}$, $\\overline{BC}$, $\\overline{CD}$, $\\overline{AD}$를 각각 지름으로 하는 반원의 넓이의 합에서 $\\overline{AC}$를 지름으로 하는 원의 넓이를 뺀 것과 같다. 이때 $\\overline{AB}=\\overline{CD}$, $\\overline{AD}=\\overline{BC}$이므로 $\\overline{AB}$, $\\overline{AD}$, $\\overline{BC}$, $\\overline{CD}$를 각각 지름으로 하는 반원의 넓이의 합은 $\\overline{AB}$, $\\overline{AD}$를 각각 지름으로 하는 원의 넓이의 합과 같다. $∴(색칠한 부분의 넓이) =(\\pi\\times4^2+\\pi\\times3^2+6\\times8)-\\pi\\times5^2$ $=(16\\pi+9\\pi+48)-25\\pi=48 (cm^2)$"
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같이 직각삼각형 $ABC$의 세 변을 각각 지름으로 하는 반원을 그렸다. $\\overline{AC}=24$ $cm$이고 색칠한 부분의 넓이가 $120$ $cm^2$일 때, $\\overline{BC}$의 길이를 구하여라.",
        "answer": "$(색칠한 부분의 넓이)$$=(\\triangle ABC의 넓이)$$=120 cm^2$ $120$$=\\frac{1}{2}\\times24\\times\\overline{AB}$ $∴$ $\\overline{AB}$$=10 (cm)$ $\\triangle ABC$에서 $10^2+24^2=\\overline{BC}^2$, $\\overline{BC}^2=676$$=26^2$ $\\overline{BC}>0$이므로 $\\overline{BC}$$=26 (cm)$"
    },
    {
        "question": "두 개의 주사위 A, B를 동시에 던져서 주사위 A에서 나온 눈의 수를 $x$, 주사위 B에서 나온 눈의 수를 $y$라 하자. 좌표평면 위의 원점 $O$와 점 $P(x, 3y)$를 이은 직선의 기울기가 $1$보다 작을 확률을 구하여라.",
        "answer": "두 개의 주사위를 던질 때 일어날 수 있는 모든 경우의 수는 $6\\times6=36$이고, 좌표평면 위의 원점 $O$와 점 $P(x, 3y)$를 이은 직선의 기울기는 $\\frac{3y}{x}$이므로 $\\frac{3y}{x}<1$을 만족시키는 순서쌍 $(x, y)$는 $(4, 1)$, $(5, 1)$, $(6, 1)$의 $3$ 가지이다. 따라서 구하는 확률은 $\\frac{3}{36}=\\frac{1}{12}$"
    },
    {
        "question": "승아네 엄마는 빨간색, 파란색, 노란색, 분홍색 원피스 $4$ 벌과 흰색, 검은색, 파란색, 분홍색, 보라색 스카프 $5$장을 가지고 있다. 원피스에 스카프를 묶는 경우의 수를 구하여라. (단, 원피스와 같은 색의 스카프는 묶지 않는다.)",
        "answer": "원피스는 $4$ 벌이고, 각각에 대하여 스카프 $5$ 장을 묶을 수 있으므로 원피스에 스카프를 묶는 경우의 수는 $4\\times5$$=20$ 원피스와 스카프가 같은 색인 경우는 파란색, 분홍색의 $2$ 가지이므로 원피스에 다른 색의 스카프를 묶는 경우의 수는 $20-2$$=18$"
    },
    {
        "question": "$500$ 원짜리 동전 $2$ 개, $100$ 원짜리 동전 $6$ 개, $10$ 원짜리 동전 $5$ 개의 일부 또는 전부를 사용하여 지불할 수 있는 금액의 종류는 모두 몇 가지인지 구하여라. (단, $0$ 원을 지불하는 것은 제외한다.)",
        "answer": "$100$ 원짜리 동전 $5$ 개로 지불할 수 있는 금액과 $500$ 원짜리 동전 $1$ 개로 지불할 수 있는 금액이 같으므로 $500$ 원짜리 동전 $2$ 개를 $100$ 원짜리 동전 $10 개$로 바꾸면 지불할 수 있는 금액의 종류는 $100$ 원짜리 동전 $16$ 개, $10$ 원짜리 동전 $5$ 개로 지불할 수 있는 금액의 종류와 같다. (ⅰ) $100$ 원짜리를 지불하는 방법 $0 개$$,$ $1 개$$,$ $2 개$$,$ ···$,$ $15 개$$,$ $16 개$의 $17$ 가지 (ⅱ) $10$ 원짜리를 지불하는 방법 $0 개$$,$ $1 개$$,$ $2 개$$,$ $3 개$$,$ $4 개$$,$ $5 개$의 $6$ 가지 (ⅰ), (ⅱ)에서 $0$ 원을 지불하는 것은 제외해야 하므로 구하는 금액의 종류는 $17\\times6-1=101 (가지)$"
    },
    {
        "question": "$0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$의 숫자가 각각 하나씩 적힌 $6$ 장의 카드 중에서 $2$ 장의 카드를 뽑아 두 자리의 정수를 만들 때, $32$보다 큰 정수의 개수를 구하여라.",
        "answer": "(ⅰ) 십의 자리의 숫자가 $3$이고, $32$보다 큰 경우 일의 자리에 올 수 있는 숫자는 $4$, $5$의 $2$ 가지이므로 십의 자리의 숫자가 $3$이고, $32$보다 큰 정수의 개수는 $2$ 개 (ⅱ) 십의 자리의 숫자가 $4$ 이상인 경우 십의 자리에 올 수 있는 숫자는 $4$, $5$의 $2$ 가지이고, 각각의 경우에 대하여 일의 자리에 올 수 있는 숫자는 십의 자리의 숫자를 제외한 $5$ 가지이므로 십의 자리의 숫자가 $4$ 이상인 정수의 개수는 $2\\times5=10$ (개) (ⅰ), (ⅱ)에 의해 $32$보다 큰 정수의 개수는 $2+10=12$ (개)"
    },
    {
        "question": "A 주머니에는 노란 공 $2$ 개, 파란 공 $2$ 개가 들어 있고, B 주머니에는 노란 공 $3$ 개, 파란 공 $6$ 개가 들어 있다. A, B 두 주머니에서 각각 $1$ 개씩 공을 꺼낼 때, 적어도 $1$ 개는 노란 공일 확률을 구하여라.",
        "answer": "적어도 $1$ 개는 노란 공일 확률은 $1-(두 개 모두 파란 공일 확률)$이다. A 주머니에서 파란 공이 나올 확률은 $\\frac{2}{4}=\\frac{1}{2}$이고, B 주머니에서 파란 공이 나올 확률은 $\\frac{6}{9}=\\frac{2}{3}$이므로 모두 파란 공이 나올 확률은 $\\frac{1}{2}\\times\\frac{2}{3}=\\frac{1}{3}$ 따라서 적어도 $1$ 개는 노란 공일 확률은 $1-\\frac{1}{3}=\\frac{2}{3}$"
    },
    {
        "question": "$1$에서 $6$까지의 숫자가 각각 적힌 $6$ 장의 카드를 차례로 늘어놓을 때, 양 끝의 숫자가 짝수인 경우의 수를 구하여라.",
        "answer": "$1$부터 $6$까지의 숫자 중 짝수인 $2$, $4$, $6$을 양 끝에 놓는 경우의 수는 $2  4, $$2   6, $$4  2, $$4   6, $$6   2, $$6 4$이므로 $6$이다. 각각의 경우에 나머지 $4$ 개의 숫자를 일렬로 나열하는 경우의 수는 $4\\times3\\times2\\times1=24$ 따라서 $6$ 장의 카드를 양 끝의 숫자가 짝수가 되게 늘어놓는 경우의 수는 $6\\times24=144$"
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같이 $6$ 등분 된 원판의 각 부분에 숫자 $0$, $1$, $2$, $3$ 중 하나가 각각 적혀 있다. 이 원판에 화살을 두 번 쏠 때, 맞힌 부분에 적힌 숫자의 합이 $3$이 될 확률을 구하여라. (단, 화살이 원판을 벗어나거나 경계선을 맞히는 경우는 없다.)",
        "answer": "두 번 쏘아 맞힌 부분에 적힌 숫자의 합이 $3$이 되는 경우를 순서쌍으로 나타내면 $(0, 3)$, $(1, 2)$, $(2, 1)$, $(3, 0)$이다. (ⅰ) $(0, 3)$일 확률은 $\\frac{1}{6}\\times\\frac{1}{6}$$=\\frac{1}{36}$ (ⅱ) $(1, 2)$일 확률은 $\\frac{1}{2}\\times\\frac{1}{6}$$=\\frac{1}{12}$ (ⅲ) $(2, 1)$일 확률은 $\\frac{1}{6}\\times\\frac{1}{2}$$=\\frac{1}{12}$ (ⅳ) $(3, 0)$일 확률은 $\\frac{1}{6}\\times\\frac{1}{6}$$=\\frac{1}{36}$ (ⅰ)~(ⅳ)에서 맞힌 부분에 적힌 숫자의 합이 $3$이 될 확률은 $\\frac{1}{36}+\\frac{1}{12}+\\frac{1}{12}+\\frac{1}{36}=\\frac{2}{9}$"
    },
    {
        "question": "$1$부터 $100$까지의 수가 각각 하나씩 적힌 $100$ 장의 카드가 있다. 이 중에서 한 장의 카드를 뽑아서 나오는 수를 $110$ 또는 $170$으로 나눌 때, 유한소수가 되는 경우의 수를 구하여라.",
        "answer": "한 장의 카드를 뽑았을 때 나오는 수를 $x$라 하자. (ⅰ) $x$를 $110$으로 나누는 경우 $\\frac{x}{110}$를 소수로 나타내었을 때 유한소수가 되려면 분모의 소인수가 $2$ 또는 $5$뿐이어야 한다. $110$$=2\\times5\\times11$이므로 $\\frac{x}{2\\times5\\times11}$, 즉 $x$는 $11$의 배수이어야 한다. $1$부터 $100$까지의 수 중에서 $11$의 배수는 $11$, $22$, $33$, $44$, $55$, $66$, $77$, $88$, $99$의 $9$ 개이다. (ⅱ) $x$를 $170$으로 나누는 경우 $\\frac{x}{170}$를 소수로 나타내었을 때 유한소수가 되려면 분모의 소인수가 $2$ 또는 $5$뿐이어야 한다. $170$$=2\\times5\\times17$이므로 $\\frac{x}{2\\times5\\times17}$, 즉 $x$는 $17$의 배수이어야 한다. $1$부터 $100$까지의 수 중에서 $17$의 배수는 $17$, $34$, $51$, $68$, $85$의 $5$ 개이다. (ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 경우의 수는 $9+5$$=14$"
    },
    {
        "question": "$9$ 개의 제비 중 $5$ 개의 당첨 제비가 들어 있는 상자가 있다. 이 상자에서 제비를 $1$ 개씩 연속하여 두 번 뽑을 때, 당첨 제비가 적어도 한 번 나올 확률을 구하여라. (단, 한 번 뽑은 제비는 다시 넣지 않는다.)",
        "answer": "당첨 제비가 적어도 한 번 나올 확률은  $1-(두 번 모두 당첨 제비가 나오지 않을 확률)$이다. 첫 번째에 당첨 제비가 나오지 않을 확률은 $1-\\frac{5}{9}=\\frac{4}{9}$ 첫 번째에 당첨 제비가 나오지 않았을 때, 남아 있는 제비는 $8$ 개이고 그중 당첨 제비는 $5$ 개이므로 두 번째에 당첨 제비가 나오지 않을 확률은 $1-\\frac{5}{8}=\\frac{3}{8}$ 두 번 모두 당첨 제비가 나오지 않을 확률은 $\\frac{4}{9}\\times\\frac{3}{8}=\\frac{1}{6}$ 따라서 당첨 제비가 적어도 한 번 나올 확률은 $1-\\frac{1}{6}=\\frac{5}{6}$"
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같이 $\\overline{AB}=\\overline{AC}=20 cm$, $\\overline{BC}=32 cm$인 이등변삼각형 $ABC$의 넓이를 구하여라.",
        "answer": "위 그림과 같이 꼭지각에서 밑변에 내린 수선의 발을$ H$라 하면 $\\overline{BH}$$=\\frac{1}{2}\\overline{BC}$$=\\frac{1}{2}\\times32$$=16 (cm)$ $\\triangle ABH$에서 $16^2+\\overline{AH}^2=20^2$, $\\overline{AH}^2=144$$=12^2$ $\\overline{AH}>0$이므로 $\\overline{AH}$$=12 (cm)$ $∴ \\triangle ABC$$=\\frac{1}{2}\\times32\\times12$$=192 (cm^2)$"
    },
    {
        "question": "서로 다른 두 개의 주사위를 동시에 던져서 나오는 눈의 수를 각각 $a$, $b$라 할 때, $x$에 대한 방정식 $x-a=b$의 해가 $3$ 또는 $5$인 경우의 수를 구하여라.",
        "answer": "$x$에 대한 방정식 $x-a=b$의 해가 $3$인 경우 방정식에 $x=3$을 대입하면 $3-a=b$이다. $3-a=b$를 만족시키는 순서쌍 $(a, b)$를 구하면 $(1, 2)$, $(2, 1)$이고 그 경우의 수는 $2$이다. $x$에 대한 방정식 $x-a=b$의 해가 $5$인 경우 방정식에 $x=5$를 대입하면 $5-a=b$이다. $5-a=b$를 만족시키는 순서쌍 $(a, b)$를 구하면 $(1, 4)$, $(2, 3)$, $(3, 2)$, $(4, 1)$이고 그 경우의 수는 $4$이다. 따라서 구하는 경우의 수는 $2+4=6$"
    },
    {
        "question": "밑에서부터 여덟 번째의 계단에 있는 태우가 동전 한 개를 던져서 앞면이 나오면 $2$ 계단 위로 올라가고, 뒷면이 나오면 $2$ 계단 아래로 내려간다고 한다. 동전을 $4$ 번 던져서 태우가 밑에서부터 네 번째의 계단에 있게 될 확률을 구하여라.",
        "answer": "동전을 $4$ 번 던질 때 나올 수 있는 모든 경우의 수는 $2\\times2\\times2\\times2=16$이다. 앞면이 $x$ 번 나오면 뒷면은 $(4-x)$ 번 나오므로 태우가 밑에서부터 몇 번째 계단에 있을지 식으로 나타내면 $8+2x-2(4-x)=4x$ 태우가 밑에서부터 네 번째 계단에 있으려면 $4x=4$이므로 $x=1$이다. 앞면이 $1$ 번, 뒷면이 $3$ 번 나오는 경우는 $(앞면, 뒷면, 뒷면, 뒷면)$, $(뒷면, 앞면, 뒷면, 뒷면)$, $(뒷면, 뒷면, 앞면, 뒷면)$, $(뒷면, 뒷면, 뒷면, 앞면)$의 $4$ 가지이다. 따라서 태우가 밑에서부터 네 번째 계단에 있게 될 확률은 $\\frac{4}{16}=\\frac{1}{4}$"
    },
    {
        "question": "지우가 A 문제를 틀릴 확률이 $\\frac{5}{6}$, B 문제를 틀릴 확률이 $\\frac{1}{4}$일 때, A, B 두 문제 중에서 한 문제만 틀릴 확률을 구하여라.",
        "answer": "(ⅰ)A 문제만 틀릴 확률 A 문제를 틀릴 확률은 $\\frac{5}{6}$이고, B 문제를 맞힐 확률은 $1-\\frac{1}{4}$$=\\frac{3}{4}$이므로 구하는 확률은 $\\frac{5}{6}\\times\\frac{3}{4}$$=\\frac{5}{8}$ (ⅱ) B 문제만 틀릴 확률 A 문제를 맞힐 확률은 $1-\\frac{5}{6}$$=\\frac{1}{6}$이고, B 문제를 틀릴 확률은 $\\frac{1}{4}$이므로 구하는 확률은 $\\frac{1}{6}\\times\\frac{1}{4}$$=\\frac{1}{24}$ (ⅰ), (ⅱ)에 의해 두 문제 중에서 한 문제만 틀릴 확률은 $\\frac{5}{8}+\\frac{1}{24}=\\frac{2}{3}$"
    },
    {
        "question": "A, B 두 개의 주사위를 동시에 던질 때, 나오는 눈의 수의 합이 $3$ 또는 $7$이 되는 경우의 수를 구하여라.",
        "answer": "A, B 주사위에서 나오는 눈의 수를 각각 $a$, $b$라 할 때, 각 경우를 순서쌍 $(a, b)$로 나타내면 다음과 같다. (ⅰ) 합이 $3$이 되는 경우 $(1, 2), $$(2, 1)$의 $2$ 가지 (ⅱ) 합이 $7$이 되는 경우 $(1, 6)$, $(2, 5)$, $(3, 4)$, $(4, 3)$, $(5, 2)$, $(6, 1)$의 $6$ 가지 (ⅰ), (ⅱ)에서 나오는 눈의 수의 합이 $3$ 또는 $7$이 되는 경우의 수는 $2+6=8$"
    },
    {
        "question": "눈이 온 날의 다음 날에 눈이 올 확률은 $\\frac{1}{4}$이고, 눈이 오지 않은 날의 다음 날에 눈이 올 확률은 $\\frac{2}{3}$라 한다. 월요일에 눈이 왔을 때, 같은 주 수요일에 눈이 올 확률을 구하여라.",
        "answer": "눈이 온 날을 $O$, 눈이 오지 않은 날을 $X$로 표시하여 순서쌍 $(월, 화, 수)$로 나타내면 (ⅰ) $( O, O, O )$인 경우 월요일에 눈이 오고 화요일에 눈이 올 확률은 $\\frac{1}{4}$ 화요일에 눈이 오고 수요일에 눈이 올 확률은 $\\frac{1}{4}$ 월요일에 눈이 왔을 때, 화요일과 수요일에 눈이 올 확률은 $\\frac{1}{4}\\times\\frac{1}{4}=\\frac{1}{16}$ (ⅱ) $( O, X, O )$인 경우 월요일에 눈이 오고 화요일에 눈이 오지 않을 확률은 $1-\\frac{1}{4}=\\frac{3}{4}$ 화요일에 눈이 오지 않고 수요일에 눈이 올 확률은 $\\frac{2}{3}$ 월요일에 눈이 왔을 때, 화요일에 눈이 오지 않고 수요일에 눈이 올 확률은 $\\frac{3}{4}\\times\\frac{2}{3}=\\frac{1}{2}$ (ⅰ), (ⅱ)에 의해 월요일에 눈이 왔을 때, 같은 주 수요일에 눈이 올 확률은 $\\frac{1}{16}+\\frac{1}{2}$$=\\frac{9}{16}$"
    },
    {
        "question": "메뉴가 아래와 같은 분식집에서 음식을 주문하려고 한다. 서로 다른 세 종류의 음식을 주문하려고 할 때, 음료수가 반드시 포함될 확률을 구하여라. 떡볶이, 어묵, 튀김, 순대, 음료수",
        "answer": "다섯 종류의 음식 중에서 서로 다른 세 종류의 음식을 주문하는 모든 경우의 수는 $\\frac{5\\times4\\times3}{3\\times2\\times1}=10$ 음료수가 반드시 포함되는 경우의 수는 음료수를 제외한 네 종류의 음식 중에서 서로 다른 두 종류의 음식을 주문하는 경우의 수와 같으므로 $\\frac{4\\times3}{2}=6$ 따라서 음료수가 반드시 포함될 확률은 $\\frac{6}{10}=\\frac{3}{5}$"
    },
    {
        "question": "주머니 속에 파란 구슬 $6$ 개와 노란 구슬 $6$ 개가 들어 있다. 이 주머니에서 구슬 $1 개$를 꺼내 확인하고 다시 넣은 후 또 $1$ 개를 꺼낼 때, 두 개 모두 파란 구슬일 확률을 구하여라.",
        "answer": "첫 번째에 파란 구슬을 꺼낼 확률은 $\\frac{6}{12}=\\frac{1}{2}$이고, 구슬을 꺼내 확인하고 다시 넣으므로 두 번째에 파란 구슬을 꺼낼 확률도 $\\frac{6}{12}=\\frac{1}{2}$이다. 따라서 두 개 모두 파란 구슬일 확률은 $\\frac{1}{2}\\times\\frac{1}{2}=\\frac{1}{4}$"
    },
    {
        "question": "$0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$의 숫자가 각각 하나씩 적힌 $7$ 장의 카드 중에서 $2$ 장의 카드를 뽑아 두 자리의 정수를 만들 때, $40$보다 큰 정수의 개수를 구하여라.",
        "answer": "(ⅰ)십의 자리의 숫자가 $4$이고, $40$보다 큰 경우 일의 자리에 올 수 있는 숫자는 $1$, $2$, $3$, $5$, $6$의 $5$ 가지이므로 십의 자리의 숫자가 $4$이고, $40$보다 큰 정수의 개수는 $5$ 개 (ⅱ)십의 자리의 숫자가 $5$ 이상인 경우 십의 자리에 올 수 있는 숫자는 $5$, $6$의 $2 가지$이고, 각각의 경우에 대하여 일의 자리에 올 수 있는 숫자는 십의 자리의 숫자를 제외한 $6 가지$이므로 십의 자리의 숫자가 $5$ 이상인 정수의 개수는 $2\\times6=12 (개)$ (ⅰ), (ⅱ)에 의해 $40$보다 큰 정수의 개수는 $5+12=17 (개)$"
    },
    {
        "question": "$24$의 약수가 각각 하나씩 적힌 카드 중 한 장을 뽑아 그 카드에 적힌 수를 $a$라 할 때, $\\frac{4}{a}$가 자연수가 되지 않을 확률을 구하여라.",
        "answer": "$24$의 약수는 $1$, $2$, $3$, $4$, $6$, $8$, $12$, $24$이므로 카드를 뽑는 모든 경우의 수는 $8$이다. $\\frac{4}{a}$가 자연수가 되는 $a$는 $1$, $2$, $4$의 $3$ 가지이므로 그 확률은 $\\frac{3}{8}$ 따라서 $\\frac{4}{a}$가 자연수가 되지 않을 확률은 $1-\\frac{3}{8}=\\frac{5}{8}$"
    },
    {
        "question": "$1$부터 $20$까지의 수가 각각 하나씩 적힌 $20$ 장의 카드 중에서 한 장의 카드를 뽑을 때, $5$보다 작거나 $15$보다 큰 수가 나오는 경우의 수를 구하여라.",
        "answer": "$1$부터 $20$까지의 수 중 $5$보다 작은 수는 $1$, $2$, $3$, $4$의 $4$ 가지이고, $15$보다 큰 수는 $16$, $17$, $18$, $19$, $20$의 $5$ 가지이다. 따라서 $5$보다 작거나 $15$보다 큰 수가 나오는 경우의 수는 $4+5=9$"
    },
    {
        "question": "주머니 속에 빨간 공 $2$ 개와 파란 공 $6$ 개가 들어 있다. 이 주머니에서 공 $1 개$를 꺼내 확인하고 다시 넣은 후 또 $1$ 개를 꺼낼 때, 첫 번째는 빨간 공, 두 번째는 파란 공일 확률을 구하여라.",
        "answer": "첫 번째에 빨간 공을 꺼낼 확률은 $\\frac{2}{8}=\\frac{1}{4}$이고, 공을 꺼내 확인하고 다시 넣으므로 두 번째에 파란 공을 꺼낼 확률은 $\\frac{6}{8}=\\frac{3}{4}$이다. 따라서 첫 번째에 빨간 공을 꺼내고, 두 번째에 파란 공을 꺼낼 확률은 $\\frac{1}{4}\\times\\frac{3}{4}=\\frac{3}{16}$"
    },
    {
        "question": "판매하는 책이 아래와 같은 서점에서 책을 사려고 한다. 서로 다른 두 종류의 책을 사려고 할 때, 문제집이 반드시 포함될 확률을 구하여라.$\\\\$ 소설책, 문제집, 위인전, 시집, 동화책",
        "answer": "다섯 종류의 책 중에서 서로 다른 두 종류의 책을 사는 모든 경우의 수는 $\\frac{5\\times4}{2}=10$ 문제집이 반드시 포함되는 경우의 수는 문제집을 제외한 네 종류의 책 중에서 한 종류의 책을 사는 경우의 수와 같으므로 $4$이다. 따라서 문제집이 반드시 포함될 확률은 $\\frac{4}{10}=\\frac{2}{5}$"
    },
    {
        "question": "$A$, $B$, $C$ 세 사람이 한 번 가위바위보를 할 때, $B$가 이길 확률을 구하여라.",
        "answer": "A, B, C 세 사람이 가위바위보를 할 때 모든 경우의 수는  $3\\times3\\times3=27$ B가 혼자 이기는 경우의 수는 $3$, A와 B가 이기는 경우의 수는 $3$, B와 C가 이기는 경우의 수는 $3$이므로 B가 이기는 경우의 수는  $3+3+3=9$ 따라서 B가 이길 확률은 $\\frac{9}{27}$$=\\frac{1}{3}$"
    },
    {
        "question": "선생님 $2$ 명, 학생 $3$ 명을 일렬로 세울 때, 학생끼리 이웃하여 서게 될 확률을 구하여라.",
        "answer": "$5$ 명을 일렬로 세우는 모든 경우의 수는 $5\\times4\\times3\\times2\\times1=120$ 학생 $3$ 명을 하나로 묶어서 생각하면 $3$ 명을 일렬로 세우는 경우의 수는 $3\\times2\\times1=6$이고, 각각의 경우에 대하여 학생 $3$ 명이 자리를 바꾸는 경우의 수는 $3\\times2\\times1=6$이므로 학생 $3$ 명이 이웃하여 $5$ 명이 서는 경우의 수는 $6\\times6=36$ 따라서 학생끼리 이웃하여 서게 될 확률은 $\\frac{36}{120}=\\frac{3}{10}$"
    }
]