[ { "question": "$x+y=3$, $x^3+y^3=9$일 때, $x^4+y^4$의 값을 구하여라.", "answer": "$(x+y)^3=x^3+y^3+3xy(x+y)$ $3^3=9+3xy\\times3$ $∴$ $xy=2$ $x^2+y^2$$=(x+y)^2-2xy$$=3^2-2\\times2$$=5$ $∴$ $x^4+y^4$$=(x^2+y^2)^2-2x^2y^2$$=5^2-2\\times2^2$$=17$" }, { "question": "$x^2-4x+1=0$일 때, $x^3+\\frac{1}{x^3}$의 값을 구하시오.", "answer": "$x$$\\ne$$0$이므로 $x^2-4x+1=0$의 양변을 $x$로 나누면 $x-4+\\frac{1}{x}=0$ $∴ x+\\frac{1}{x}$$=4$ $∴ x^3+\\frac{1}{x^3}$$=(x+\\frac{1}{x})^3-3(x+\\frac{1}{x})$=$4^3-3\\times4=52$" }, { "question": "다항식 $3x^3+x^2+4x+9$를 $x^2-x+2$로 나누었을 때의 몫을 $Q(x)$, 나머지를 $R(x)$라 할 때, $Q(-1)+R(2)$의 값을 구하시오.", "answer": "$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~3x+4 \\\\x^2-x+2\\overline{\\big|3x^3+x^2+4x+9} \\\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\underline{3x^3-3x^2+6x~~~~~~} \\\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~4x^2-2x+9 \\\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\underline{4x^2-4x+8} \\\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~2x+1$ $\\\\Q(x)=3x+4$, $R(x)=2x+1$이므로 $Q(-1)+R(2)$$=\\lbrace3\\times(-1)+4\\rbrace+(2\\times2+1)$$=1+5$$=6$" }, { "question": "$a+b+c=12$, $ab+bc+ca=11$일 때, 보기의 식을 이용하여 $a^2+b^2+c^2$의 값을 구하시오. 보기 $a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)$", "answer": "$a^{2}+b^{2}+c^{2} =(a+b+c)^{2}-2(a b+b c+c a) $ $=$$12^2-2\\times11$$=$$122$" }, { "question": "다항식 $(x-2)^2(x^2+2x+4)^2$을 전개하시오.", "answer": "$(x-2)^2(x^2+2x+4)^2$ $=\\lbrace(x-2)(x^2+2x+4)\\rbrace^2$ $=(x^3-8)^2$ $=(x^3)^2-2\\times x^3\\times8+8^2$ $=x^6-16x^3+64$" }, { "question": "$a+b=3$, $ab=-2$일 때, $a^3+b^3$의 값을 구하시오.", "answer": "$a^3+b^3$$=(a+b)^3-3ab(a+b)$$=3^3-3\\times(-2)\\times3$$=45$" }, { "question": "두 다항식 $X$, $Y$에 대하여 $X ◇ Y$$=X+2Y$, $X △ Y$$=2X-Y$라 할 때, 세 다항식 $A=2x^2+x-3y^2$, $B=x+5y-7y^2$, $C=-5x^2+4y^2$에 대하여 $A ◇ (B △ C)$를 계산하여 $x$, $y$에 대한 식으로 나타내시오.", "answer": "$A \\diamond (B \\triangle C)$ $=$$A \\diamond (2B-C)$ $=$$A+2(2B-C)$ $=$$A+4B-2C$ $=$$(2x^2+x-3y^2)+4(x+5y-7y^2)-2(-5x^2+4y^2)$ $=$$2x^2+x-3y^2+4x+20y-28y^2+10x^2-8y^2$ $=$$12x^2+5x-39y^2+20y$" }, { "question": "$2x-y=-1$을 만족시키는 모든 실수 $x$, $y$에 대하여 $px^2-qx-y^2-xy-2ry-3=0$이 성립할 때, 상수 $p$, $q$, $r$에 대하여 $p+q+r$의 값을 구하시오.", "answer": "$2x-y=-1$에서 $y=2x+1$이므로 등식에 대입하면 $px^2-qx-(2x+1)^2-x(2x+1)-2r(2x+1)-3=0$ $∴$ $(p-6)x^2-(q+4r+5)x-2r-4=0$ 이 등식이 $x$에 대한 항등식이므로 $0=p-6$, $0=-(q+4r+5)$, $0=-2r-4$ $∴$ $p=6$, $q=3$, $r=-2$ $∴$ $p+q+r$$=6+3+(-2)$$=7$" }, { "question": "방정식 $x^2-2\\vert x \\vert-3=0$을 푸시오.", "answer": "$x^2-2\\vert x \\vert-3=0$에서 (ⅰ) $x<0$일 때 $x^2+2x-3=0$ $(x-1)(x+3)=0$ $∴ x=1$ 또는 $x=-3$ 그런데 $x<0$이므로 $x=-3$ (ⅱ) $x\\ge0$일 때 $x^2-2x-3=0$ $(x+1)(x-3)=0$ $∴ x=-1$ 또는 $x=3$ 그런데 $x\\ge0$이므로 $x=3$ (ⅰ), (ⅱ)에서 주어진 방정식의 근은 $x=-3$ 또는 $x=3$" }, { "question": "$x+y=1$, $x^3+y^3=2$일 때, $x^2+y^2$의 값을 구하시오.", "answer": "$(x+y)^3=x^3+y^3+3xy(x+y)$ $1^3=2+3xy\\times1$ $∴ xy=-\\frac{1}{3}$ $∴ x^2+y^2$$=(x+y)^2-2xy$$=1^2-2\\times(-\\frac{1}{3})=\\frac{5}{3}$" }, { "question": "$x^2-2x+1=0$일 때, $x^3+\\frac{1}{x^3}$의 값을 구하시오.", "answer": "$x$$\\ne$$0$이므로 $x^2-2x+1=0$의 양변을 $x$로 나누면 $x-2+\\frac{1}{x}=0$ $∴$ $x+\\frac{1}{x}$$=2$ $∴$ $x^3+\\frac{1}{x^3}$$=(x+\\frac{1}{x})^3-3(x+\\frac{1}{x})$$=2^3-3\\times2$$=2$" }, { "question": "다항식 $2xy(x^3-3x^2y+5y^2)$을 전개하시오.", "answer": "$2xy$$(x^3-3x^2y+5y^2) $$=$$2x^4y-6x^3y^2+10xy^3$" }, { "question": "다항식 $3x^3-x^2+4x+2$를 $x^2+1$로 나누었을 때의 몫을 $Q(x)$, 나머지를 $R(x)$라 할 때, $Q(1)+R(2)$의 값을 구하시오.", "answer": "$Q(x)=3x-1$, $R(x)=x+3$이므로 $Q(1)+R(2)$$=(3\\times1-1)+(2+3)$$=2+5$$=7$" }, { "question": "두 다항식 $A=3x^3-2x^2+1$, $B=x^3+3x^2-2x$에 대하여 $3X+B=6A-2B$를 만족시키는 다항식 $X$를 구하여 $x$에 대한 식으로 나타내시오.", "answer": "$3X+B=6A-2B$ $3X=6A-2B-B$ $3X=6A-3B$ $\\therefore X=2A-B$ $=$$2(3x^3-2x^2+1)$$-$$(x^3+3x^2-2x)=$$6x^3$$-$$4x^2$$+$$2$$-$$x^3$$-$$3x^2$$+$$2x$$=$$5x^3$$-$$7x^2$$+$$2$" }, { "question": "다항식 $P(x)=x^3+x^2-x+3$에 대하여 $P(x)=a(x-1)^3+b(x-1)^2+c(x-1)+d$가 $x$에 대한 항등식일 때, $P(1.3)$의 값을 구하시오. (단, $a$, $b$, $c$, $d$는 상수)", "answer": "위의 조립제법에서 $x^3+x^2-x+3=$ $(x-1)(x^2+2x+1)+4$ $=(x-1)\\lbrace(x-1)(x+3)+4\\rbrace+4$ $(x-1)[(x-1)\\lbrace(x-1)+4\\rbrace +4]+4$ $=(x-1)\\lbrace(x-1)^2 +4(x-1) +4\\rbrace +4$ $=(x-1)^3 +4(x-1)^2 +4(x-1) +4$ $∴a=1$, $b=4$, $c=4$, $d=4$ $P(x)$$=(x-1)^3+4(x-1)^2+4(x-1)+4$이므로 $P(1.3)$$=0.027+0.36+1.2+4$$=5.587$" }, { "question": "다항식 $x^4+2x^3+6x-1$을 $x^2-x+3$으로 나눈 몫을 $A$, $x^2+3x+1$로 나눈 몫을 $B$라 할 때, $A-B$를 계산하여 $x$에 대한 식으로 나타내시오.", "answer": "$\\begin{array} {l}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ x^2+3x \\\\ x^2-x+3 {\\overline{{\\big)} x^4+2x~~~~~+6x-1}} \\\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \\underline{ x^4-x^3+3x^2 \\;\\;\\;\\;\\,} \\\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~3x^3-3x^2+6x \\\\~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \\underline{ 3x^3-3x^2+9x} \\\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~- 3x-1 \\end{array}$ $\\\\$ $∴ A=x^2+3x$ $\\\\$ $\\begin{array} {l}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ x^2-x+2 \\\\ x^2+3x+1 {\\overline{{\\big)} x^4+2x^3~~~~~~+6x-1}} \\\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~- x^3-3x^2-x \\;\\;\\;\\;\\, \\\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\underline{ -x^3-3x^2-1} \\\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~2x^2+7x-1 \\\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \\underline{2x^2+6x+2} \\\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ x-3 \\end{array}$ $\\\\$ $∴ B=x^2-x+2$ $\\\\$ $∴A-B=(x^2+3)-(x^2-x+2)$ $ \\\\$ $\\\\$ $ =x^2+3x-x^2+x-2$ $\\\\$ $=4x-2$" }, { "question": "두 다항식 $A=4x^2-2xy+y^2$, $B=-x^2-3xy+4y^2$에 대하여 $3A-(A-B)$를 계산하여 $x$, $y$에 대한 식으로 나타내시오.", "answer": "$3A-(A-B)$ $=$$3A-A+B$ $=$$2A+B$ $=$$2(4x^2-2xy+y^2)+(-x^2-3xy+4y^2)$ $=$$8x^2-4xy+2y^2-x^2-3xy+4y^2$ $=$$7x^2-7xy+6y^2$" }, { "question": "등식 $x(1-3i)-2y(3-2i)=\\overline{-16+18i}$를 만족시키는 실수 $x$, $y$에 대하여 $x-y$의 값을 구하시오.", "answer": "$x(1-3i)-2y(3-2i)=\\overline{-16+18i}$에서 $(x-6y)+(-3x+4y)i=-16-18i$ 복소수가 서로 같을 조건에 의하여 $x-6y=-16$, $-3x+4y=-18$ 두 식을 연립하여 풀면 $x=\\frac{86}{7}$, $y=\\frac{33}{7}$ $\\therefore x-y$$=\\frac{86}{7}-\\frac{33}{7}$$=\\frac{53}{7}$" }, { "question": "다항식 $x^4-2x^3+x^2+7x+4$를 $x^2+2x-5$로 나눈 몫을 $A$, $x^2-x-3$으로 나눈 몫을 $B$라 할 때, $A+B$를 계산하여 $x$에 대한 식으로 나타내시오.", "answer": "$ \\therefore A=x^2-4x+14$ $ \\therefore B=x^2-x+3$ $\\therefore A + B = (x^2-4x+14) + (x^2-x+3) = x^2-4x+14 +x^2-x+3 = $$2x^2-5x+17$" }, { "question": "다항식 $a^3+a^2-5a+4$를 $a^2+2a-1$로 나누었을 때의 몫을 $Q(a)$, 나머지를 $R(a)$라 할 때, $Q(1)-R(2)$의 값을 구하시오.", "answer": "$Q(a)=a-1$, $R(a)=-2a+3$이므로 $Q(1)-R(2)$$=(1-1)-(-2\\times2+3)$$=0-(-1)$$=1$" }, { "question": "$(4x^3-9x^2+7x-3)\\div(x-3)$의 몫과 나머지를 구하시오.", "answer": "$∴$ 몫 : $4x^2+3x+16$, 나머지 : $45$" }, { "question": "다음 그림과 같이 지름의 길이가 $19$인 원에 둘레의 길이가 $42$인 직사각형이 내접할 때, 이 직사각형의 넓이를 구하시오.", "answer": "직사각형의 가로의 길이를 $a$, 세로의 길이를 $b$라 하면 $a^2+b^2=19^2$ $a+b$$=\\frac{1}{2}\\times42$$=21$ 직사각형의 넓이는 $ab$이므로 $a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$ $19^2=21^2-2ab$ $2ab=80$ $∴$ $ab=40$ 따라서 구하는 직사각형의 넓이는 $40$이다." }, { "question": "다항식 $x^3+x^2+ax+b$를 $x^2+2x-3$으로 나누었을 때의 나머지가 $5$일 때, 상수 $a$, $b$에 대하여 $a+b$의 값을 구하시오.", "answer": "$x^3+x^2+ax+b$를 $x^2+2x-3$으로 나누었을 때의 몫을 $x+c(c는 상수)$라 하면 $x^3+x^2+ax+b$ $=(x^2+2x-3)$$(x+c)+5$ $=x^3+(c+2)x^2+(2c-3)x-3c+5$ 이 등식이 $x$에 대한 항등식이므로 $1=c+2$, $a=2c-3$, $b=-3c+5$ $∴ a=-5$, $b=8$, $c=-1$ $∴ a+b$$=-5+8$$=3$" }, { "question": "다음 그림과 같이 지름의 길이가 $16$인 원에 둘레의 길이가 $44$인 직사각형이 내접할 때, 이 직사각형의 넓이를 구하시오.", "answer": "직사각형의 가로의 길이를 $a$, 세로의 길이를 $b$라 하면 $a^2+b^2=16^2$ $a+b$$=\\frac{1}{2}\\times44$$=22$ 직사각형의 넓이는 $ab$이므로 $a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$ $16^2=22^2-2ab$ $2ab=228$ $∴ ab=114$ 따라서 구하는 직사각형의 넓이는 $114$이다." }, { "question": "등식 $a(k+4)-b(3-k)-7=0$이 $k$의 값에 관계없이 항상 성립할 때, 상수 $a$, $b$의 값을 각각 구하시오.", "answer": "주어진 등식의 좌변을 $k$에 대하여 정리하면 $(a+b)k+4a-3b-7=0$ 이 식은 $k$에 대한 항등식이므로 $a+b=0$, $4a-3b-7=0$ ∴ $a=1$, $b=-1$" }, { "question": "$a-b=3$, $b-c=2$일 때, $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca$의 값을 구하시오.", "answer": "$a-b=3$, $b-c=2$를 변끼리 더하면 $a-c=5$ $∴$ $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca$ $=$$\\frac{1}{2}(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca)$ $=$$\\frac{1}{2}\\lbrace(a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ca+a^2)\\rbrace$ $=$$\\frac{1}{2}\\lbrace(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\\rbrace$ $=$$\\frac{1}{2}\\lbrace3^2+2^2+(-5)^2\\rbrace$ $=$$\\frac{1}{2}\\times38$ $=$$19$" }, { "question": "두 다항식 $P(x)$, $Q(x)$에 대하여 $P(x)+Q(x)$를 $x-3$으로 나누었을 때의 나머지가 $-7$이고, $P(x)-Q(x)$를 $x-3$으로 나누었을 때의 나머지가 $5$일 때, 다항식 $P(x)Q(x)$를 $x-3$으로 나누었을 때의 나머지를 구하시오.", "answer": "나머지정리에 의하여 $P(3)+Q(3)=-7$ $P(3)-Q(3)=5$ 두 식을 연립하여 풀면 $P(3)=-1$, $Q(3)=-6$ 따라서 구하는 나머지는 $P(3)Q(3)=(-1)\\times(-6)=6$" }, { "question": "다항식 $(a+b+3c)(a-b-3c)$를 전개하시오.", "answer": "$b+3c=t$라 하면 $(a+b+3c)(a-b-3c)$ $=$$\\lbrace a+(b+3c)\\rbrace\\lbrace a-(b+3c)\\rbrace$ $=$$(a+t)(a-t)$ $=$$a^2-t^2$ $=$$a^2-(b+3c)^2$ $=$$a^2-(b^2+6bc+9c^2)$ $=$$a^2-b^2-9c^2-6bc$" }, { "question": "세 다항식 $A=-x^3+3x^2-1$, $B=4x^2+5x-7$, $C=3x^3+2x^2+3$에 대하여 $A+2B+C$를 계산하여 $x$에 대한 식으로 나타내시오.", "answer": "$A+2B+C$ $=$$(-x^3+3x^2-1)+2(4x^2+5x-7)+(3x^3+2x^2+3)$ $=$$-x^3+3x^2-1+8x^2+10x-14+3x^3+2x^2+3$ $=$$2x^3+13x^2+10x-12$" }, { "question": "다항식 $Q(x)$를 $2x+4$로 나누었을 때의 몫이 $x^2-x+3$이고, 나머지가 $3$일 때, 다항식 $Q(x)$를 구하시오.", "answer": "$Q(x)=(2x+4)(x^2-x+3)+3$ $=2x^3-2x^2+6x+4x^2-4x+12+3$$=2x^3+2x^2+2x+15$" }, { "question": "다항식 $P(x)$에 대하여 $(x-1)(x^2-2)P(x)=x^4-ax^2+b$가 $x$에 대한 항등식일 때, $P(3)$의 값을 구하시오. (단, $a$, $b$는 상수)", "answer": "주어진 등식의 양변에 $x=1$을 대입하면 $0=1-a+b$ $∴$ $a-b=1 ······ ㉠$ 주어진 등식의 양변에 $x^2=2$를 대입하면 $0=4-2a+b$ $∴$ $2a-b=4 ······ ㉡$ $㉠$, $㉡$을 연립하여 풀면 $a=3$, $b=2$ $∴$ $(x-1)(x^2-2)P(x)=x^4-3x^2+2$ 양변에 $x=3$을 대입하면 $(3-1)(3^2-2)P(3)=3^4-3\\times3^2+2$ $14P(3)=56$ $∴$ $P(3)=4$" }, { "question": "등식 $kx^2+x+ky^2+y-15k-7=0$이 $k$의 값에 관계없이 항상 성립할 때, 상수 $x$, $y$에 대하여 $xy$의 값을 구하시오.", "answer": "$k$에 대하여 정리하면 $(x^2+y^2-15)k+x+y-7=0$ 이 식은 $k$에 대한 항등식이므로 $x^2+y^2-15=0$, $x+y-7=0$ $∴ x^2+y^2=15$, $x+y=7$ $x^2+y^2=(x+y)^2-2xy$ $15=7^2-2xy$ $∴ xy=17$" }, { "question": "다항식 $P(x)=x^3+4x^2+kx+1$을 $x+3$으로 나누었을 때의 나머지가 $11$일 때, 상수 $k$의 값을 구하시오.", "answer": "나머지정리에 의하여 $P(-3)=11$ $-27+36-3k+1=11$ $-3k=1$ $∴ k=-\\frac{1}{3}$" }, { "question": "다항식 $x^3+ax^2+4x-b$를 $(x-1)(x+2)$로 나누었을 때의 몫이 $Q(x)$, 나머지가 $5x-1$일 때, 상수 $a$, $b$의 값을 각각 구하시오.", "answer": "$x^3+ax^2+4x-b=(x-1)(x+2)Q(x)+5x-1$ 등식의 양변에 $x=1$을 대입하면 $1+a+4-b=4$ $∴ a-b=-1$ ······ $㉠$ 등식의 양변에 $x=-2$를 대입하면 $-8+4a-8-b=-11$ $∴ 4a-b=5$ $······$ $㉡$ $㉠$, $㉡$을 연립하여 풀면 $a=2$, $b=3$" }, { "question": "$0$이 아닌 두 실수 $a$, $b$에 대하여 $\\frac{\\sqrt{a}}{\\sqrt{b}}=-\\sqrt{\\frac{a}{b}}$일 때, $\\sqrt{a^2}+\\sqrt{b^2}-\\sqrt{(a-b)^2}$을 간단히 하시오.", "answer": "$\\frac{\\sqrt{a}}{\\sqrt{b}}=-\\sqrt{\\frac{a}{b}}$이므로 $a>0$, $b<0$이고 $a-b>0$ $\\therefore$$\\sqrt{a^2}+\\sqrt{b^2}-\\sqrt{(a-b)^2}=a+(-b)-(a-b)$ $=a-b-a+b$ $=0$" }, { "question": "$x$에 대한 다항식 $3x^3+ax^2+x-5$를 $3x^2-x$로 나누었을 때의 몫이 $x-7$일 때, 나머지를 구하시오. (단, $a$는 상수)", "answer": "나머지를 $px+q$($p$, $q$는 상수)라 하면 $=$$3x^3-22x^2+(p+7)x+q$ 이 등식은 $x$에 대한 항등식이므로 $a=-22$, $1=p+7$, $-5=q$ $∴ a=-22$, $p=-6$, $q=-5$ 따라서 나머지는 $-6x-5$이다." }, { "question": "다항식 $x^3+ax^2-2x+1$을 $x-1$로 나누었을 때의 나머지와 $x+2$로 나누었을 때의 나머지가 같을 때, 상수 $a$의 값을 구하시오.", "answer": "$P(x)=x^3+ax^2-2x+1$이라 하면 나머지정리에 의하여 $P(1)=P(-2)$ $1+a-2+1=-8+4a+4+1$ $-3a=-3$ $∴ a=1$" }, { "question": "다항식 $x^4+ax^3+2x^2+b$를 $x-1$로 나누었을 때의 나머지가 $2$이고, $x+1$로 나누었을 때의 나머지가 $-1$일 때, 상수 $a$, $b$에 대하여 $2a+b$의 값을 구하시오.", "answer": "$P(x)=x^4+ax^3+2x^2+b$라 하면 나머지정리에 의하여 $P(1)=2$, $P(-1)=-1$ $1+a+2+b=2$, $1-a+2+b=-1$ $a+b=-1$, $a-b=4$ 두 식을 연립하여 풀면 $a=\\frac{3}{2}$, $b=-\\frac{5}{2}$ $\\therefore$ $2a+b$$=2\\times\\frac{3}{2}+(-\\frac{5}{2})$$=\\frac{1}{2}$" }, { "question": "다항식 $x^4-10x^2+9$를 인수분해하면 $(x+a)(x+b)(x+c)(x+d)$이다. 상수 $a$, $b$ ,$c$, $d$에 대하여 $a>b>c>d$일 때, $ad-bc$의 값을 구하시오.", "answer": "$x^2=t$로 놓으면 $x^4-10x^2+9$ $=$$t^2-10t+9$ $=$$(t-1)(t-9)$ $=$$(x^2-1)(x^2-9)$ $=$$(x+1)(x-1)(x+3)(x-3)$ $a>b>c>d$이므로 $a=3$, $b=1$, $c=-1$, $d=-3$ $∴$ $ad-bc$$=3\\times(-3)-1\\times(-1)$$=-8$" }, { "question": "다항식 $x^{15}-x^{10}+x^5-5$를 $x^3-x$로 나누었을 때의 나머지를 $R(x)$라 할 때, $R(-1)$의 값을 구하시오.", "answer": "다항식 $x^{15}-x^{10}+x^5-5$를 $x^3-x$로 나누었을 때의 몫을 $Q(x)$, 나머지를 $R(x)=px^{2}+qx+r(p, q, r는 상수)$라 하면 $x^{15}-x^{10}+x^5-5$ $=$$(x^3-x)$$Q(x)$$+$$px^2+qx+r$ $=$$x(x+1)(x-1)$$Q(x)$$+$$px^2+qx+r$ 양변에 $x=0$을 대입하면 $-5=r$ $∴$ $r=-5$ 양변에 $x=-1$을 대입하면 $-8=p-q+r$ $∴$ $p-q=-3$ 양변에 $x=1$을 대입하면 $-4=p+q+r$ $∴$ $p+q=1$ 두 식을 연립하여 풀면 $p=-1$, $q=2$ $R(x)$$=-x^2+2x-5$이므로 $R(-1)$$=-8$" }, { "question": "다항식 $ax^7+bx^5+cx^3+dx+1$을 $x-1$로 나누었을 때의 나머지가 $4$일 때, 이 다항식을 $x+1$로 나누었을 때의 나머지를 구하시오. (단, $a$, $b$, $c$, $d$는 상수)", "answer": "$P(x)=ax^7+bx^5+cx^3+dx+1$이라 하면 나머지정리에 의하여 $P(1)=4$ $a+b+c+d+1=4$ $∴ a+b+c+d=3$ 구하는 나머지는 $P(-1)=-a-b-c-d+1=-(a+b+c+d)+1=-3+1=-2$" }, { "question": "다항식 $P(x)$를 $2x^2-3x-2$로 나누었을 때의 나머지가 $x+2$일 때, 다항식 $P(x+3)$을 $x+1$로 나누었을 때의 나머지를 구하시오.", "answer": "다항식 $P(x)$를 $2x^2-3x-2$로 나누었을 때의 몫을 $Q(x)$라 하면 $P(x)$$=(2x^2-3x-2)Q(x)+x+2$$=(x-2)(2x+1)Q(x)+x+2$ 양변에 $x=2$를 대입하면 $P(2)=4$ $P(x+3)$을 $x+1$로 나누었을 때의 나머지는 $P(-1+3)=P(2)$$=$$4$" }, { "question": "연립부등식 $\\begin{cases} 9x+7>5x-1 \\\\ 5x-20$, $b<0$이고 $b-a<0$ $∴\\sqrt{(b-a)^2}+\\sqrt{a^2}-\\vert b \\vert$$=$$-(b-a)+a-(-b)$ $=$$-b+a+a+b$ $=$$2a$" }, { "question": "다항식 $x^4-17x^2+16$을 인수분해하면 $(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)$이다. 상수 $a, $$b, $$c, $$d$에 대하여 $a0$ $\\sqrt{\\frac{a-1}{1-a}}\\times\\frac{\\sqrt{1-a}}{\\sqrt{a-1}}$$=\\sqrt{-\\frac{1-a}{1-a}}\\times\\frac{\\sqrt{1-a}}{\\sqrt{1-a}i}$$=i\\times\\frac{1}{i}$$=1$" }, { "question": "이차방정식 $(k-1)x^2-kx-4=0$의 한 근이 $2$일 때, 다른 한 근을 구하시오. (단, $k$는 상수)", "answer": "이차방정식 $(k-1)x^2-kx-4=0$의 한 근이 $2$이므로 $(k-1)\\times2^2-k\\times2-4=0$ $2k-8=0$ $∴ k=4$ $k=4$를 주어진 이차방정식에 대입하면 $3x^2-4x-4=0$ $(x-2)(3x+2)=0$ $∴ x=2$ 또는 $x=-\\frac{2}{3}$ 따라서 다른 한 근은 $-\\frac{2}{3}$이다." }, { "question": "$a=1-\\sqrt{2}i$일 때, $a^3+2a^2-6a+9$의 값을 구하시오.", "answer": "$a=1-\\sqrt{2}i$에서 $a-1=-\\sqrt{2}i$ 양변을 제곱하면 $a^2-2a+1=-2$ $∴ $$a^2-2a+3=0$ 이를 주어진 식에 대입하면 $a^3-2a^2-6a+9=(a+4)(a^2-2a+3)-a-3=-a-3$ $=$$-(1-\\sqrt{2}i)-3$$=$$-4+\\sqrt{2}i$" }, { "question": "$\\sqrt{2}\\sqrt{-8}+\\sqrt{-4}\\sqrt{-16}-\\frac{\\sqrt{48}}{\\sqrt{-3}}-\\frac{\\sqrt{-36}}{\\sqrt{-4}}=a+bi$일 때, 실수 $a$, $b$에 대하여 $a+b$의 값을 구하시오.", "answer": "$\\sqrt{2}\\sqrt{-8}+\\sqrt{-4}\\sqrt{-16}-\\frac{\\sqrt{48}}{\\sqrt{-3}}-\\frac{\\sqrt{-36}}{\\sqrt{-4}}$ $=$$\\sqrt{2}\\times\\sqrt{8}i+\\sqrt{4}i\\times\\sqrt{16}i-\\frac{\\sqrt{48}}{\\sqrt{3}i}-\\frac{\\sqrt{36}i}{\\sqrt{4}i}$ $=$ $4i+8i^2-\\frac{4}{i}-3$ $=$ $4i-8-\\frac{4i}{-1}-3$ $=$ $-11+8i$ $-11+8i=a+bi$이므로 $a=-11$, $b=8$ ∴ $a+b$$=-11+8$$=-3$" }, { "question": "세 수 $-1$, $3+\\sqrt{3}$, $3-\\sqrt{3}$을 근으로 하고 $x^3$의 계수가 $2$인 삼차방정식을 구하시오.", "answer": "세 근을 $\\alpha$, $\\beta$, $\\gamma$라 하면 $\\alpha+\\beta+\\gamma=-1+(3+\\sqrt(3)+(3-\\sqrt3)=5$ $\\alpha\\beta+\\beta\\gamma+\\gamma\\alpha=(-1)\\times(3+\\sqrt{3})+(3+\\sqrt{3})(3-\\sqrt{3})+(3-\\sqrt{3})\\times(-1)$ $=0$ $\\alpha\\beta\\gamma$$=-1(3+\\sqrt{3})(3-\\sqrt{3})$$=-6$ 따라서 구하는 삼차방정식은 $2(x^3-5x^2+6)=0$ $∴$ $2x^3-10x^2+12=0$" }, { "question": "$y-z=2+\\sqrt{5},z-x=2-\\sqrt{5}$일 때, $x^2y-xy^2+y^2z-yz^2+z^2x-zx^2$의 값을 구하시오.", "answer": "$y-z=2+\\sqrt{5}$, $z-x=2-\\sqrt{5}$를 변끼리 더하면 $y-x=4$ 주어진 식을 $x$에 대하여 내림차순으로 정리하면 $x^2y-xy^2+y^2z-yz^2+z^2x-zx^2$ $=$$(y-z)x^2+(-y^2+z^2)x+y^2z-yz^2$ $=$$(y-z)x^2-(y+z)(y-z)x+yz(y-z)$ $=$$(y-z)\\lbrace x^2-(y+z)x+yz\\rbrace$ $=$$(y-z)(x-y)(x-z)$ $=$$(2+\\sqrt{5})\\times(-4)\\times(-2+\\sqrt{5})$ $=$$-4$" }, { "question": "이차함수 $y=x^2-8x+15$의 그래프와 $x$축의 교점의 $x$좌표를 모두 구하시오.", "answer": "이차방정식 $x^2-8x+15=0$에서 $(x-3)(x-5)=0$ $∴ x=3$ 또는 $x=5$ 따라서 이차함수 $y=x^2-8x+15$의 그래프와 $x$축의 교점의 $x$좌표는 $3$, $5$이다." }, { "question": "$0$이 아닌 두 실수 $a$, $b$에 대하여 $\\frac{\\sqrt{a}}{\\sqrt{b}}=-\\sqrt{\\frac{a}{b}}$일 때, $\\sqrt{a^2}-\\sqrt{b^2}-\\sqrt{(a-b)^2}$을 간단히 하시오.", "answer": "$\\frac{\\sqrt{a}}{\\sqrt{b}}=-\\sqrt{\\frac{a}{b}}$이므로 $a>0$, $b<0$이고 $a-b>0$ $ \\therefore \\sqrt{a^2}-\\sqrt{b^2}-\\sqrt{(a-b)^2}=a-(-b)-(a-b)=a+b-a+b =2b$" }, { "question": "이차방정식 $2x^2-8x+4=0$의 두 근을 $\\alpha$, $\\beta$라 할 때, $\\left\\vert\\alpha-\\beta\\right\\vert$의 값을 구하시오.", "answer": "근과 계수의 관계에 의하여 $\\alpha+\\beta=4$, $\\alpha\\beta=2$ $\\therefore$ $(\\alpha-\\beta)^2$$=(\\alpha+\\beta)^2-4\\alpha\\beta$$=4^2-4\\times2$$=8$ $\\therefore$ $| \\alpha-\\beta |=2\\sqrt{2}$" }, { "question": "두 수 $-7$, $1$을 근으로 하는 이차방정식을 $2x^2+ax+b=0$의 꼴로 나타내시오.", "answer": "$(두 근의 합)$$=-7+1$$=-6$ $(두 근의 곱)$$=(-7)\\times1$$=-7$ 따라서 구하는 이차방정식은 $2(x^2+6x-7)=0$ $∴$ $2x^2+12x-14=0$" }, { "question": "이차방정식 $x^2-4(m+1)x-6m+18=0$의 두 근의 비가 $1 : 3$일 때, 모든 실수 $m$의 값의 곱을 구하시오.", "answer": "이차방정식 $x^2-4(m+1)x-6m+18=0$의 두 근을 $\\alpha$, $3\\alpha$ $(\\alpha\\neq0)$라 하면 근과 계수의 관계에 의하여 $\\alpha+3\\alpha=4m+4$ $∴$ $\\alpha=m+1 ······ ㉠$ $\\alpha\\times3\\alpha=-6m+18$ $∴$ $\\alpha^2=-2m+6 ······ ㉡$ ㉠을 ㉡에 대입하면 $(m+1)^2=-2m+6$ $m^2+4m-5=0$ $(m-1)(m+5)=0$ $∴$ $m=1$ 또는 $m=-5$ 따라서 모든 실수 $m$의 값의 곱은 $-5$이다." }, { "question": "이차방정식 $x^2-kx+3+\\sqrt{3}=0$의 한 근이 $1+\\sqrt{3}$일 때, 상수 $k$의 값을 구하시오.", "answer": "이차방정식 $x^2-kx+3+\\sqrt{3}=0$의 한 근이 $1+\\sqrt{3}$이므로 $(1+\\sqrt{3})^2-k(1+\\sqrt{3})+3+\\sqrt{3}=0$ $4+2\\sqrt{3}-k-k\\sqrt{3}+3+\\sqrt{3}$$=0$ $(-\\sqrt{3}-1)k+7+3\\sqrt{3}=0$ $(-\\sqrt{3}-1)k=-7-3\\sqrt{3}$ $∴ k=1+2\\sqrt{3}$" }, { "question": "이차함수 $y=4x^2-5x+1$의 그래프와 직선 $y=-3x+m$이 만나도록 하는 실수 $m$의 값의 범위를 구하시오.", "answer": "이차방정식 $4x^2-5x+1=-3x+m$, 즉 $4x^2-2x-m+1=0$의 판별식을 $D$라 하면 $\\frac{D}{4}=(-1)^2-4\\times(-m+1)=4m-3$$\\ge$$0$ $∴$ $m\\ge\\frac{3}{4}$" }, { "question": "$x-y+4=0$을 만족시키는 실수 $x$, $y$에 대하여 $x^2+y^2+4y$의 최솟값을 구하시오.", "answer": "$x-y+4=0$에서 $x=y-4$ $∴$$x^2+y^2+4y=(y-4)^2+y^2+4y=2y^2-4y+16$ $=2(y-1)^2+14$ 따라서 $y=1$일 때 최솟값은 $14$이다." }, { "question": "사과 $80$ 개를 상자에 넣는데 한 상자에 $12$ 개씩 넣으면 사과가 남고, 한 상자에 $15$ 개씩 넣으면 사과가 부족하다고 한다. 상자의 개수를 구하시오.", "answer": "상자의 개수를 $x$라 하면 $\\begin{cases} 12x<80 \\\\ 15x>80\\\\ \\end{cases}$ $12x<80$ $∴ x<\\frac{20}{3}$ $15x>80$ $∴ x>\\frac{16}{3}$ 연립부등식의 해는 $\\frac{16}{3}0$이고 $\\alpha^2+\\beta^2=10$일 때, 실수 $k$의 값을 구하시오.", "answer": "근과 계수의 관계에 의하여 $\\alpha+\\beta=k+3$, $\\alpha\\beta=k+2$ 그런데 $\\alpha+\\beta>0$이므로 $k+3>0$ $∴ k>-3$ $\\alpha^2+\\beta^2$$=(\\alpha+\\beta)^2-2\\alpha\\beta$$=(k+3)^2-2(k+2)$$=k^2+4k+5$$=10$ $k^2+4k-5=0$ $(k-1)(k+5)=0$ $∴ k=1$ 또는 $k=-5$ $k>-3$이므로 $k=1$" }, { "question": "사차방정식 $x^4+3x^3+2x^2-2x-4=0$을 푸시오.", "answer": "$P(x)=x^4+3x^3+2x^2-2x-4$로 놓으면 $P(-2)$$=16-24+8+4-4$$=0$ $P(1)$$=1+3+2-2-4$$=0$ 조립제법을 이용하여 $P(x)$를 인수분해하면 $∴ P(x)=(x+2)(x-1)(x^2+2x+2)$ 주어진 방정식은 $(x+2)(x-1)(x^2+2x+2)=0$ $∴ x=-2$ 또는 $x=1$ 또는 $x=-1\\pm i$" }, { "question": "이차부등식 $ax^2-bx+4<0$의 해가 $\\frac{1}{2}0$ 해가 $\\frac{1}{2}0$이므로 $m=\\sqrt{13}$" }, { "question": "연립부등식 $\\begin{cases} 4x+5>2x-a\\\\ 3-6x\\ge-1-4x \\end{cases}$를 만족시키는 음의 정수 $x$가 $2$ 개일 때, 실수 $a$의 최댓값을 구하시오.", "answer": "$4x+5>2x-a$ $2x>-a-5$ $∴ x>\\frac{-a-5}{2}$ $3-6x\\ge-1-4x$ $-2x\\ge-4$ $∴ x\\le2$ 주어진 연립부등식을 만족시키는 음의 정수 $x$가 $2$ 개이려면 그림과 같아야하므로 $-3\\le\\frac{-a-5}{2}<-2$ $∴ -1-4a+9$ 주어진 연립부등식을 만족시키는 음의 정수 $x$가 $3$ 개이려면 그림과 같아야하므로 $-4\\le-4a+9<-3$ $∴ 3-2$ $∴ -2-\\frac{3}{5}$ $∴ -\\frac{3}{5}5x+a$ $-4x>a+4$ $∴ x<\\frac{-a-4}{4}$ $x+b\\le10-x$ $2x\\le10-b$ $∴ x\\le\\frac{10-b}{2}$ 주어진 그림에서 $x\\le3$, $x<8$이므로 $\\frac{-a-4}{4}=8$, $\\frac{10-b}{2}=3$ $∴ a=-36$, $b=4$ $∴ a-b$$=-36-4$$=-40$" }, { "question": "부등식 $5-2x\\frac{2}{3}$ $x+3\\le-4(x+1)+a$ $x+3\\le-4x-4+a$ $5x\\le a-7$ $∴$ $x\\le\\frac{1}{5}a-\\frac{7}{5}$ 주어진 부등식이 해를 가지려면 그림과 같아야 하므로 $\\frac{1}{5}a-\\frac{7}{5}>\\frac{2}{3}$ $3a-21>10$ $3a>31$ $∴$ $a>\\frac{31}{3}$" }, { "question": "$x$에 대한 이차방정식 $ax^2-bx+b=3$의 한 근이 $2$이고, $x$에 대한 이차방정식 $ax^2+ax-b=-1$의 한 근이 $1$일 때, 실수 $a$, $b$에 대하여 $3a-b$의 값을 구하시오.", "answer": "$ax^2-bx+b=3$에 $x=2$를 대입하면 $4a-2b+b=3$ $∴ 4a-b=3$ $ax^2+ax-b=-1$에 $x=1$을 대입하면 $a+a-b=-1$ $∴ 2a-b=-1$ 두 식을 연립하여 풀면 $a=2$, $b=5$ $∴ 3a-b$$=3\\times2-5$$=1$" }, { "question": "삼차방정식 $x^3-7x^2+ax-b=0$의 두 근이 $3$, $2-\\sqrt{3}$일 때, 유리수 $a, b$의 값을 각각 구하시오.", "answer": "주어진 삼차방정식의 계수가 유리수이므로 $2-\\sqrt{3}$이 근이면 $2+\\sqrt{3}$도 근이다. 주어진 방정식의 세 근이 $3$, $2-\\sqrt{3}$, $2+\\sqrt{3}$이므로 삼차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 $3(2-\\sqrt{3})+(2-\\sqrt{3})(2+\\sqrt{3})+(2+\\sqrt{3})\\times3=a$ $∴ a=13$ $3(2-\\sqrt{3})(2+\\sqrt{3})=b$ $∴ b=3$" }, { "question": "연립부등식 $\\begin{cases} 4x-7<2x-3\\\\ 3x-4\\ge2x+a \\end{cases}$를 만족시키는 음의 정수 $x$가 $2$ 개일 때, 실수 $a$의 최댓값을 구하시오.", "answer": "$4x-7<2x-3$ $2x<4$ $∴$ $x<2$ $3x-4\\ge2x+a$ $∴$ $x\\ge a+4$ 주어진 연립부등식을 만족시키는 음의 정수 $x$가 $2$ 개이려면 그림과 같아야하므로 $-30$ 해가 $x\\le-\\frac{4}{3}$ 또는 $x\\ge\\frac{1}{4}$이고 $x^2$의 계수가 $1$인 이차부등식은 $(x+\\frac{4}{3})(x-\\frac{1}{4})\\ge0$ $\\therefore$ $x^2+\\frac{13}{12}x-\\frac{1}{3}\\ge0$ 양변에 $a$를 곱하면 $ax^2+\\frac{13}{12}ax-\\frac{1}{3}a\\ge0$ 이 부등식이 $ax^2+bx-4\\ge0$과 같으므로 $b=\\frac{13}{12}a$, $-4=-\\frac{1}{3}a$ $\\therefore$$a=12$, $b=13$ $\\therefore$ $a-b$$=12-13$$=-1$" }, { "question": "부등식 $4x+a\\le3x+5\\le8x+10$의 해가 없을 때, 상수 $a$의 값의 범위를 구하시오.", "answer": "$4x+a\\le3x+5\\le8x+10$에서 $\\begin{cases} 4x+a \\leq 3x+5\\\\ 3x+5 \\leq 8x+10\\\\ \\end{cases}$ 연립부등식을 풀면 $4x+a\\le3x+5$ ∴ $x\\le5-a$ $3x+5\\le8x+10$ $-5x\\le5$ ∴ $x\\ge-1$ 주어진 부등식의 해가 없으려면 그림과 같아야하므로 $5-a<-1$ ∴ $a>6$" }, { "question": "이차부등식 $x^2-x-1<-3x+14$를 만족시키는 정수 $x$의 개수를 구하시오.", "answer": "$x^2-x-1<-3x+14$ $x^2+2x-15<0$ $(x-3)(x+5)<0$ $∴ -5-x-6$을 만족시키는 정수 $x$의 개수를 구하시오.", "answer": "$-x^2+3x+6>-x-6$ $x^2-4x-12<0$ $(x+2)(x-6)<0$ $∴ -20$이 성립하도록 하는 실수 $k$의 값의 범위를 구하시오.", "answer": "모든 실수 $x$에 대하여 주어진 부등식이 성립하려면 이차함수 $y=2x^2+(k+3)x+k+3$의 그래프가 $x$축보다 항상 위쪽에 있어야 한다. 이차방정식 $2x^2+(k+3)x+k+3=0$의 판별식을 $D$라 하면 $D=(k+3)^2-4\\times2\\times(k+3)=k^2-2k-15$$<$$0$ $(k+3)(k-5)<0$ $∴ -3a$에 포함되도록 하는 실수 $a$의 값의 범위를 구하시오.", "answer": "$(ⅰ)$ $x<-\\frac{3}{2}$일 때, $\\vert 2x+3 \\vert=-(2x+3)$이므로 $-(2x+3)\\le4x-4$ $-2x-3\\le4x-4$ $-6x\\le-1$ $∴$ $x\\ge\\frac{1}{6}$ 부등식의 해는 없다. $(ⅱ)$$x\\ge-\\frac{3}{2}$일 때, $\\vert 2x+3 \\vert=2x+3$이므로 $2x+3\\le4x-4$ $-2x\\le-7$ $∴$ $x\\ge\\frac{7}{2}$ 그런데 $x\\ge-\\frac{3}{2}$이므로 $x\\ge\\frac{7}{2}$ $(ⅰ)$, $(ⅱ)$에서 주어진 부등식의 해는 $x\\ge\\frac{7}{2}$ $x\\ge\\frac{7}{2}$이 $x>a$에 포함되려면 그림과 같아야 한다. $∴ $$a<\\frac{7}{2}$" }, { "question": "연립부등식 $ \\begin{cases} x^2-12x+27<0\\\\ x^2-(a-1)x-a \\le 0 \\end{cases} $ 을 만족시키는 정수 $x$가 $4$ 개일 때, 실수 $a$의 값의 범위를 구하시오.", "answer": "$x^2-12x+27<0$ $(x-3)(x-9)<0$ $∴ $$3-1 \\\\ 5x+7\\le3x+9 \\\\ \\end{cases}$ 의 해가 $a-1$ $2x>-6$ $∴ x>-3$ $5x+7\\le3x+9$ $2x\\le2$ $∴ x\\le1$ $∴ -30$ $(x-4)(x-5)>0$ $∴ $ $x<4$ 또는 $x>5$ $∴$ $2\\le x<4$ 또는 $52$ 둔각삼각형이려면 $(3x+2)^2>(3x-2)^2+(2x)^2$$ $$ $ $4x^2-24x<0$$ $$ $ $4x(x-6)<0$ $∴ 00$)", "answer": "세 점 $A$, $B$, $C$가 한 직선 위에 있으려면 직선 $AB$와 직선 $AC$의 기울기가 같아야 하므로 $\\frac{(-a)-(-1)}{8-2}=\\frac{(-3)-(-1)}{a-2}$ $(-a+1)(a-2)=-12$ $-a^2+3a+10=0$ $a^2-3a-10=0$ $(a+2)(a-5)=0$ $∴$ $a=-2$ 또는 $a=5$ $a>0$이므로 $a=5$ 두 점 $A(2, -1)$, $B(8, -5)$를 지나는 직선 $l$의 방정식은 $y-(-1)=\\frac{(-5)-(-1)}{8-2}(x-2)$ $∴$ $y=-\\frac{2}{3}x+\\frac{1}{3}$" }, { "question": "직선 $2x-y+6=0$이 $x$축, $y$축과 만나는 점을 각각 $A$, $B$라 할 때, 선분 $AB$의 수직이등분선의 방정식을 구하시오.", "answer": "직선 $2x-y+6=0$의 $x$절편은 $-3$, $y$절편은 $6$이므로 $A(-3, 0)$, $B(0, 6)$ 선분 $AB$의 중점의 좌표는 $(\\frac{-3+0}{2}, \\frac{0+6}{2})$, 즉 $(-\\frac{3}{2}, 3)$ 직선 $2x-y+6=0$의 기울기는 $2$이므로 구하는 직선의 기울기는 $-\\frac{1}{2}$이다. 점 $(-\\frac{3}{2}, 3)$을 지나고 기울기가 $-\\frac{1}{2}$인 직선의 방정식은 $y-3=-\\frac{1}{2}\\lbrace-(-\\frac{3}{2})\\rbrace$ $∴ y=-\\frac{1}{2}x+\\frac{9}{4}$" }, { "question": "세 점 $A(0, 2)$, $B(-1, 3)$, $C(1, 0)$을 꼭짓점으로 하는 삼각형 $ABC$의 외심의 좌표를 구하시오.", "answer": "삼각형 $ABC$의 외심을 $P(a, b)$라 하면 $\\overline{PA}$$=\\overline{PB}$$=\\overline{PC}$이므로 $\\overline{PA}^2$$=\\overline{PB}^2$$=\\overline{PC}^2$ $\\overline{PA}^2$$=\\overline{PB}^2$에서 $(0-a)^2+(2-b)^2=(-1-a)^2+(3-b)^2$ $a^2+b^2-4b+4=a^2+2a+b^2-6b+10$ $∴ -a+b=3 ······ ㉠$ $\\overline{PA}^2$$=\\overline{PC}^2$에서 $(0-a)^2+(2-b)^2=(1-a)^2+(0-b)^2$ $a^2+b^2-4b+4=a^2-2a+b^2+1$ $∴ 2a-4b=-3 ······ ㉡$ $㉠$, $㉡$을 연립하여 풀면 $a$=$-\\frac{9}{2}$, $b=-\\frac{3}{2}$ 따라서 구하는 외심의 좌표는 $(-\\frac{9}{2}$,$-\\frac{3}{2})$" }, { "question": "직선 $2x-4y-3=0$에 수직이고, 원점으로부터의 거리가 $\\sqrt{5}$인 직선 중 제$3$사분면을 지나지 않는 직선의 방정식을 구하시오.", "answer": "직선 $2x-4y-3=0$, 즉 $y=\\frac{1}{2}x-\\frac{3}{4}$에 수직인 직선의 기울기는 $-2$이므로 구하는 직선의 방정식을 직선 $y=-2x+a$, 즉 $2x+y-a=0$으로 놓을 수 있다. 원점과 이 직선 사이의 거리가 $\\sqrt{5}$이므로 $\\frac{\\vert -a \\vert}{\\sqrt{2^2+1^2}}$$=\\sqrt{5}$ $\\vert-a\\vert=5$ ∴ $a=\\pm5$ 따라서 제$3$사분면을 지나지 않는 직선의 방정식은 $y=-2x+5$이다." }, { "question": "어떤 정수에 $1$을 더한 것의 $5$ 배는 그 수의 $3$ 배에 $2$를 더한 것보다 크고, 그 어떤 정수에서 $1$을 뺀 것은 그 수의 $2$ 배에서 $7$을 뺀 것보다 크거나 같다. 이를 만족하는 정수의 개수를 구하시오.", "answer": "어떤 정수를 $x$라 하면 $5(x+1)>3x+2$ $5x+5>3x+2$ $2x>-3$ $ \\therefore x>-\\frac{3}{2}$ $x-1\\ge2x-7$ $-x\\ge-6$ $ \\therefore x\\le6$ 연립부등식의 해는 $-\\frac{3}{2}c$)", "answer": "점 $P(a, b)$는 선분 $AB$를 $1 : 2$로 내분하는 점이므로 $a$$=\\frac{1\\times(-5)+2\\times1}{1+2}$$=-1$, $b$$=\\frac{1\\times(-5)+2\\times4}{1+2}$$=1$ $∴$ $a=-1$, $b=1$ 점 $Q(c, d)$는 선분 $AB$를 $2 : 1$로 내분하는 점이므로 $c$$=\\frac{2\\times(-5)+1\\times1}{2+1}$$=-3$, $d$$=\\frac{2\\times(-5)+1\\times4}{2+1}$$=-2$ $∴$ $c=-3$, $d=-2$ $∴$ $ac-bd$$=(-1)\\times(-3)-1\\times(-2)$$=5$" }, { "question": "두 점 $(-2,1)$, $(4,-5)$를 이은 선분을 $3:1$로 내분하는 점을 지나고 기울기가 $2$인 직선의 방정식을 구하시오.", "answer": "두 점 $(-2, 1)$, $(4, -5)$를 이은 선분을 $3 : 1$로 내분하는 점의 좌표는 $(\\frac{3\\times4+1\\times(-2)}{3+1}, \\frac{3\\times(-5)+1\\times1}{3+1})$, 즉 $(\\frac{5}{2}, -\\frac{7}{2})$ 기울기가 $2$이고 점 $(\\frac{5}{2}, -\\frac{7}{2})$을 지나는 직선의 방정식은 $y-(-\\frac{7}{2})=2(x-\\frac{5}{2})$ $∴ y=2x-\\frac{17}{2}$" }, { "question": "두 직선 $(k+1)x+12y-5=0$, $kx-y+1=0$이 서로 평행하도록 하는 상수 $k$의 값을 $\\alpha$, 서로 수직이 되도록 하는 상수 $k$의 값을 $\\beta$라 할 때, $\\alpha\\beta$의 값을 구하시오. (단,$\\beta>0)$", "answer": "두 직선 $(k+1)x+12y-5=0$, $kx-y+1=0$이 서로 평행하려면 $\\frac{k+1}{k}=\\frac{12}{-1}$≠$\\frac{-5}{1}$이므로 $(k+1)\\times(-1)=k\\times12$ ∴ $k=-\\frac{1}{13}$ 두 직선 $(k+1)x+12y-5=0$, $kx-y+1=0$이 서로 수직이려면 $(k+1)\\times k+12\\times(-1)=0$이므로 $k^2+k-12=0$ $(k-3)(k+4)=0$ ∴ $k=3$ 또는 $k=-4$ $\\alpha=-\\frac{1}{13}$, $\\beta>0$이므로 $\\beta=3$ ∴ $\\alpha\\beta$$=(-\\frac{1}{13})\\times3$$=-\\frac{3}{13}$" }, { "question": "원 $x^2+y^2=32$에 접하고 직선 $y=-x+5$에 평행한 두 직선이 $y$축과 만나는 점을 각각 $P, Q$라 할 때, 선분 $PQ$의 길이를 구하시오.", "answer": "직선 $y=-x+5$에 평행한 직선의 기울기는 $-1$이고 원 $x^2+y^2=32$의 반지름의 길이는 $4\\sqrt{2}$이므로 접선의 방정식은 $y$$=-x\\pm4\\sqrt{2}\\sqrt{(-1)^2+1}$ $∴ y$$=-x\\pm8$ 따라서 접선이 $y$축과 만나는 점의 좌표가 각각 $(0, 8)$, $(0, -8)$이므로 $\\overline{PQ}$$=16$" }, { "question": "두 점 $(3, 2)$, $(5, -4)$를 지나는 직선 위에 두 점 $(a, 5)$, $(8, b)$가 있을 때, 실수 $a$, $b$에 대하여 $a-b$의 값을 구하시오.", "answer": "두 점 $(3, 2)$, $(5, -4)$를 지나는 직선의 방정식은 $y-2=\\frac{-4-2}{5-3}(x-3)$ $∴$ $y=-3x+11$ 두 점 $(a, 5)$, $(8, b)$가 직선 $y=-3x+11$ 위의 점이므로 $5=-3a+11$, $b$$=-24+11$$=-13$ $∴$ $a=2$, $b=-13$ $∴$ $a-b$$=2-(-13)$$=15$" }, { "question": "원 $x^2+y^2-4x+2ay+b+8=0$이 $x$축과 $y$축에 동시에 접할 때, 상수 $a$, $b$에 대하여 $a-b$의 값을 구하시오. (단, $a<0$)", "answer": "$x^2+y^2-4x+2ay+b+8=0$ $(x-2)^2+(y+a)^2=a^2-b-4$ 이 원이 $x$축, $y$축에 동시에 접하므로 $2=\\left\\vert- a \\right\\vert$ $=\\sqrt{a^2-b-4}$ $2=\\left\\vert- a \\right\\vert$에서 $a=\\pm2$ $a<0$이므로 $a=-2$ $\\sqrt{a^2-b-4}=2$에서 $a^2-b-4=4$ 위의 식에 $a=-2$를 대입하면 $b=-4$ $∴ a-b$$=(-2)-(-4)$$=2$" }, { "question": "연립부등식 $\\begin{cases} x^2-10x+21<0 \\\\ x^2-(a+2)x+2\\le 0\\\\ \\end{cases}$ 을 만족시키는 정수 $x$가 $2$ 개일 때, 실수 $a$의 값의 범위를 구하시오.", "answer": "$x^2-10x+21<0$ $(x-3)(x-7)<0$ $∴ 30 \\\\ \\end{cases}$", "answer": "$x^2+2x-3<0$ $(x-1)(x+3)<0$ $∴ -30$ $(x+2)(x+5)>0$ $∴ x<-5$ 또는 $x>-2$ $∴ -20$이므로 $k=8$" }, { "question": "세 점 $A(-3,-2)$, $B(-5,2)$, $C(-2,-1)$을 지나는 원의 방정식을 구하시오.", "answer": "원의 중심을 $P(a, b)$라 하면 $\\overline{PA}$$=\\overline{PB}$$=\\overline{PC}$ $\\overline{PA}=\\overline{PB}$에서 $\\overline{PA}^2=\\overline{PB}^2$이므로 $(a+3)^2+(b+2)^2=(a+5)^2+(b-2)^2$ $∴ a-2b=-4$ ······ $㉠$ $\\overline{PA}=\\overline{PC}$에서 $\\overline{PA}^2=\\overline{PC}^2$이므로 $(a+3)^2+(b+2)^2=(a+2)^2+(b+1)^2$ $∴ a+b=-4$ ······ $㉡$ $㉠$, $㉡$을 연립하여 풀면 $a=-4$$,$ $b=0$ 원의 중심은 $P(-4, 0)$이고 반지름의 길이는 $\\overline{PA}$$=\\sqrt{\\lbrace(-3)-(-4)\\rbrace^2+(-2-0)^2}$$=\\sqrt{5}$이므로 구하는 원의 방정식은 $(x+4)^2+y^2=5$" }, { "question": "원 $x^2+y^2=8$에 접하고 직선 $y=x-2$에 평행한 두 직선이 $y$축과 만나는 점을 각각 $P$, $Q$라 할 때, 선분 $PQ$의 길이를 구하시오.", "answer": "직선 $y=x-2$에 평행한 직선의 기울기는 $1$이고 원 $x^2+y^2=8$의 반지름의 길이는 $2\\sqrt{2}$이므로 접선의 방정식은 $y$$=x\\pm2\\sqrt{2}\\sqrt{1^2+1}$ $∴ y$$=x\\pm4$ 따라서 접선이 $y$축과 만나는 점의 좌표가 각각 $(0, 4)$, $(0, -4)$이므로 $\\overline{PQ}$$=8$" }, { "question": "이차방정식 $x^2-px-2p-4=0$의 두 근이 모두 $-5$보다 크도록 하는 정수 $p$의 최솟값을 구하시오.", "answer": "$f(x)=x^2-px-2p-4$라 하면 이차방정식 $f(x)$$=0$의 두 근이 모두 $-5$보다 크므로 이차함수 $y$$=f(x)$의 그래프는 다음 그림과 같아야 한다. (i) $f(x)$$=0$의 판별식을 $D$라 하면 $D=(-p)^2-4\\times(-2p-4)$$=$$p^2+8p+16\\ge0$ $p^2+8p+16$$=(p+4)^2$$\\ge$$0$ $p$는 모든 실수이다. (ii) $f(-5)$$=25-(-5p)-2p-4$$=3p+21>0$ $∴$ $p>-7$ (iii) 이차함수 $y$$=f(x)$$=(x-\\frac{1}{2}p)^2-\\frac{p^2}{4}-2p-4$의 그래프의 축의 방정식이 $x=\\frac{1}{2}p$이므로 $\\frac{1}{2}p>-5$ $∴$ $p>-10$ $∴$ $p>-7$ 따라서 정수 $p$의 최솟값은 $-6$이다." }, { "question": "두 점 $(2,-8)$, $(-2,4)$를 이은 선분을 $1:3$으로 내분하는 점과 점 $(-1,7)$을 지나는 직선의 방정식이 $y=ax+b$일 때, 상수 $a$, $b$에 대하여 $ab$의 값을 구하시오.", "answer": "두 점 $(2, -8)$, $(-2, 4)$를 이은 선분을 $1 : 3$으로 내분하는 점의 좌표는 $(\\frac{1\\times(-2)+3\\times2}{1+3}, \\frac{1\\times4+3\\times(-8)}{1+3})$, 즉 $(1, -5)$ 두 점 $(1, -5)$, $(-1, 7)$을 지나는 직선의 방정식은 $y-(-5)=\\frac{7-(-5)}{-1-1}(x-1)$ $∴ y=-6x+1$ 따라서 $a=-6$, $b=1$이므로 $ab$$=(-6)\\times1$$=-6$" }, { "question": "직선 $x-y=8$을 $x$축의 방향으로 $a$만큼, $y$축의 방향으로 $-a$만큼 평행이동한 직선이 원 $(x+2)^2+(y-4)^2=9$의 넓이를 이등분할 때, $a$의 값을 구하시오.", "answer": "평행이동한 직선의 방정식은 $(x-a)-(y+a)=8$. ∴ $x-y-2a-8=0$. 이 직선이 원 $(x+2)^2+(y-4)^2=9$의 넓이를 이등분하려면. 직선이 원의 중심 $(-2, 4)$를 지나야 하므로. $-2-4-2a-8=0$. ∴ $a=-7$" }, { "question": "다음 그림과 같이 점 $(-1,2)$를 지나고 $x$축과 $y$축에 동시에 접하는 원은 두 개가 있다. 이 두 원의 중심 사이의 거리를 구하시오.", "answer": "원의 방정식을 $(x+a)^2+(y-a)^2=a^2$$(a>0)$이라 하면 이 원이 점 $(-1, 2)$를 지나므로 $(-1+a)^2+(2-a)^2=a^2$ $a^2-6a+5=0$ $(a-1)(a-5)=0$ $∴ a=1$ 또는 $a=5$ 두 원의 중심의 좌표는 $(-1, 1)$, $(-5, 5)$이므로 중심 사이의 거리는 $\\sqrt{\\lbrace(-5)-(-1)\\rbrace^2+(5-1)^2}$$=4\\sqrt{2}$" }, { "question": "집합 $A=\\lbrace x | x는 k0)$ 이라 하면 이 원이 점 $(-1,2)$ 를 지나므로$ (-1+r)^{2}+(2-r)^{2}=r^{2} r^{2}-6 r+5=0 (r-1)(r-5)=0 \\therefore r=1 \\text { 또는 } r=5$ 따라서 두 원의 반지름의 길이의 합은 $1+5=6$" }, { "question": "평행이동 $(x,y)$ → $(x+5,y-2)$에 의하여 점 $(3,-3)$으로 옮겨지는 점의 좌표를 구하시오.", "answer": "구하는 점의 좌표를 $(a, b)$라 하면 $a+5=3$, $b-2=-3$이므로 $a=-2$, $b=-1$ $∴ (-2, -1)$" }, { "question": "원 $x^2+y^2+6x-4y+12=0$을 $y$축에 대하여 대칭이동한 원의 중심이 $y=3x-k$ 위에 있을 때, 상수 $k$의 값을 구하시오.", "answer": "$x^2+y^2+6x-4y+12=0$에서 $(x+3)^2+(y-2)^2=1$ 이 원을 $y$축에 대하여 대칭이동한 원의 방정식은 $(-x+3)^2+(y-2)^2=1$ $∴$ $(x-3)^2+(y-2)^2=1$ 이 원의 중심 $(3, 2)$가 직선 $y=3x-k$ 위에 있으므로 $2=3\\times3-k$ $∴$ $k=7$" }, { "question": "평행이동 $(x, y) \\rightarrow (x-4, y+4)$에 의하여 점 $(2, -5)$로 옮겨지는 점의 좌표를 구하시오.", "answer": "구하는 점의 좌표를 $(a, b)$라 하면 $a-4=2$, $b+4=-5$이므로 $a=6$, $b=-9$ $∴$ $(6, -9)$" }, { "question": "직선 $3x-4y+a=0$을 $y$축에 대하여 대칭이동하였더니 원 $(x+2)^2+(y-1)^2=4$에 접하였다. 이때 모든 상수 $a$의 값의 합을 구하시오.", "answer": "직선 $3x-4y+a=0$을 $y축$에 대하여 대칭이동한 직선의 방정식은 $3\\times(-x)-4y+a=0$ $∴ 3x+4y-a=0$ 이 직선이 원 $(x+2)^2+(y-1)^2=4$에 접하므로 원의 중심 $(-2, 1)$과 직선 $3x+4y-a=0$ 사이의 거리는 원의 반지름 $2$와 같다. $\\frac{\\left\\vert -6+4-a \\right\\vert}{\\sqrt{3^2+4^2}}=2$ $∴ a=-12$ 또는 $a=8$ 따라서 $a$의 모든 값의 합은 $-12+8$$=-4$" }, { "question": "두 직선 $3x+5y+1=0$, $2x-3y+7=0$의 교점과 점 $(2, 4)$를 지나는 직선의 방정식이 $ax-4y+b=0$일 때, 상수 $a$, $b$에 대하여 $a+b$의 값을 구하시오.", "answer": "두 직선 $3x+5y+1=0$, $2x-3y+7=0$의 교점의 좌표는 $(-2, 1)$ 두 점 $(-2, 1)$, $(2, 4)$를 지나는 직선의 방정식은 $y-1=\\frac{4-1}{2-(-2)}\\lbrace x-(-2)\\rbrace$ $∴$ $3x-4y+10=0$ 따라서 $a=3$, $b=10$이므로 $a+b=3+10=13$" }, { "question": "$6$개의 숫자 $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$을 모두 사용하여 만든 여섯 자리 자연수를 작은 수부터 순서대로 배열할 때, $100$번째 수를 구하시오.", "answer": "$12◇◇◇◇$ 꼴인 자연수의 개수는 $4!$$=24$ $13◇◇◇◇$ 꼴인 자연수의 개수는 $4!$$=24$ $14◇◇◇◇$ 꼴인 자연수의 개수는 $4!$$=24$ $15◇◇◇◇$ 꼴인 자연수의 개수는 $4!$$=24$ $123456$부터 $156432$까지의 자연수는 모두 $96$ 개이다. $97$ 번째부터 순서대로 구해보면 $162345$, $162354$, $162435$, $162453$, ···이므로 $100$ 번째 수는 $162453$이다." }, { "question": "집합 $X=\\lbrace x | -3\\le x\\le-1\\rbrace$에 대하여 $X$에서 $X$로의 함수 $f(x)=ax+b$의 공역과 치역이 서로 같다. 이때 실수 $a$, $b$에 대하여 $ab$의 값을 구하시오. (단, $ab\\ne0$)", "answer": "(ⅰ)$a>0$일 때 $f(-3)=-3$$,$ $f(-1)=-1$$ $ $-3a+b=-3$, $-a+b=-1$ $∴ a=1$, $b=0$ $ab=0$이므로 조건을 만족시키지 않는다. (ⅱ)$a<0$일 때 $f(-3)=-1$$,$ $f(-1)=-3$ $-3a+b=-1$, $-a+b=-3$ $∴ a=-1$, $b=-4$ $∴ ab$$=(-1)\\times(-4)$$=4$ (ⅰ), (ⅱ)에서 $ab=4$" }, { "question": "실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $f$가 $\\begin{cases} -2x+3(x는 유리수) \\\\ \\frac{1}{2}x^2 (x는 무리수) \\end{cases}$ 일 때, $f(-3)+f(\\sqrt{6})$의 값을 구하시오.", "answer": "$-3$은 유리수이므로 $f(-3)$$=(-2)\\times(-3)+3$$=9$ $\\sqrt{6}$은 무리수이므로 $f(\\sqrt{6})$$=\\frac{1}{2}\\times(\\sqrt{6})^2$$=3$ $∴$ $f(-3)+f(\\sqrt{6})$$=9+3$$=12$" }, { "question": "점 $(a, -3)$을 점 $(3, 2)$에 대하여 대칭이동한 점의 좌표가 $(1, b)$일 때, $ab$의 값을 구하시오.", "answer": "두 점 $(a, -3)$, $(1, b)$를 이은 선분의 중점의 좌표가 $(3, 2)$이므로 $\\frac{a+1}{2}=3$, $\\frac{-3+b}{2}=2$ $∴ a=5$, $b=7$ $∴ ab=5\\times7=35$" }, { "question": "포물선 $y=2x^2+8x+a$를 $x$축에 대하여 대칭이동한 후 $y$축의 방향으로 $-1$만큼 평행이동한 포물선과 $y$축의 교점의 $y$좌표가 $4$일 때, 상수 $a$의 값을 구하시오.", "answer": "포물선 $y=2x^2+8x+a$를 $x$축에 대하여 대칭이동한 포물선의 방정식은 $-y=2x^2+8x+a$ $∴$ $y=-2x^2-8x-a$ 이 포물선을 $y$축의 방향으로 $-1$만큼 평행이동한 포물선의 방정식은 $y+1=-2x^2-8x-a$ $∴$ $y=-2x^2-8x-a-1$ 이 포물선과 $y$축의 교점의 $y$좌표가 $-a-1$이므로 $-a-1=4$ $∴$ $a=-5$" }, { "question": "두 집합 $A=\\lbrace2a-1, -a-2, 8\\rbrace$, $B=\\lbrace a^2+2a, -4, 3\\rbrace$에 대하여 $A=B$일 때, 상수 $a$의 값을 구하시오.", "answer": "$A$$=B$이므로 $a^2+2a=8$ $a^2+2a-8=0$ $(a-2)(a+4)=0$ $∴ a=2$ 또는 $a=-4$ (1) $a=2$일 때 $A=\\lbrace-4, 3, 8\\rbrace$, $B=\\lbrace-4, 3, 8\\rbrace$이므로 $A$$=B$ (2) $a=-4$일 때 $A=\\lbrace-9, 2, 8\\rbrace$, $B=\\lbrace-4, 3, 8\\rbrace$이므로 $A \\ne B$ (1), (2)에서 $a=2$" }, { "question": "직선 $3x+4y+k=0$을 $y$축에 대하여 대칭이동한 직선이 원 $(x+3)^2+(y+2)^2=2$와 서로 다른 두 점에서 만나도록 하는 실수 $k$의 값의 범위가 $a0$이므로 $a=3$" }, { "question": "점 $(-2, a)$를 점 $(2, 3)$에 대하여 대칭이동한 점의 좌표가 $(b, -1)$일 때, $a+b$의 값을 구하시오.", "answer": "두 점 $(-2, a)$, $(b, -1)$을 이은 선분의 중점의 좌표가 $(2, 3)$이므로 $\\frac{-2+b}{2}=2$, $\\frac{a-1}{2}=3$ $∴ a=7$, $b=6$ $∴ a+b=7+6=13$" }, { "question": "포물선 $y=x^2+4ax+3b$를 원점에 대하여 대칭이동한 포물선의 꼭짓점의 좌표가 $(6,-15)$일 때, 상수 $a$, $b$에 대하여 $b-a$의 값을 구하시오.", "answer": "포물선 $y=x^2+4ax+3b$를 원점에 대하여 대칭이동한 포물선의 방정식은 $-y=(-x)^2+4a\\times(-x)+3b$ $y=-x^2+4ax-3b=-(x-2a)^2+4a^2-3b$ 포물선의 꼭짓점 $(2a, 4a^2-3b)$가 점 $(6, -15)$와 일치하므로 $2a=6$, $4a^2-3b=-15$ $∴ a=3$, $b=17$ $∴ b-a$$=17-3$$=14$" }, { "question": "전체집합 $U=\\lbrace1, 2, 3, 4, 5, 6\\rbrace$의 두 부분집합 $A=\\lbrace3, 4\\rbrace$, $B=\\lbrace1, 2, 4\\rbrace$에 대하여 $A\\cup X=X$, $(B-A)\\cap X=\\lbrace2\\rbrace$를 만족시키는 집합 $U$의 부분집합 $X$의 개수를 구하시오.", "answer": "$A\\cup X=X$에서 $A ⊂ X$이므로 $3 ∈ X$, $4 ∈ X$ $B-A=\\lbrace1, 2\\rbrace$이고 $(B-A)\\cap X=\\lbrace2\\rbrace$이므로 $1 ∉ X$, $2 ∈ X$ 집합 $X$는 $2$, $3$, $4$를 반드시 원소로 갖고 $1$은 원소로 갖지 않아야 한다. 따라서 구하는 집합 $X$의 개수는 $2^{6-3-1}$$=2^2$$=4$" }, { "question": "집합 $A=\\lbrace x | 2x^2+3x-2=0\\rbrace$을 원소나열법으로 나타내시오.", "answer": "$2x^2+3x-2=0$ $(x+2)(2x-1)=0$ $∴ x=-2$ 또는 $x=\\frac{1}{2}$ $∴ A=\\lbrace-2, \\frac{1}{2}\\rbrace$" }, { "question": "두 집합 $A=\\lbrace1, 3\\rbrace$, $B=\\lbrace1, 2, 3, 4, 5\\rbrace$에 대하여 $A ⊂ X ⊂ B$를 만족시키는 집합 $X$의 개수를 구하시오.", "answer": "집합 $X$의 개수는 집합 $B$의 부분집합 중 $1$, $3$을 반드시 원소로 갖는 부분집합의 개수와 같다. 따라서 구하는 집합 $X$의 개수는 $2^{5-2}$$=2^3$$=8$" }, { "question": "두 집합 $X=\\lbrace5, a\\rbrace$, $Y=\\lbrace a^2+4, a+3, 1\\rbrace$에 대하여 $X ⊂ Y$가 성립할 때, 실수 $a$의 값을 구하시오.", "answer": "$X ⊂ Y$가 성립하려면 $5 ∈ Y$, $a ∈ Y$ (i) $5=a^2+4$인 경우 $a$$=\\pm1$ $a=1$이면 $X=\\lbrace1, 5\\rbrace$, $Y=\\lbrace1, 4, 5\\rbrace$이므로 $X ⊂ Y$ $a=-1$이면 $X=\\lbrace-1, 5\\rbrace$, $Y=\\lbrace1, 2, 5\\rbrace$이므로 $X ⊄ Y$ (ii) $5=a+3$인 경우 $a=2$ $X=\\lbrace2, 5\\rbrace$, $Y=\\lbrace1, 5, 8\\rbrace$이므로 $X ⊄ Y$ (ⅰ), (ⅱ)에서 $a=1$" }, { "question": "어느 고등학교 $1$ 학년 학생 $40$ 명이 동굴 탐사를 하려고 하는데, 준비물을 점검해 보니 손전등을 가져오지 않은 학생이 $10$ 명, 머리 전등을 가져오지 않은 학생이 $6$ 명이었다. 손전등과 머리 전등을 모두 가져온 학생이 $29$ 명일 때, 손전등과 머리 전등 중에서 어느 것도 가져오지 않은 학생 수를 구하시오.", "answer": "학생 전체의 집합을 $U$, 손전등을 가져온 학생의 집합을 $A$, 머리 전등을 가져온 학생의 집합을 $B$라 하면 $n(U)$$=40$, $n(A^C)$$=10$, $n(B^C)$$=6$, $n(A\\cap B)$$=29$ $n(A)$$=n(U)-n(A^C)$$=40-10$$=30$ $n(B)$$=n(U)-n(B^C)$$=40-6$$=34$ $n(A\\cup B)$$=n(A)+n(B)-n(A\\cap B)$$=30+34-29$$=35$ 손전등과 머리 전등 중에서 어느 것도 가져오지 않은 학생의 집합은 $A^C\\cap B^C$이다. $n(A^C\\cap B^C)$$=n((A\\cup B)^C)$$=n(U)-n(A\\cup B)$$=40-35$$=5$ 따라서 손전등과 머리 전등 중에서 어느 것도 가져오지 않은 학생 수는 $5$이다." }, { "question": "두 집합 $A=\\lbrace x | x^2+x-2\\le0\\rbrace$, $B=\\lbrace x | x^2+px+q\\le0\\rbrace$에 대하여 $A\\cap B=\\lbrace x | -1\\le x\\le1\\rbrace$, $A\\cup B=\\lbrace x | -2\\le x\\le4\\rbrace$일 때, $q-p$의 값을 구하시오. (단, $p$, $q$는 상수)", "answer": "$x^2+x-2\\le0$ $(x-1)(x+2)\\le0$ $∴ -2\\le x\\le1$ $∴$ $A=\\lbrace x | -2\\le x\\le1\\rbrace$ $A\\cap B=\\lbrace x | -1\\le x\\le1\\rbrace$, $A\\cup B=\\lbrace x | -2\\le x\\le4\\rbrace$이므로 수직선 위에 나타내면 그림과 같다. $B$$=\\lbrace x | -1\\le x\\le4\\rbrace$$=\\lbrace x | (x+1)(x-4)\\le0\\rbrace$$=\\lbrace x | x^2-3x-4\\le0\\rbrace$ 따라서 $p=-3$, $q=-4$이므로 $q-p$$=(-4)-(-3)$$=-1$" }, { "question": "직선 $5x+4y-13=0$을 직선 $y=-x$에 대하여 대칭이동한 직선의 기울기를 $m$, $y$축에 대하여 대칭이동한 직선의 기울기를 $n$이라고 할 때, $m+n$의 값을 구하시오.", "answer": "직선 $5x+4y-13=0$을 직선 $y=-x$에 대하여 대칭이동한 직선의 방정식은 $5\\times(-y)+4\\times(-x)-13=0$, 즉 $y=-\\frac{4}{5}x-\\frac{13}{5}$ $∴$ $m=-\\frac{4}{5}$ 직선 $5x+4y-13=0$을 $y$축에 대하여 대칭이동한 직선의 방정식은 $-5x+4y-13=0$, 즉 $y=\\frac{5}{4}x+\\frac{13}{4}$ $∴$ $n=\\frac{5}{4}$ $∴$ $m+n$$=-\\frac{4}{5}+\\frac{5}{4}$$=\\frac{9}{20}$" }, { "question": "봉사활동에 참여한 학생 중에서 교육 봉사를 하는 학생이 $32$ 명, 벽화 그리기 봉사를 하는 학생이 $45$ 명이고, 두 가지 봉사를 모두 하는 학생이 $18$ 명이다. 교육 봉사 또는 벽화 그리기 봉사를 하는 학생 수를 구하시오.", "answer": "교육 봉사를 하는 학생의 집합을 $A$, 벽화 그리기 봉사를 하는 학생의 집합을 $B$라 하면 $A$, $B$에 대하여 $n(A)=32$, $n(B)=45$, $n(A\\cap B)=18$이므로 $n(A\\cup B)$$=n(A)+n(B)-n(A\\cap B)$$=32+45-18$$=59$" }, { "question": "$x>0$, $y>0$, $z>0$일 때, $\\frac{3y+z}{2x}+\\frac{z+2x}{3y}+\\frac{2x+3y}{z}$의 최솟값을 구하시오.", "answer": "$x>0$, $y>0$, $z>0$이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여 $\\frac{3y+z}{2x}+\\frac{z+2x}{3y}+\\frac{2x+3y}{z}$ $=$$\\frac{3y}{2x}+\\frac{z}{2x}+\\frac{z}{3y}+\\frac{2x}{3y}+\\frac{2x}{z}+\\frac{3y}{z}$ $=$$(\\frac{3y}{2x}+\\frac{2x}{3y})+(\\frac{z}{3y}+\\frac{3y}{z})+(\\frac{z}{2x}+\\frac{2x}{z})$ $\\ge$$2\\sqrt{\\frac{3y}{2x}\\times\\frac{2x}{3y}}+2\\sqrt{\\frac{z}{3y}\\times\\frac{3y}{z}}+2\\sqrt{\\frac{z}{2x}\\times\\frac{2x}{z}}$ $=$$2+2+2$$=$$6$ (단, 등호는 $2x$$=3y$$=z$일 때 성립) 따라서 주어진 식의 최솟값은 $6$이다." }, { "question": "유리함수 $y=f(x)$의 그래프가 다음 조건을 모두 만족시킬 때, $-1\\le x\\le2$에서 $y=f(x)$의 최댓값과 최솟값의 합을 구하시오. (가) 점근선의 방정식은 $x=-2$, $y=3$이다. (나) 점 $(0,1)$을 지난다.", "answer": "조건 (가)에서 점근선의 방정식이 $x=-2$, $y=3$이므로 $f(x)=\\frac{k}{x+2}+3(k ≠ 0)$이라 하자. 조건 (나)에서 함수 $y=f(x)$의 그래프가 점 $(0, 1)$을 지나므로 $1=\\frac{k}{2}+3$ $∴ k=-4$ $∴ f(x)=-\\frac{4}{x+2}+3$ $-1\\le x\\le2$에서 $y=f(x)$의 그래프는 위 그림과 같으므로 주어진 함수는 $x=2$일 때 최댓값 $2$, $x=-1$일 때 최솟값 $-1$을 갖는다. 따라서 최댓값과 최솟값의 합은 $2+(-1)$$=1$" }, { "question": "집합 $A=\\lbrace x | x는 50보다 작은 9의 양의 배수\\rbrace$의 부분집합 중에서 적어도 한 개의 홀수를 원소로 갖는 부분집합의 개수를 구하시오.", "answer": "$A=\\lbrace9, 18, 27, 36, 45\\rbrace$의 부분집합 중에서 적어도 한 개의 홀수를 원소로 갖는 부분집합은 $A$의 부분집합 중에서 $\\lbrace18, 36\\rbrace$의 부분집합을 제외하면 되므로 구하는 부분집합의 개수는 $2^5-2^2=28$" }, { "question": "실수 $x$, $y$, $z$에 대하여 $x^2+y^2+z^2=3$일 때, $x-2y+z$의 최솟값을 구하시오.", "answer": "$x$, $y$, $z$가 실수이므로 코시-슈바르츠 부등식에 의하여 $\\lbrace1^2+(-2)^2+1^2\\rbrace(x^2+y^2+z^2)\\ge(x-2y+z)^2$ $x^2+y^2+z^2=3$이므로 $18\\ge(x-2y+z)^2$ $∴$ $-3\\sqrt{2}\\le x-2y+z\\le3\\sqrt{2}$ (단, 등호는 $x=-\\frac{y}{2}=z$일 때 성립) 따라서 $x-2y+z$의 최솟값은 $-3\\sqrt{2}$이다." }, { "question": "직선 $x-3y=1$을 $x$축의 방향으로 $a$만큼, $y$축의 방향으로 $-a$만큼 평행이동한 직선이 원 $(x-3)^2+(y+2)^2=5$의 넓이를 이등분할 때, $a$의 값을 구하시오.", "answer": "평행이동한 직선의 방정식은 $(x-a)-3(y+a)=1$ $∴$ $x-3y-4a-1=0$ 이 직선이 원 $(x-3)^2+(y+2)^2=5$의 넓이를 이등분하려면 직선이 원의 중심 $(3, -2)$를 지나야 하므로 $3-3\\times(-2)-4a-1=0$ $∴$ $a=2$" }, { "question": "전체집합 $U$의 두 부분집합 $A$, $B$에 대하여 연산 $◇$를 $A ◇ B$$=(A\\cup B)\\cap(A\\cap B)^C$이라 하자. $A$$=\\lbrace1, 4, 6, 7, 9\\rbrace$, $A ◇ B$$=\\lbrace1, 2, 6, 7, 9\\rbrace$일 때, 집합 $B$의 모든 원소의 합을 구하시오.", "answer": "$A ◇ B$는 벤다이어그램의 색칠한 부분과 같다. $A\\cap B$$=A-(A ◇ B)$$=\\lbrace4\\rbrace$ $B-A$$=(A ◇ B)-A$$=\\lbrace2\\rbrace$ $∴ B=(A\\cap B)\\cup(B-A)$$=\\lbrace2, 4\\rbrace$ 따라서 구하는 모든 원소의 합은 $2+4$$=6$" }, { "question": "중심의 좌표가 $(-3,1)$이고 반지름의 길이가 $k$인 원을 직선 $y=x$에 대하여 대칭이동하였더니 점 $(4,1)$을 지났다. 이때 $k$의 값을 구하시오.", "answer": "중심의 좌표가 $(-3, 1)$이고 반지름의 길이가 $k$인 원의 방정식은 $(x+3)^2+(y-1)^2=k^2$ 이 원을 직선 $y=x$에 대하여 대칭이동한 원의 방정식은 $(y+3)^2+(x-1)^2=k^2$ $∴$ $(x-1)^2+(y+3)^2=k^2$ 이 원이 점 $(4, 1)$을 지나므로 $(4-1)^2+(1+3)^2=k^2$ $k^2=25$ $∴$ $k$$=\\pm5$ $k>0$이므로 $k=5$" }, { "question": "$45$ 명의 주부를 대상으로 A 통조림과 B 통조림을 구입해 본 경험을 조사하였더니 A 통조림과 B 통조림을 구입해 본 주부가 각각 $23$ 명, $29$ 명이었다. A 통조림만 구입해 본 주부 수의 최댓값을 구하시오.", "answer": "주부 전체의 집합을 $U$, A 통조림을 구입해 본 주부의 집합을 $A$, B 통조림을 구입해 본 주부의 집합을 $B$라 하면 $n(U)$$=45$, $n(A)$$=23$, $n(B)$$=29$ A 통조림만 구입해 본 주부의 집합은 $A-B$이고 $n(A-B)=n(A)-n(A\\cap B)$이므로 $n(A\\cap B)$가 최소일 때 $n(A-B)$는 최대가 된다. $n(A\\cap B)$가 최소가 되는 경우는 $A\\cup B=U$일 때이므로 $n(A\\cap B)$$=n(A)+n(B)-n(A\\cup B)$$=23+29-45$$=7$ $n(A\\cap B)$의 최솟값이 $7$이므로 $n(A-B)$의 최댓값은 $23-7$$=16$ 따라서 A 통조림만 구입해 본 주부 수의 최댓값은 $16$이다." }, { "question": "$a>0$일 때, ($a-\\frac{1}{a}$)($a-\\frac{9}{a}$)의 값이 최소가 되도록 하는 $a$의 값을 구하시오.", "answer": "$a>0$이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여 $(a-\\frac{1}{a})(a-\\frac{9}{a}) = a^2-9-1+\\frac{9}{a^2}=-10+a^2+\\frac{9}{a^2}$ $\\ge$$-10+2\\sqrt{a^2\\times\\frac{9}{a^2}}$$=$$-10+2\\times3$$=$$-4$ 등호는 $a^2=\\frac{9}{a^2}$일 때 성립하므로 $a^4=9$ $a^2>0$이므로 $a^2=3$이고 $a>0$이므로 $a=\\sqrt{3}$ $∴$ $a=\\sqrt{3}$" }, { "question": "명제 '$-1\\le x\\le3$이면 $a-3\\lt x\\le a+2$이다.'가 참이 되도록 하는 실수 $a$의 값의 범위를 구하시오.", "answer": "두 조건 '$p: -1\\le x\\le3$', '$q: a-30$이므로 $a=3$" }, { "question": "두 함수 $f(x)=ax-2$, $g(x)=-x+1$에 대하여 $f \\circ g=g \\circ f$가 항상 성립할 때, 상수 $a$의 값을 구하시오.", "answer": "$(f \\circ g)(x)$ $=f(g(x))$ $=f(-x+1)$ $=a(-x+1)-2$ $=-ax+a-2$ $(g \\circ f)(x)$ $=g(f(x))$ $=g(ax-2)$ $=-(ax-2)+1$ $=-ax+3$ $f \\circ g=g \\circ f$이므로 $-ax+a-2 =-ax+3$ ∴ $a=5$" }, { "question": "다음 그림과 같이 대각선의 길이가 $\\sqrt{3}$인 직육면체의 모든 모서리의 길이의 합의 최댓값을 구하시오.", "answer": "직육면체의 가로의 길이, 세로의 길이, 높이를 각각 $a$, $b$, $c$라 하면 직육면체의 대각선의 길이는 $\\sqrt{a^2+b^2+c^2}=\\sqrt{3}$ $∴ a^2+b^2+c^2=3$ $a$, $b$, $c$가 실수이므로 코시-슈바르츠 부등식에 의하여 $(1^2+1^2+1^2)(a^2+b^2+c^2)\\ge(a+b+c)^2$ $a^2+b^2+c^2=3$이므로 $9\\ge(a+b+c)^2$ $∴ -3\\le a+b+c\\le3$ (단, 등호는 $a=b=c$일 때 성립) $a>0$, $b>0$, $c>0$이므로 $00$, $y>0$이므로 $0-2$일 때, $x+\\frac{9}{x+2}$의 최솟값을 $m$, 그때의 $x$의 값을 $n$이라 하자. $m+n$의 값을 구하시오.", "answer": "$x>-2$이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여 $x+\\frac{9}{x+2}$ $=$ $x+ 2+ \\frac{9}{x+2}$ $-2$ $\\ge$ $2\\sqrt{(x+2)\\times\\frac{9}{x+2}}-2$ $=$ $2\\times3-2$ $=$ $4$ 등호는 $x+2=\\frac{9}{x+2}$일 때 성립하므로 $(x+2)^2=9$ $x+2>0$이므로 $x+2=3$ $∴$ $x=1$ 따라서 $x+\\frac{9}{x+2}$는 $x=1$일 때 최솟값 $4$를 가지므로 $m=4$, $n=1$ $∴$ $m+n$ $=4+1$$=5$" }, { "question": "$x\\ge a$는 $4\\le x\\le7$이기 위한 필요조건이고, $b\\le x\\le3$은 $0\\le x\\le6$이기 위한 충분조건일 때, $a$의 최댓값과 $b$의 최솟값의 합을 구하시오. (단, $a$, $b$는 실수, $b\\le3$)", "answer": "$x\\ge a$는 $4\\le x\\le7$이기 위한 필요조건이므로 명제 '$4\\le x\\le7$이면 $x\\ge a$이다.'가 참이다. $∴$ $a\\le4$ $b\\le x\\le3$은 $0\\le x\\le6$이기 위한 충분조건이므로 명제 '$b\\le x\\le3$이면 $0\\le x\\le6$이다.'가 참이다. $∴$ $0\\le b\\le3$ 따라서 $a$의 최댓값은 $4$, $b$의 최솟값은 $0$이므로 $4+0$$=4$" }, { "question": "실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $f(x)= \\begin{cases} x-1\\quad~~(x\\ge2)\\\\ 2x+a\\quad(x\\lt2) \\end{cases} $ 가 일대일대응이 되도록 하는 상수 $a$의 값을 구하시오.", "answer": "함수 $f$가 일대일대응이 되려면 $y$$=f(x)$의 그래프가 그림과 같아야 한다. 직선 $y=2x+a$가 점 $(2, 1)$을 지나야 하므로 $1=2\\times2+a$ $a+4=1$ $∴$ $a=-3$" }, { "question": "함수 $f(x)=-2x-1$에 대하여 $f^{-1}(a)=3$을 만족시키는 상수 $a$의 값을 구하시오.", "answer": "$f^{-1}(a)=3$에서 $f(3)=a$이므로 $(-2)\\times3-1=a$ $∴ a=-7$" }, { "question": "원 $x^2+y^2-6x-4y+9=0$을 $x$축의 방향으로 $m$만큼, $y$축의 방향으로 $n$만큼 평행이동한 원이 $x$축과 $y$축에 동시에 접한다. 이때 $m+n$의 값을 구하시오. (단, 평행이동한 원의 중심은 제$3$사분면 위에 있다.)", "answer": "$x^2+y^2-6x-4y+9=0$에서 $(x-3)^2+(y-2)^2=4$ 평행이동한 원의 방정식은 $(x-m-3)^2+(y-n-2)^2=4$ 이 원의 중심의 좌표는 $(m+3, n+2)$이다. 원의 중심이 제$3$사분면에 위에 있고 이 원이 $x$축, $y$축에 동시에 접하므로 $m+3=-2$, $n+2=-2$ $∴$ $m=-5$, $n=-4$ $∴ $$m+n$$=(-5)+(-4)$$=-9$" }, { "question": "세 함수 $f$, $g$, $h$에 대하여 $f(x)=-x-3$, $g(x)=2x+4$이고 $g^{-1}\\circ f^{-1}\\circ h=f$가 성립할 때, $h(-4)$의 값을 구하시오.", "answer": "$((f \\circ g)^{-1} \\circ h)(x)=f(x)$에서 $((f \\circ g) \\circ (f \\circ g)^{-1} \\circ h)(x)$$=(f \\circ g \\circ f)(x)$ $∴ h(x)=(f \\circ g \\circ f)(x)$ $∴ h(-4)$$=f(g(f(-4)))$$=f(g(1))$$=f(6)$$=-9$" }, { "question": "다음 그림과 같이 대각선의 길이가 $4\\sqrt{3}$인 직육면체의 모든 모서리의 길이의 합의 최댓값을 구하시오.", "answer": "직육면체의 가로의 길이, 세로의 길이, 높이를 각각 $a$, $b$, $c$라 하면 직육면체의 대각선의 길이는 $\\sqrt{a^2+b^2+c^2}=4\\sqrt{3}$ $∴ a^2+b^2+c^2=48$ $a$, $b$, $c$가 실수이므로 코시-슈바르츠 부등식에 의하여 $(1^2+1^2+1^2)(a^2+b^2+c^2)\\ge(a+b+c)^2$ $a^2+b^2+c^2=48$이므로 $144\\ge(a+b+c)^2$ $∴ -12\\le a+b+c\\le12$ (단, 등호는 $a=b=c$일 때 성립) $a>0$, $b>0$, $c>0$이므로 $01) \\end{cases} $ 의 역함수가 존재할 때, $(f^{-1} \\circ f^{-1})(-3)$의 값을 구하시오. (단, $a$는 상수)", "answer": "함수 $f$의 역함수가 존재하면 $f$는 일대일대응이다. $2\\times1-3$$=1+a$ $∴$ $a=-2$ $x\\le1$일 때, $f(x)$$=2x-3\\le-1$ $x>1$일 때, $f(x)$$=x-2>-1$ $f^{-1}(-3)=k$라 하면 $f(k)=-3$이므로 $2k-3=-3$ $∴$ $k=0$ $f^{-1}(0)=m$이라 하면 $f(m)=0$이므로 $m-2=0$ $∴$ $m=2$ $∴$ $(f^{-1} \\circ f^{-1})(-3)$$=f^{-1}(f^{-1}(-3))$$=f^{-1}(0)$$=2$" }, { "question": "$3x-2=2x+3$은 $x^2-ax+b=0$이기 위한 필요충분조건일 때, 실수 $a$, $b$에 대하여 $a+b$의 값을 구하시오.", "answer": "$3x-2=2x+3$에서 $x=5$ 이때 $3x-2=2x+3$은 $x^2-ax+b=0$이기 위한 필요충분조건이므로 이차방정식 $x^2-ax+b=0$의 해는 $5$뿐이다. 중근 $x=5$를 갖고 $x^2$의 계수가 $1$인 이차방정식은 $(x-5)^2$$=0$이므로 $x^2-ax+b$$=(x-5)^2$ $x^2-ax+b$$=x^2-10x+25$ $∴ a=10$, $b=25$ $∴ a+b$$=10+25$$=35$" }, { "question": "일차함수 $f(x)=-2x+p$의 역함수가 $f^{-1}(x)=qx-6$일 때, 상수 $p$, $q$에 대하여 $q-p$의 값을 구하시오.", "answer": "$y=-2x+p$라 하고 $x$를 $y$에 대한 식으로 나타내면 $x=-\\frac{1}{2}y+\\frac{p}{2}$ $x$와 $y$를 서로 바꾸면 $y=-\\frac{1}{2}x+\\frac{p}{2}$ $∴$ $f^{-1}(x)=-\\frac{1}{2}x+\\frac{p}{2}$ $-\\frac{1}{2}x+\\frac{p}{2}=qx-6$이므로 $-\\frac{1}{2}=q$, $\\frac{p}{2}=-6$ $∴$ $p=-12$, $q=-\\frac{1}{2}$ $∴$ $q-p$$=(-\\frac{1}{2})-(-12)$$=\\frac{23}{2}$" }, { "question": "$-1\\le a\\le1$이고 $x=(a-1)^2$일 때, $\\sqrt{x}+\\sqrt{x+4a}$를 간단히 하시오.", "answer": "$-1\\le a\\le1$에서 $a-1\\le0$이므로 $\\sqrt{x}$$=\\sqrt{(a-1)^2}$$=|a-1| = -(a-1) = -a+1$ $x+4a$$=(a-1)^2+4a$$=(a+1)^2$에서 $a+1\\ge0$이므로 $\\sqrt{x+4a}$$=\\sqrt{(a+1)^2}$$=|a+1|=a+1$ $∴$ $\\sqrt{x}+\\sqrt{x+4a}$$=(-a+1)+(a+1)$$=2$" }, { "question": "전체집합 $U=\\lbrace x | x는 자연수\\rbrace$의 부분집합 $B_k=\\lbrace x | x는 k의 약수\\rbrace$에 대하여 집합 $B_{12}\\cap B_{24}\\cap B_{42}$의 모든 원소의 합을 구하시오. (단, $k$는 자연수)", "answer": "$B_{12}\\cap B_{24}\\cap B_{42}=(B_{12} \\cap B_{24})\\cap B_{42}$ $=B_{12}\\cap B_{42} = B_6 $ $=$$\\lbrace1, 2, 3, 6\\rbrace$ 따라서 집합 $B_{12}\\cap B_{24}\\cap B_{42}$의 모든 원소의 합은 $1+2+3+6$$=12$" }, { "question": "$\\frac{1}{x+1}+\\frac{2x}{x-1}+\\frac{3x-2}{x^2-1}$를 계산하시오.", "answer": "$\\frac{1}{x+1}+\\frac{2x}{x-1}+\\frac{3x-2}{x^2-1}=\\frac{1}{x+1}+\\frac{2x}{x-1}+\\frac{3x-2}{(x+1)(x-1)}=\\frac{(x-1)+2x(x+1)+(3x-2)}{(x+1)(x-1)}=\\frac{2x^2+6x-3}{(x+1)(x-1)}$" }, { "question": "함수 $f(x)=2x+2$에 대하여 $f^{-1}(a)=3$을 만족시키는 상수 $a$의 값을 구하시오.", "answer": "$f^{-1}(a)=3$에서 $f(3)=a$이므로 $2\\times3+2=a$ $∴$ $a=8$" }, { "question": "음이 아닌 정수 전체의 집합에서 정의된 함수 $f$가 $f(x)\\begin{cases} x+1~~~~~~~(0\\le x\\le4) \\\\f(x-4)~~(x>4) \\end{cases}$ 일 때, $f(2)+f(20)$의 값을 구하시오.", "answer": "$f(2)$$=2+1$$=3$ $f(20)$$=f(20-4)$$=f(16-4)$$=f(12-4)$$=f(8-4)$$=f(4)$$=4+1$$=5$ $∴$ $f(2)+f(20)$$=3+5$$=8$" }, { "question": "$0$이 아닌 두 실수 $a$, $b$에 대하여 $a^2-2ab-b^2=0$이 성립할 때, $\\frac{a^3}{b^3}-\\frac{b^3}{a^3}$의 값을 구하시오.", "answer": "$ab ≠ 0$이므로 $a^2-2ab-b^2=0$의 양변을 $ab$로 나누면 $\\frac{a}{b}-2-\\frac{b}{a}=0$ ∴ $\\frac{a}{b}-\\frac{b}{a}=2$ ∴ $\\frac{a^3}{b^3}-\\frac{b^3}{a^3}$$=(\\frac{a}{b}-\\frac{b}{a})^3+3(\\frac{a}{b}-\\frac{b}{a})$$=2^3+3\\times2$$=14$" }, { "question": "실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $f$가 $ \\\\$$f(x)= \\begin{cases} -2x+\\frac{5}{2} (x\\geq 1) \\\\ 3x+1 (x<1) \\end{cases}$ 일 때, $f(-\\frac{3}{2})$의 값을 구하시오.", "answer": "$-\\frac{3}{2}<1$이므로 $f(-\\frac{3}{2})$$=3\\times(-\\frac{3}{2})+1$$=-\\frac{7}{2}$" }, { "question": "두 함수 $f(x)=ax-2$, $g(x)=-\\frac{1}{2}x+b$에 대하여 $(f\\circ g)(x)=x+c$이고 $g^{-1}(1)=4$일 때, $a+b+c$의 값을 구하시오. (단, $a$, $b$, $c$는 상수)", "answer": "$g^{-1}(1)=4$이므로 $g(4)=1$ $(-\\frac{1}{2})\\times4+b=1$에서 $b=3$ $∴ g(x)=-\\frac{1}{2}x+3$ $(f \\circ g)(x)$$=f(g(x))$$=a(-\\frac{1}{2}x+3)-2$$=-\\frac{a}{2}x+3a-2$ $(f \\circ g)(x)$$=f(g(x))$$=x+c$이므로 $-\\frac{a}{2}x+3a-2=x+c$ $-\\frac{a}{2}=1$, $3a-2=c$ $∴ a=-2$, $c=-8$ $∴ a+b+c$$=-2+3+(-8)$$=-7$" }, { "question": "세 함수 $f$, $g$, $h$에 대하여 $f(x)=3x$, $g(x)=-2x+3$이고 $g^{-1}\\circ f^{-1}\\circ h=f$가 성립할 때, $h(0)$의 값을 구하시오.", "answer": "$((f \\circ g)^{-1} \\circ h)(x)=f(x)$에서 $((f \\circ g) \\circ (f \\circ g)^{-1} \\circ h)(x)$$=(f \\circ g \\circ f)(x)$ $∴ h(x)=(f \\circ g \\circ f)(x)$ $∴ h(0)$$=f(g(f(0)))$$=f(g(0))$$=f(3)$$=9$" }, { "question": "함수 $f(\\frac{3-x}{2})=-4x+9$에 대하여 $f^{-1}(5)$의 값을 구하시오.", "answer": "$\\frac{3-x}{2}=t$로 놓으면 $3-x=2t$ $∴ x=-2t+3$ $f(t)$$=-4(-2t+3)+9$$=8t-3$ $∴ f(x)=8x-3$ $f^{-1}(5)=k$라 하면 $f(k)=5$이므로 $8k-3=5$ $∴ k=1$ $∴ f^{-1}(5)=1$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $4$ 개의 지점을 연결하는 도로가 있다. 집에서 출발하여 도서관으로 가는 방법의 수를 구하시오. (단, 한 번 지나간 지점은 다시 지나지 않는다.)", "answer": "(ⅰ) 집 $\\rightarrow A \\rightarrow$ 도서관으로 가는 방법의 수는 $1\\times4$$=4$ (ⅱ) 집 $\\rightarrow B \\rightarrow$ 도서관으로 가는 방법의 수는 $2\\times2$$=4$ (ⅲ) 집 $\\rightarrow A \\rightarrow B \\rightarrow$ 도서관으로 가는 방법의 수는 $1\\times2\\times2$$=4$ (ⅳ)집 $\\rightarrow B \\rightarrow A \\rightarrow$ 도서관으로 가는 방법의 수는 $2\\times2\\times4$$=16$ (ⅰ)~(ⅳ)에서 구하는 방법의 수는 $4+4+4+16$$=28$" }, { "question": "세 실수 $x$, $y$, $z$에 대하여 $2x+y-z=0$, $x-y+7z=0$일 때, $\\frac{x-y}{y+2z}$의 값을 구하시오. (단, $xyz\\neq0$)$", "answer": "$2x+y-z=0$ ⋯⋯ ㉠ $x-y+7z=0$ ⋯⋯ ㉡ $㉠+㉡$을 하면 $3x+6z=0$ $∴$ $x=-2z$ ㉡에 $x=-2z$를 대입하면 $-2z-y+7z=0$ $∴$ $y=5z$ $∴$ $\\frac{x-y}{y+2z}$$=\\frac{-2z-5z}{5z+2z}$$=\\frac{-7z}{7z}$$=-1$" }, { "question": "봉사활동에 참여한 학생 중에서 교육 봉사를 하는 학생이 $32$ 명, 벽화 그리기 봉사를 하는 학생이 $45$ 명이고, 교육 봉사 또는 벽화 그리기 봉사를 하는 학생이 $61$ 명이다. 두 가지 봉사를 모두 하는 학생 수를 구하시오.", "answer": "교육 봉사를 하는 학생의 집합을 $A$, 벽화 그리기 봉사를 하는 학생의 집합을 $B$라 하면 $A$, $B$에 대하여 $n(A)=32$, $n(B)=45$, $n(A\\cup B)=61$이므로 $n(A\\cap B)$$=n(A)+n(B)-n(A\\cup B)$$=32+45-61$$=16$" }, { "question": "$x=\\sqrt{3}-1$, $y=\\sqrt{3}+1$일 때, $\\frac{\\sqrt{x}}{\\sqrt{y}}+\\frac{\\sqrt{y}}{\\sqrt{x}}$의 값을 구하시오.", "answer": "$x+y=2\\sqrt{3}$, $xy=2$이므로 $\\frac{\\sqrt{x}}{\\sqrt{y}}+\\frac{\\sqrt{y}}{\\sqrt{x}}$$=\\frac{x+y}{\\sqrt{xy}}$$=\\frac{2\\sqrt{3}}{\\sqrt{2}}$$=\\sqrt{6}$" }, { "question": "무리식 $\\sqrt{2x+1}+\\sqrt{4-x}$의 값이 실수가 되도록 하는 실수 $x$의 최솟값을 구하시오.", "answer": "$2x+1\\ge0$, $4-x\\ge0$이어야 하므로 $2x+1\\ge0$에서 $x\\ge-\\frac{1}{2}$ $4-x\\ge0$에서 $x\\le4$ $∴$ $-\\frac{1}{2}\\le x\\le4$ 따라서 실수 $x$의 최솟값은 $-\\frac{1}{2}$이다." }, { "question": "자연수 $n$에 대하여 $a_n$을 $a_1=\\frac{4}{5},a_2=\\frac{1}{1-\\frac{4}{5}},a_3=\\frac{1}{1-\\frac{1}{1-\\frac{4}{5}}}, \\cdots$ 이라 할 때, $a_{2000}a_{2001}$의 값을 구하시오.", "answer": "$a_1$$=\\frac{4}{5}$, $a_2$$=\\frac{1}{1-\\frac{4}{5}}$$=5$, $a_3$$=\\frac{1}{1-5}$$=-\\frac{1}{4}$, $a_4$$=\\frac{1}{1-(-\\frac{1}{4})}$$=\\frac{4}{5}$, $a_5$$=5$, $\\cdots\\cdots$ $a_n$은 $\\frac{4}{5}$, $5$, $-\\frac{1}{4}$이 이 순서대로 반복된다. $2000=3\\times666+2$, $2001=3\\times667$이므로 $a_{2000}=5$, $a_{2001}=-\\frac{1}{4}$ $\\therefore$ $a_{2000}a_{2001}$$=5\\times(-\\frac{1}{4})$$=-\\frac{5}{4}$" }, { "question": "집합 $X=\\lbrace0,1,2,3,\\cdots\\rbrace$에 대하여 함수 $f :X$ $\\longrightarrow X$ 를 $f(x)=(x$ 를 $4$로 나누었을 때의 나머지) 로 정의할 때, 함수 $f$의 치역을 구하시오.", "answer": "$f(0)=0$, $f(1)=1$, $f(2)=2$, $f(3)=3$, $f(4)=0$, $f(5)=1$, $f(6)=2$, $f(7)=3$, $\\cdots$ 따라서 함수 $f$의 치역은 $\\lbrace0, 1, 2, 3\\rbrace$이다." }, { "question": "일차함수 $f(x)=ax-2$의 역함수가 $f^{-1}(x)=\\frac{1}{2}x+b$일 때, 상수 $a$, $b$에 대하여 $ab$의 값을 구하시오.", "answer": "$y=ax-2$라 하고 $x$를 $y$에 대한 식으로 나타내면 $x=\\frac{y}{a}+\\frac{2}{a}$ $x$와 $y$를 서로 바꾸면 $y=\\frac{x}{a}+\\frac{2}{a}$ ∴ $f^{-1}(x)=\\frac{x}{a}+\\frac{2}{a}$ $\\frac{x}{a}+\\frac{2}{a}=\\frac{1}{2}x+b$이므로 $\\frac{1}{a}=\\frac{1}{2}$, $\\frac{2}{a}=b$ ∴ $a=2$, $b=1$ ∴ $ab$$=2\\times1$$=2$" }, { "question": "$x^2-3x+1=0$일 때, $2x^2+3x+1+\\frac{3}{x}+\\frac{2}{x^2}$의 값을 구하시오.", "answer": "$x^2-3x+1=0$에서 $x\\ne0$이므로 양변을 $x$로 나누면 $x-3+\\frac{1}{x}=0$ $∴$ $x+\\frac{1}{x}=3$ $2x^2+3x+1+\\frac{3}{x}+\\frac{2}{x^2}=2(x^2+\\frac{1}{x^2})+3(x+\\frac{1}{x})+1$ $=2{\\lbrace(x+\\frac{1}{x^2})^2-2}\\ \\rbrace+3(x+\\frac{1}{x})+1$ $=2(3^2-2)+3\\times3+1$ $=$$24$" }, { "question": "분모가 $0$이 되지 않도록 하는 모든 실수 $x$에 대하여 $\\frac{1}{x(x+1)}+\\frac{2}{(x+1)(x+3)}+\\frac{3}{(x+3)(x+6)}=\\frac{a}{x(x+b)}$ 가 성립할 때, $a+b$의 값을 구하시오. (단, $a$, $b$는 상수)", "answer": "$\\frac{1}{x(x+1)}+\\frac{2}{(x+1)(x+3)}+\\frac{3}{(x+3)(x+6)}$ $=$$(\\frac{1}{x}-\\frac{1}{x+1})+(\\frac{1}{x+1}-\\frac{1}{x+3})+(\\frac{1}{x+3}-\\frac{1}{x+6})$$=$$\\frac{1}{x}-\\frac{1}{x+6}$ $=$$\\frac{(x+6)-x}{x(x+6)}$$=$$\\frac{6}{x(x+6)}$ $\\frac{6}{x(x+6)}=\\frac{a}{x(x+b)}$이고, 이 식이 $x$에 대한 항등식이므로 $a=6$, $b=6$ $\\therefore a+b$$=6+6$$=12$" }, { "question": "넓이가 각각 $A$, $B$, $C$, $D$인 정사각형을 다음 그림과 같이 빈틈없이 붙여 놓았을 때, $A : D$를 구하시오.", "answer": "넓이가 $A$, $B$, $C$, $D$인 정사각형의 한 변의 길이를 각각 $a$, $b$, $c$, $d$라 하면 $c=3d$ $b=c+d=3d+d=4d$ $a=b+c=4d+3d=7d$ $a : d=7 : 1$이므로 $A : D=49 : 1$" }, { "question": "두 함수 $y=\\frac{6x-10}{3x-6}$, $y=\\frac{-bx-1}{x-a}$의 그래프의 점근선이 같을 때, 상수 $a$, $b$에 대하여 $ab$의 값을 구하시오.", "answer": "$y$$=\\frac{6x-10}{3x-6}$$=\\frac{6(x-2)+2}{3(x-2)}$$=\\frac{2}{3(x-2)}+2$이므로 점근선의 방정식은 $x=2$, $y=2$ $y$$=\\frac{-bx-1}{x-a}$$=\\frac{-b(x-a)-ab-1}{x-a}$$=\\frac{-ab-1}{x-a}-b$이므로 점근선의 방정식은 $x=a$, $y=-b$ $a=2$$,$ $-b=2$이므로 $a=2$, $b=-2$ ∴ $ab$$=2\\times(-2)$$=-4$" }, { "question": "양수 $a$, $b$에 대하여 $3a+2b=12$일 때, $\\frac{2}{a}+\\frac{3}{b}$의 최솟값을 구하시오.", "answer": "$\\frac{2}{a}+\\frac{3}{b}$$=\\frac{3a+2b}{ab}$$=\\frac{12}{ab}$ $a>0$, $b>0$이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여 $3a+2b\\ge2\\sqrt{3a\\times2b}=2\\sqrt{6ab}$ $3a+2b=12$이므로 $12\\ge2\\sqrt{6ab}$ $6\\ge\\sqrt{6ab}$의 양변을 제곱하면 $36\\ge6ab$ $∴$ $ab\\le6$ (단, 등호는 $3a=2b$일 때 성립) $\\frac{1}{ab}\\ge\\frac{1}{6}$이므로 $\\frac{2}{a}+\\frac{3}{b}=\\frac{12}{ab}\\ge2$ 따라서 $\\frac{2}{a}+\\frac{3}{b}$의 최솟값은 $2$이다." }, { "question": "$\\frac{x-\\frac{1}{x}}{\\frac{x+1}{x}}$을 간단히 하시오.", "answer": "$\\frac{x-\\frac{1}{x}}{\\frac{x+1}{x}}$$=\\frac{\\frac{x^2-1}{x}}{\\frac{x+1}{x}}$$=\\frac{x(x+1)(x-1)}{x(x+1)}$$=x-1$" }, { "question": "두 함수 $y=\\frac{4x+9}{2x+4}$, $y=\\frac{bx-1}{x+a}$의 그래프의 점근선이 같을 때, 상수 $a$, $b$에 대하여 $ab$의 값을 구하시오.", "answer": "$y$$=\\frac{4x+9}{2x+4}$$=\\frac{4(x+2)+1}{2(x+2)}$$=\\frac{1}{2(x+2)}+2$이므로 점근선의 방정식은 $x=-2$, $y=2$ $y$$=\\frac{bx-1}{x+a}$$=\\frac{b(x+a)-ab-1}{x+a}$$=\\frac{-ab-1}{x+a}+b$이므로 점근선의 방정식은 $x=-a$, $y=b$ $-a=-2$$,$ $b=2$이므로 $a=2$, $b=2$ $∴ ab$$=2\\times2$$=4$" }, { "question": "자연수 전체의 집합에서 정의된 함수 $f$는 상수함수이고 $f(1)=4$일 때, $f(1)+f(4)+f(7)+\\cdots+f(40)$의 값을 구하시오.", "answer": "함수 $f$는 상수함수이고 $f(1)=4$이므로 $f(x)=4$ $f(1)$$=f(4)$$=f(7)$$={···}$$=f(40)$$=4$ $∴ f(1)+f(4)+f(7)+···+f(40)$$=4\\times14$$=56$" }, { "question": "두 함수 $f(x)=x-3$, $g(x)=-2x+5$에 대하여 다음을 만족시키는 $h(x)$를 구하시오. (1) $(f \\circ h)(x)=g(x)$ $\\rightarrow$ $h(x)=$$\\square$ (2) $(h \\circ f)(x)=g(x)$ $\\rightarrow$ $h(x)=$$\\square$", "answer": "(1) $(f \\circ h)(x)$$=f(h(x))$$=h(x)-3$ $(f \\circ h)(x)=g(x)$이므로 $h(x)-3=-2x+5$ $∴ h(x)=-2x+8$ (2) $h(f(x))=g(x)$이므로 $h(x-3)=-2x+5$ $x-3=t$로 놓으면 $x=t+3$ $h(t)$$=-2(t+3)+5$$=-2t-1$ $∴ h(x)=-2x-1$" }, { "question": "$1+\\frac{1}{1+\\frac{1}{1+\\frac{1}{1+x}}}$을 계산하시오.", "answer": "$1+\\frac{1}{1+\\frac{1}{1+\\frac{1}{1+x}}}$ $=$$1+\\frac{1}{1+\\frac{1}{\\frac{x+2}{x+1}}}$ $=$$1+\\frac{1}{1+\\frac{x+1}{x+2}}$ $=$$1+\\frac{1}{\\frac{2x+3}{x+2}}$ $=$$1+\\frac{x+2}{2x+3}$ $=$$\\frac{3x+5}{2x+3}$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $4$ 개의 도시를 연결하는 도로가 있다. A 도시에서 출발하여 C 도시로 가는 방법의 수를 구하시오. (단, 한 번 지나간 도시는 다시 지나지 않는다.)", "answer": "(ⅰ)$ A → B → C$로 가는 방법의 수는 $4\\times3$$=12$ (ⅱ)$ A → D → C$로 가는 방법의 수는 $2\\times4$$=8$ (ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 방법의 수는 $12+8$$=20$" }, { "question": "$4명$의 학생이 $2명$씩 짝을 이루어 $A, B$ $2$종류의 컴퓨터 게임을 하는 경우의 수를 구하시오.", "answer": "$4$ 명의 학생을 $2$ 명씩 $2$ 개의 조로 나누는 경우의 수는 $_4\\mathrm{C}_2\\times_2\\mathrm{C}_2\\times\\frac{1}{2!}$$=6\\times1\\times\\frac{1}{2}$$=3$ $2$ 개의 조가 $2$ 종류의 게임을 한 종류씩 하는 경우의 수는 $2!$$=2$ 따라서 구하는 경우의 수는 $3\\times2$$=6$" }, { "question": "무리식 $\\sqrt{3-x}+\\sqrt{x+3}$의 값이 실수가 되도록 하는 실수 $x$에 대하여 $\\vert 2x-9\\vert -\\sqrt{x^2+10x+25}$를 간단히 하시오.", "answer": "$3-x\\ge0$, $x+3\\ge0$이어야 하므로 $x\\le3$, $x\\ge-3$ $∴ -3\\le x\\le3$ $2x-9<0$, $x+5>0$이므로 $\\vert 2x-9 \\vert-\\sqrt{x^2+10x+25}=\\vert 2x-9 \\vert-\\sqrt{(x+5)^2} =\\vert 2x-9 \\vert-\\vert x+5 \\vert =(-2x+9)-(x-5) =-3x+4$" }, { "question": "다음 그림과 같이 반지름의 길이가 $1$인 원에 내접하는 직사각형의 둘레의 길이의 최댓값을 구하시오.", "answer": "직사각형의 가로, 세로의 길이를 각각 $x$, $y$라 하면 원의 지름이 직사각형의 대각선이므로 $x^2+y^2=2^2$ $x$, $y$가 실수이므로 코시-슈바르츠 부등식에 의하여 $(1^2+1^2)(x^2+y^2)\\ge(x+y)^2$ $x^2+y^2=4$이므로 $8\\ge(x+y)^2$ $∴ -2\\sqrt{2}\\le x+y\\le2\\sqrt{2}$ (단, 등호는 $x=y$일 때 성립) $x>0$, $y>0$이므로 $00$, $b<0$ $a-2b>0$이므로 $\\sqrt{a^2-4ab+4b^2}+2\\left\\vert a \\right\\vert+\\sqrt{b^2} =\\sqrt(a-2b)^2 +2\\left\\vert a \\right\\vert +\\sqrt{b^2} =\\left\\vert a–2b \\right\\vert+2\\left\\vert a \\right\\vert+\\left\\vert b \\right\\vert =(a-2b)+2a+(-b)$ $=$$3a-3b$" }, { "question": "$0$이 아닌 세 실수 $x$, $y$, $z$에 대하여 $\\frac{x}{3}=\\frac{y}{5}=\\frac{z}{4}$일 때, $\\frac{(x-y+4z)^2}{x^2+y^2+z^2}$의 값을 구하시오.", "answer": "$\\frac{x}{3}$$=\\frac{y}{5}$$=\\frac{z}{4}$$=k$ $(k$≠$0)$로 놓으면 $x=3k$, $y=5k$, $z=4k$ $∴$ $\\frac{(x-y+4z)^2}{x^2+y^2+z^2}$$=\\frac{(3k-5k+16k)^2}{9k^2+25k^2+16k^2}$$=\\frac{196k^2}{50k^2}$$=\\frac{98}{25}$" }, { "question": "다음 그림과 같이 원 위에 $5$ 개의 점이 있을 때, 주어진 점을 이어서 만들 수 있는 서로 다른 직선의 개수를 구하시오.", "answer": "$5$ 개의 점 중에서 어느 세 점도 한 직선 위에 있지 않으므로 구하는 직선의 개수는 $_5\\mathrm{C}_2$$=10$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $4$ 개의 도시를 연결하는 도로가 있다. A 도시에서 출발하여 C 도시로 가는 방법의 수를 구하시오. (단, 한 번 지나간 도시는 다시 지나지 않는다.)", "answer": "(ⅰ) $A → B → C$로 가는 방법의 수는 $3\\times3=9$ (ⅱ) $ A → D → C$로 가는 방법의 수는 $2\\times5=10$ (ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 방법의 수는 $9+10=19$" }, { "question": "$x=\\frac{1}{\\sqrt{5}+2}$일 때, $x^3+3x^2-x+2$의 값을 구하시오.", "answer": "$x$$=\\frac{1}{\\sqrt{5}+2}$$=\\frac{\\sqrt{5}-2}{(\\sqrt{5}+2)(\\sqrt{5}-2)}$$=-2+\\sqrt{5}$에서 $x+2=\\sqrt{5}$ 양변을 제곱하면 $x^2+4x+4=5$ ∴ $x^2+4x-1=0$ $x^3+3x^2-x+2=(x-1)(x^2+4x-1)+4x+1$ $=4(-2+\\sqrt{5})+1$ $=$$-7+4\\sqrt{5}$" }, { "question": "두 함수 $f(x)=x+1$, $g(x)=x^2+4x+a$가 모든 실수 $x$에 대하여 $(g \\circ f)(x)\\ge0$을 만족시킬 때, 실수 $a$의 최솟값을 구하시오.", "answer": "$(g \\circ f)(x)$$=g(f(x))$$=g(x+1)$$=(x+1)^2+4(x+1)+a$$=x^2+6x+a+5$ $(g \\circ f)(x)\\ge0$이 되려면 이차방정식 $x^2+6x+a+5=0$의 판별식을 $D$라 할 때, $\\frac{D}{4}=3^2-(a+5)=-a+4$$\\le0$ $∴$ $a\\ge4$ 따라서 구하는 $a$의 최솟값은 $4$이다." }, { "question": "원 $(x-1)^2+(y+2)^2=1$이 점 $(2,\\text{ }1)$을 중심으로 하는 원으로 옮겨지는 평행이동에 의하여 함수 $y=\\frac{2}{x}$의 그래프가 함수 $y=\\frac{bx+c}{x+a}$의 그래프와 겹쳐질 때, 상수 $a$, $b$, $c$에 대하여 $a+b+c$의 값을 구하시오.", "answer": "$(x-1)^2+(y+2)^2=1$의 중심인 점 $(1, -2)$가 점 $(2, 1)$로 옮겨지므로 주어진 평행이동은 $x$축의 방향으로 $1$만큼, $y$축의 방향으로 $3$만큼 평행이동하는 것이다. 함수 $y=\\frac{2}{x}$의 그래프를 $x$축의 방향으로 $1$만큼, $y$축의 방향으로 $3$만큼 평행이동한 그래프의 식은 $y$$=\\frac{2}{x-1}+3$$=\\frac{2+3(x-1)}{x-1}$$=\\frac{3x-1}{x-1}$ 이 함수의 그래프가 함수 $y=\\frac{bx+c}{x+a}$의 그래프와 일치하므로 $a=-1$, $b=3$, $c=-1$ $∴$ $a+b+c$$=-1+3+(-1)$$=1$" }, { "question": "무리식 $\\sqrt{2-x}+\\sqrt{x+4}$의 값이 실수가 되도록 하는 실수 $x$에 대하여 $\\vert2x+10\\vert-\\sqrt{x^2-6x+9}$를 간단히 하시오.", "answer": "$2-x\\ge0$, $x+4\\ge0$이어야 하므로 $x\\le2$, $x\\ge-4$ $∴$ $-4\\le x\\le2$ $2x+10>0$, $x-3<0$이므로 $\\vert 2x+10 \\vert - \\sqrt{x^2 - 6x+9 }$ $=$ $\\vert 2x+10 \\vert - \\sqrt{(x-3)^2 }$ $=$ $\\vert 2x+10 \\vert - \\vert x-3 \\vert $ $=$$(2x+10)-(-x+3)$ $=$$3x+7$" }, { "question": "$x=\\frac{\\sqrt{3}}{2}$일 때, $\\frac{\\sqrt{1+x}}{\\sqrt{1-x}}+\\frac{\\sqrt{1-x}}{\\sqrt{1+x}}$의 값을 구하시오.", "answer": "$\\frac{\\sqrt{1+x}}{\\sqrt{1-x}}+\\frac{\\sqrt{1-x}}{\\sqrt{1+x}}$$=\\frac{(\\sqrt{1+x})^2+(\\sqrt{1-x})^2}{\\sqrt{1-x}\\sqrt{1+x}}$$=\\frac{1+x+1-x}{\\sqrt{1-x^2}}$$=\\frac{2}{\\sqrt{1-x^2}}$ $x=\\frac{\\sqrt{3}}{2}$을 대입하면 $\\frac{2}{\\sqrt{1-x^2}}$$=\\frac{2}{\\sqrt{1-(\\frac{\\sqrt{3}}{2})^2}}$$=\\frac{2}{\\frac{1}{2}}$$=4$" }, { "question": "$0$이 아닌 세 실수 $x$, $y$, $z$에 대하여 $x : y : z=2 : 3: 4$일 때, $\\frac{2x-3y+4z}{x+y-z}$의 값을 구하시오.", "answer": "$x : y : z=2 : 3 : 4$이므로 $\\frac{x}{2}$$=\\frac{y}{3}$$=\\frac{z}{4}$$=k$ $(k\\ne0)$로 놓으면 $x=2k$, $y=3k$, $z=4k$ $∴\\frac{2x-3y+4z}{x+y-z}$$=\\frac{4k-9k+16k}{2k+3k-4k}$$=\\frac{11k}{k}$$=11$" }, { "question": "함수 $f(x)=x^2-x-3$에 대하여 $(f\\circ f \\circ f)(x)$를 $x-1$로 나누었을 때의 나머지를 구하시오.", "answer": "$(f \\circ f \\circ f)(x)$를 $x-1$로 나누었을 때의 나머지는 $(f \\circ f \\circ f)(1)$$=f(f(f(1)))$$=f(f(-3))$$=f(9)$$=9^2-9-3$$=69$" }, { "question": "다음 그림의 $5$ 개의 영역을 서로 다른 $5$ 가지 색으로 칠하려고 한다. A, B, C, D, E의 영역에 같은 색을 중복하여 사용해도 좋으나 인접한 영역은 서로 다른 색으로 칠할 때, 칠하는 경우의 수를 구하시오. (단, 각 영역에는 한 가지 색만 칠한다.)", "answer": "(ⅰ) 모두 다른 색을 칠하는 경우의 수는 $5\\times4\\times3\\times2\\times1$$=120$ (ⅱ) B와 D에만 같은 색을 칠하는 경우의 수는 $5\\times4\\times3\\times1\\times2$$=120$ (ⅲ) C와 E에만 같은 색을 칠하는 경우의 수는 $5\\times4\\times3\\times2\\times1$$=120$ (ⅳ) B와 D, C와 E에 각각 같은 색을 칠하는 경우의 수는 $5\\times4\\times3\\times1\\times1$$=60$ (ⅰ)~(ⅳ)에서 구하는 경우의 수는 $120+120+120+60$$=420$" }, { "question": "다음 그림의 $5$ 개의 영역을 서로 다른 $5$ 가지 색으로 칠하려고 한다. A, B, C, D, E의 영역에 같은 색을 중복하여 사용해도 좋으나 인접한 영역은 서로 다른 색으로 칠할 때, 칠하는 경우의 수를 구하시오. (단, 각 영역에는 한 가지 색만 칠한다.)", "answer": "(ⅰ) 모두 다른 색을 칠하는 경우의 수는 $5\\times4\\times3\\times2\\times1$$=120$ (ⅱ) A와 C에만 같은 색을 칠하는 경우의 수는 $5\\times4\\times3\\times1\\times2$$=120$ (ⅲ) B와 D에만 같은 색을 칠하는 경우의 수는 $5\\times4\\times3\\times2\\times1$$=120$ (ⅳ) A와 C, B와 D에 각각 같은 색을 칠하는 경우의 수는 $5\\times4\\times3\\times1\\times1$$=60$ (ⅰ)~(ⅳ)에서 구하는 경우의 수는 $120+120+120+60$$=420$" }, { "question": "$x=\\sqrt{2}-1$, $y=\\sqrt{2}+1$일 때, $\\frac{\\sqrt{y}}{\\sqrt{x}}+\\frac{\\sqrt{x}}{\\sqrt{y}}$의 값을 구하시오.", "answer": "$x+y=2\\sqrt{2}$, $xy=1$이므로 $\\frac{\\sqrt{y}}{\\sqrt{x}}+\\frac{\\sqrt{x}}{\\sqrt{y}}$$=\\frac{x+y}{\\sqrt{xy}}$$=\\frac{2\\sqrt{2}}{\\sqrt{1}}$$=2\\sqrt{2}$" }, { "question": "다음 그림과 같은 도로망에서 $B$ 지점과 $D$ 지점을 연결하는 도로를 추가하여 $A$ 지점에서 출발하여 $C$ 지점으로 가는 방법의 수가 $48$이 되도록 하려고 한다. 추가해야 하는 도로의 개수를 구하시오. (단, 한 번 지나간 지점은 다시 지나지 않고, 도로끼리는 서로 만나지 않는다.)", "answer": "$B$ 지점과 $D$ 지점을 연결하는 도로를 $x$ 개 추가한다고 하면 (ⅰ)$ A → B → C$로 가는 방법의 수는 $1\\times4$$=4$ (ⅱ)$ A → D → C$로 가는 방법의 수는 $2\\times2$$=4$ (ⅲ)$ A → B → D → C$로 가는 방법의 수는 $1\\times x\\times2$$=2x$ (ⅳ)$ A → D → B → C$로 가는 방법의 수는 $2\\times x\\times4$$=8x$ (ⅰ)~(ⅳ)에서 구하는 방법의 수는 $4+4+2x+8x$$=10x+8$ $10x+8=48$ $∴ x=4$ 따라서 추가해야 하는 도로의 개수는 $4$이다." }, { "question": "유리함수 $y=f(x)$의 그래프가 다음 조건을 모두 만족시킬 때, $-2\\le x\\le1$에서 $y=f(x)$의 최댓값과 최솟값의 합을 구하시오. (가) 점근선의 방정식은 $x=-3$, $y=-2$이다. (나) 점 $(0,-3)$을 지난다.", "answer": "조건 (가)에서 점근선의 방정식이 $x=-3$, $y=-2$이므로 $f(x)=\\frac{k}{x+3}-2$$(k\\ne0)$라 하자. 조건 (나)에서 함수 $y=f(x)$의 그래프가 점 $(0, -3)$을 지나므로 $-3=\\frac{k}{3}-2$ $∴ k=-3$ $∴ f(x)=-\\frac{3}{x+3}-2$ $-2\\le x\\le1$에서 $y=f(x)$의 그래프는 위 그림과 같으므로 주어진 함수는 $x=1$일 때 최댓값 $-\\frac{11}{4}$, $x=-2$일 때 최솟값 $-5$를 갖는다. 따라서 최댓값과 최솟값의 합은 $(-\\frac{11}{4})+(-5)$$=-\\frac{31}{4}$" }, { "question": "$-2\\le x\\le a$에서 함수 $y=\\sqrt{5-2x}-1$의 최댓값이 $b$, 최솟값이 $0$일 때, $a+b$의 값을 구하시오. (단, $a\\le\\frac{5}{2}$)", "answer": "$y$$=\\sqrt{5-2x}-1$$=\\sqrt{-2(x-\\frac{5}{2})}-1$이므로 함수 $y=\\sqrt{5-2x}-1$의 그래프는 $y=\\sqrt{-2x}$의 그래프를 $x$축의 방향으로 $\\frac{5}{2}$만큼, $y$축의 방향으로 $-1$만큼 평행이동한 것이다. 주어진 함수는 $x=-2$일 때 최댓값 $b$, $x=a$일 때 최솟값 $0$을 갖는다. $x=-2$일 때 $b$$=\\sqrt{5-2\\times(-2)}-1$$=2$ $x=a$일 때 $\\sqrt{5-2a}-1=0$ $\\sqrt{5-2a}=1$, $5-2a=1$ $∴ a=2$ $∴ a+b$$=2+2$$=4$" }, { "question": "함수 $y=\\frac{3}{x}$의 그래프를 $x$축의 방향으로 $-1$만큼, $y$축의 방향으로 $3$만큼 평행이동한 그래프가 점 $(2, k)$를 지날 때, 상수 $k$의 값을 구하시오.", "answer": "함수 $y=\\frac{3}{x}$의 그래프를 $x$축의 방향으로 $-1$만큼, $y$축의 방향으로 $3$만큼 평행이동한 그래프의 식은 $y=\\frac{3}{x+1}+3$ 점 $(2, k)$를 지나므로 $k$$=\\frac{3}{2+1}+3$$=4$" }, { "question": "$x=\\sqrt{2}+1$, $y=\\sqrt{2}-1$일 때, $\\frac{\\sqrt{y}}{\\sqrt{x}}+\\frac{\\sqrt{x}}{\\sqrt{y}}$의 값을 구하시오.", "answer": "$x+y=2\\sqrt{2}$, $xy=1$이므로 $\\frac{\\sqrt{y}}{\\sqrt{x}}+\\frac{\\sqrt{x}}{\\sqrt{y}}$$=\\frac{x+y}{\\sqrt{xy}}$$=\\frac{2\\sqrt{2}}{\\sqrt{1}}$$=2\\sqrt{2}$" }, { "question": "부등식 $3x+y\\le7$을 만족시키는 자연수 $x$, $y$의 순서쌍 $(x,y)$의 개수를 구하시오.", "answer": "$x$, $y$가 자연수이므로 $3x+y\\le7$을 만족시키는 $3x+y$의 값은 $4$, $5$, $6$, $7$이다. $3x+y=4$일 때, 순서쌍 $(x, y)$는 $(1, 1)$의 $1$ 개 $3x+y=5$일 때, 순서쌍 $(x, y)$는 $(1, 2)$의 $1$ 개 $3x+y=6$일 때, 순서쌍 $(x, y)$는 $(1, 3)$의 $1$ 개 $3x+y=7$일 때, 순서쌍 $(x, y)$는 $(1, 4)$, $(2, 1)$의 $2$ 개 (ⅰ)~(ⅳ)에서 구하는 순서쌍의 개수는 $1+1+1+2$$=5$" }, { "question": "함수 $y=\\sqrt{-x+1}$의 그래프를 $x$축의 방향으로 $1$만큼, $y$축의 방향으로 $3$만큼 평행이동한 후 $y$축에 대하여 대칭이동하면 $y=\\sqrt{ax+b}+c$의 그래프와 일치한다. 이때 상수 $a$, $b$, $c$에 대하여 $a+b+c$의 값을 구하시오.", "answer": "함수 $y=\\sqrt{-x+1}$의 그래프를 $x$축의 방향으로 $1$만큼, $y$축의 방향으로 $3$만큼 평행이동한 그래프의 식은 $y$$=\\sqrt{-(x-1)+1}+3$$=\\sqrt{-x+2}+3$ 이 함수의 그래프를 다시 $y$축에 대하여 대칭이동한 그래프의 식은 $y=\\sqrt{x+2}+3$ 따라서 $a=1$, $b=2$, $c=3$이므로 $a+b+c$$=1+2+3$$=6$" }, { "question": "다음 그림과 같이 어느 도시를 $4$ 개의 영역으로 나누어 놓은 지도를 서로 다른 $4$ 가지 색으로 칠하려고 한다. A, B, C, D의 영역에 같은 색을 중복하여 사용해도 좋으나 인접한 영역은 서로 다른 색으로 칠할 때, 칠하는 경우의 수를 구하시오. (단, 각 영역에는 한 가지 색만 칠한다.)", "answer": "$(ⅰ)$ $A$와 $C$에 같은 색을 칠하는 경우의 수 $A$에 칠할 수 있는 색은 $4$ 가지, $B$에 칠할 수 있는 색은 $A$에 칠한 색을 제외한 $3$ 가지, $C$에 칠할 수 있는 색은 $A$에 칠한 색과 같은 색이므로 $1$ 가지, $D$에 칠할 수 있는 색은 $A$에 칠한 색을 제외한 $3$ 가지이다. 따라서 칠하는 경우의 수는 $4\\times3\\times1\\times3$$=36$ $(ⅱ)$ $A$와 $C$에 다른 색을 칠하는 경우의 수 $A$에 칠할 수 있는 색은 $4$ 가지, $B$에 칠할 수 있는 색은 $A$에 칠한 색을 제외한 $3$ 가지, $C$에 칠할 수 있는 색은 $A$와 $B$에 칠한 색을 제외한 $2$ 가지, $D$에 칠할 수 있는 색은 $A$와 $C$에 칠한 색을 제외한 $2$ 가지이다. 따라서 칠하는 경우의 수는 $4\\times3\\times2\\times2$$=48$ $(ⅰ)$, $(ⅱ)$에서 구하는 경우의 수는 $36+48$ $=84$" }, { "question": "다음 물음에 답하시오. $\\\\(1)$ $x=\\sqrt{3}$일 때, $\\frac{1}{1+\\sqrt{x}}+\\frac{1}{1-\\sqrt{x}}$의 값을 구하시오. $(2)$ $x=\\sqrt{5}+2$, $y=\\sqrt{5}-2$일 때, $\\frac{\\sqrt{x}-\\sqrt{y}}{\\sqrt{x}+\\sqrt{y}}+\\frac{\\sqrt{x}+\\sqrt{y}}{\\sqrt{x}-\\sqrt{y}}$의 값을 구하시오.", "answer": "(1) $\\frac{1}{1+\\sqrt{x}}+\\frac{1}{1-\\sqrt{x}} = \\frac{(1-\\sqrt{x})+(1+\\sqrt{x})}{(1+\\sqrt{x})(1-\\sqrt{x})}=\\frac{2}{1-x}$ $\\\\$ $x = \\sqrt{3}$을 대입하면 $\\frac{2}{1-x}=\\frac{2}{1-\\sqrt{3}} = \\frac{2(1+\\sqrt3)}{(1-\\sqrt3)(1+\\sqrt3)} = -1-\\sqrt3$ $\\\\$ (2) $x+y=2\\sqrt5$, $x-y=4$이므로 $\\frac{\\sqrt{x}-\\sqrt{y}}{\\sqrt{x}+\\sqrt{y}}+\\frac{\\sqrt{x}+\\sqrt{y}}{\\sqrt{x}-\\sqrt{y}}=\\frac{(\\sqrt{x}-\\sqrt{y})^2+\\sqrt{x}+\\sqrt{y})^2}{(\\sqrt{x}+\\sqrt{y})(\\sqrt{x}-\\sqrt{y})} = \\frac{2x+2y}{x-y}=\\frac{2(x+y)}{x-y}=\\frac{2\\times2\\sqrt{5}}{4} =\\sqrt5$" }, { "question": "$4$ 개의 문자 $A, B, C, D$를 일렬로 나열할 때, $B$와 $D$가 이웃하도록 나열하는 경우의 수를 구하시오.", "answer": "B와 D를 하나로 묶어서 생각하면 문자는 모두 $3$ 개이므로 $3$ 개의 문자를 일렬로 나열하는 경우의 수는 $3!$ 그 각각의 경우에 대하여 B와 D가 자리를 바꾸는 경우의 수는 $2!$ 따라서 구하는 경우의 수는 $3!\\times2!$$=6\\times2$$=12$" }, { "question": "정의역이 $\\lbrace x | x>-1\\rbrace$인 두 함수 $f(x)=\\frac{x-1}{x+1}$, $g(x)=\\sqrt{x+1}-3$ 에 대하여 $(f \\circ (g \\circ f)^{-1} \\circ f)(0)$의 값을 구하시오.", "answer": "$(f \\circ (g \\circ f)^{-1} \\circ f)(0)$$=(f \\circ f^{-1} \\circ g^{-1} \\circ f)(0)$$=(g^{-1} \\circ f)(0)$$=g^{-1}(f(0))$ $f(0)$$=\\frac{0-1}{0+1}$$=-1$이므로 $g^{-1}(f(0))$$=g^{-1}(-1)$ $g^{-1}(-1)=k$라 하면 $g(k)=-1$이므로 $\\sqrt{k+1}-3=-1$ $\\sqrt{k+1}=2$, $k+1=4$ $∴ k=3$ $∴ (f \\circ (g \\circ f)^{-1} \\circ f)(0)=3$" }, { "question": "함수 $y=\\sqrt{a(x-1)}-2$의 그래프를 $x$축의 방향으로 $b$만큼, $y$축의 방향으로 $c$만큼 평행이동하면 함수 $y=\\sqrt{12-3x}+1$의 그래프와 일치할 때, 상수 $a$, $b$, $c$에 대하여 $abc$의 값을 구하시오.", "answer": "$y=\\sqrt{a(x-1)}-2$의 그래프를 $x$축의 방향으로 $b$만큼, $y$축의 방향으로 $c$만큼 평행이동한 그래프의 식은 $y=\\sqrt{a(x-b-1)}-2+c$ 함수 $y$$=\\sqrt{12-3x}+1$$=\\sqrt{-3(x-4)}+1$의 그래프와 일치하므로 $a=-3$, $-b-1=-4$, $-2+c=1$ ∴ $a=-3$, $b=3$, $c=3$ ∴ $abc$$=(-3)\\times3\\times3$$=-27$" }, { "question": "$-3\\le x\\le-1$에서 함수 $y=\\frac{3x-7}{x-1}$의 최댓값을 $a$, 최솟값을 $b$라 할 때, $a+b$의 값을 구하시오.", "answer": "$y$$=\\frac{3x-7}{x-1}$$=\\frac{3(x-1)-4}{x-1}$$=-\\frac{4}{x-1}+3$이므로 함수 $y=\\frac{3x-7}{x-1}$의 그래프는 함수 $y=-\\frac{4}{x}$의 그래프를 $x$축의 방향으로 $1$만큼, $y$축의 방향으로 $3$만큼 평행이동한 것이다. $-3\\le x\\le-1$에서 $y=\\frac{3x-7}{x-1}$의 그래프는 위 그림과 같으므로 주어진 함수는 $x=-1$일 때 최댓값 $5$, $x=-3$일 때 최솟값 $4$를 갖는다. 따라서 $a=5$, $b=4$이므로 $a+b$$=5+4$$=9$" }, { "question": "english에 있는 $7$ 개의 문자를 일렬로 나열할 때, e와 i 사이에 $3$ 개의 문자가 들어가도록 나열하는 경우의 수를 구하시오.", "answer": "e와 i 사이에 $3$ 개의 문자를 나열하는 경우의 수는 $_5\\mathrm{P}_3$ $e◇◇◇i$를 하나로 묶어서 생각하면 문자는 모두 $3$ 개이고 $3$ 개의 문자를 나열하는 경우의 수는 $3!$ e와 i가 자리를 바꾸는 경우의 수는 $2!$ 구하는 경우의 수는 $_5\\mathrm{P}_3$$\\times$$3!$$\\times$$2!$$=60\\times6\\times2$$=720$" }, { "question": "등식 $_n\\mathrm{P}_3=60$을 만족시키는 자연수 $n$의 값을 구하시오.", "answer": "$_n\\mathrm{P}_3=n(n-1)(n-2)$, $60=5\\times4\\times3$이므로 $n(n-1)(n-2)=5\\times4\\times3$ $∴$ $n=5$" }, { "question": "$6$ 층짜리 건물의 $1$ 층에서 $7$ 명이 승강기를 함께 탄 후 $6$ 층까지 올라가는 동안 $3$ 개의 층에서 각각 $2$ 명, $2$ 명, $3$ 명이 내리는 경우의 수를 구하시오. (단, 새로 타는 사람은 없다.)", "answer": "$2$ 층부터 $6$ 층까지 $5$ 개의 층 중에서 사람들이 내리는 $3$ 개의 층을 택하는 경우의 수는 $_5\\mathrm{C}_3=10$ $7$ 명을 $2$ 명, $2$ 명, $3$ 명으로 나누는 경우의 수는 $_7\\mathrm{C}_2\\times_5\\mathrm{C}_2\\times_3\\mathrm{C}_3\\times\\frac{1}{2!}=21\\times10\\times1\\times\\frac{1}{2}=105$ $3$ 개의 조를 $3$ 개의 층에 한 조씩 분배하는 경우의 수는 $3!=6$ 따라서 구하는 경우의 수는 $10\\times105\\times6=6300$" }, { "question": "$6$ 개의 숫자 $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$에서 서로 다른 세 개를 사용하여 만들 수 있는 세 자리 자연수 중 $5$의 배수의 개수를 구하시오.", "answer": "$5$의 배수는 일의 자리의 숫자가 $0$ 또는 $5$이다. (i) 일의 자리의 숫자가 $0$인 경우 $0$을 제외한 $5$ 개의 숫자 중 $2$ 개를 택하여 일렬로 배열하면 되므로 $_5\\mathrm{P}_2=20$ (ii) 일의 자리의 숫자가 $5$인 경우 백의 자리에는 $0$과 $5$를 제외한 $4$ 개의 숫자가 올 수 있고 십의 자리에는 백의 자리와 일의 자리의 숫자를 제외한 $4$ 개의 숫자 중에서 $1$ 개를 택하면 되므로 $4$$\\times$$_4\\mathrm{P}_1$$=4\\times4$$=16$ 따라서 구하는 $5$의 배수의 개수는 $20$$+$$16$$=36$" }, { "question": "어느 산악 동호회에서 남자 $3$ 명, 여자 $4$ 명이 일렬로 서서 산을 등반하려고 할 때, 남자끼리 이웃하지 않게 서는 경우의 수를 구하시오.", "answer": "여자 $4$ 명이 일렬로 서는 경우의 수는 $4!$ 여자들 사이사이와 양 끝의 $5$ 개의 자리에 남자 $3$ 명이 서는 경우의 수는 $_5\\mathrm{P}_3$ 따라서 구하는 경우의 수는 $4!$$\\times$$_5\\mathrm{P}_3$$=24\\times60$$=1440$" }, { "question": "$6$ 개의 문자 A, B, C, D, E, F를 일렬로 나열할 때, E와 F가 이웃하도록 나열하는 경우의 수를 구하시오.", "answer": "$E$와 $F$를 하나로 묶어서 생각하면 문자는 모두 $5$ 개이므로 $5$ 개의 문자를 일렬로 나열하는 경우의 수는 $5!$ 그 각각의 경우에 대하여 $E$와 $F$가 자리를 바꾸는 경우의 수는 $2!$ 따라서 구하는 경우의 수는 $5!\\times2!$$=120\\times2$$=240$" }, { "question": "두 수 $210$과 $140$의 양의 공약수의 개수를 구하시오.", "answer": "$210$과 $140$의 최대공약수는 $70$이므로 $210$과 $140$의 양의 공약수의 개수는 $70$의 양의 약수의 개수와 같다. $70$을 소인수분해하면 $70$$=2\\times5\\times7$이므로 구하는 양의 공약수의 개수는 $(1+1)(1+1)(1+1)$$=8$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $6$ 개의 평행선과 $7$ 개의 평행선이 서로 만날 때, 이 평행한 직선으로 만들어지는 평행사변형의 개수를 구하시오.", "answer": "$6$ 개의 평행선 중에서 $2$ 개를 택하는 경우의 수는 $_6\\mathrm{C}_2$$=15$ $7$ 개의 평행선 중에서 $2$ 개를 택하는 경우의 수는 $_7\\mathrm{C}_2$$=21$ 따라서 구하는 평행사변형의 개수는 $15\\times21$$=315$" }, { "question": "$6$ 개의 숫자 $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$을 모두 사용하여 만든 여섯 자리 자연수를 작은 수부터 순서대로 배열할 때, $80$ 번째 수를 구하시오.", "answer": "$12◇◇◇◇$ 꼴인 자연수의 개수는 $4!$$=24$ $13◇◇◇◇$ 꼴인 자연수의 개수는 $4!$$=24$ $14◇◇◇◇$ 꼴인 자연수의 개수는 $4!$$=24$ $152◇◇◇$ 꼴인 자연수의 개수는 $3!$$=6$ $123456$부터 $152643$까지의 자연수는 모두 $78$ 개이다. $79$ 번째부터 순서대로 구해보면 $153246$, $153264$, $···$이므로 $80$ 번째 수는 $153264$이다." }, { "question": "등식 $_{3n+1}\\mathrm{C}_2=21$을 만족시키는 자연수 $n$의 값을 구하시오. (단, $3n+1\\ge2$)", "answer": "$_{3n+1}\\mathrm{C}_2=21$에서 $\\frac{(3n+1)\\times3n}{2}=21$ $9n^2+3n=42$ $3n^2+n-14=0$ $(n-2)(3n+7)=0$ $∴ n=2$ 또는 $n=-\\frac{7}{3}$ $n$은 자연수이므로 $n=2$" }, { "question": "등식 $_{2n+1}\\mathrm{C}_2=55$를 만족시키는 자연수 $n$의 값을 구하시오. (단, $2n+1\\ge2$)", "answer": "$_{2n+1}\\mathrm{C}_2=55$에서 $\\frac{(2n+1)\\times2n}{2}=55$ $4n^2+2n=110$ $2n^2+n-55=0$ $(n-5)(2n+11)=0$ $∴ n=5$ 또는 $n=-\\frac{11}{2}$ $n$은 자연수이므로 $n=5$" }, { "question": "korea에 있는 $5$ 개의 문자를 일렬로 나열할 때, 자음 k, r끼리 이웃하지 않게 나열하는 경우의 수를 구하시오.", "answer": "$3$ 개의 모음 o, e, a를 일렬로 나열하는 경우의 수는 $3!$ 모음의 사이사이와 양 끝의 $4$ 개의 자리에 $2$ 개의 자음 k, r를 나열하는 경우의 수는 $_4\\mathrm{P}_2$ 따라서 구하는 경우의 수는 $3!$$\\times$$_4\\mathrm{P}_2$$=6\\times12$$=72$" }, { "question": "축구 대회에 참가한 $n$ 개의 팀이 다른 팀과 모두 한 번씩 경기를 하였다. 이 대회의 전체 경기 수가 $91$ 회였을 때, $n$의 값을 구하시오.", "answer": "$_n\\mathrm{C}_2=91$에서 $\\frac{n(n-1)}{2\\times1}$$=91$ $n(n-1)=182=14\\times13$ $∴ n=14$" }, { "question": "등식 $_nP_3=_{n-1}P_3+3_7{P}_2$를 만족시키는 자연수 $n$의 값을 구하시오.", "answer": "$_n\\mathrm{P}_3=_{n-1}\\mathrm{P}_3+3_7\\mathrm{P}_2 (n\\ge4)$에서 $n(n-1)(n-2)=(n-1)(n-2)(n-3)+3\\times(7\\times6)$ $n^2-3n-40=0$ $(n+5)(n-8)=0$ $∴ n=8$" }, { "question": "$10000$ 원짜리 지폐 $2$ 장, $5000$ 원짜리 지폐 $2$ 장, $1000$ 원짜리 지폐 $4$ 장의 일부 또는 전부를 사용하여 지불할 수 있는 금액의 수를 구하시오. (단, $0$ 원을 지불하는 경우는 제외한다.)", "answer": "$5000$ 원짜리 지폐 $2$ 장으로 지불할 수 있는 금액과 $10000$ 원짜리 지폐 $1$ 장으로 지불할 수 있는 금액이 같으므로 $10000$ 원짜리 지폐 $2$ 장을 $5000$ 원짜리 지폐 $4$ 장으로 바꾸면 지불할 수 있는 금액의 수는 $5000$ 원짜리 지폐 $6$ 장, $1000$ 원짜리 지폐 $4$ 장으로 지불할 수 있는 금액의 수와 같다. $5000$ 원짜리 지폐로 지불할 수 있는 금액은 $0$ 원, $5000$ 원, $10000$ 원, $\\cdots$, $25000$ 원, $30000$ 원의 $7$ 가지 $1000$ 원짜리 지폐로 지불할 수 있는 금액은 $0$ 원, $1000$ 원, $2000$ 원, $3000$ 원, $4000$ 원의 $5$ 가지 $0$ 원을 지불하는 경우를 제외해야 하므로 구하는 금액의 수는 $7\\times5-1$$=34$" }, { "question": "여학생 $6$ 명과 남학생 $6$ 명 중에서 $3$ 명의 대표를 뽑을 때, 적어도 남학생 $1$ 명이 포함되도록 뽑는 경우의 수를 구하시오.", "answer": "$12$ 명 중에서 $3$ 명을 뽑는 경우의 수는 $_{12}\\mathrm{C}_3$$=\\frac{12\\times11\\times10}{3\\times2\\times1}$$=220$ 여학생만 $3$ 명을 뽑는 경우의 수는 $_6\\mathrm{C}_3$$=20$ 따라서 구하는 경우의 수는 $220-20$$=200$" }, { "question": "$1$부터 $9$까지의 자연수 중에서 홀수 $1$ 개, 서로 다른 짝수 $2$ 개를 택하여 만들 수 있는 세 자리 자연수의 개수를 구하시오.", "answer": "홀수는 $1$, $3$, $5$, $7$, $9$의 $5$ 개, 짝수는 $2$, $4$, $6$, $8$의 $4$ 개이므로 홀수 $1$ 개를 택하는 경우의 수는 $_5\\mathrm{C}_1$$=5$ 짝수 $2$ 개를 택하는 경우의 수는 $_4\\mathrm{C}_2$$=6$ $3$ 개의 숫자를 일렬로 나열하는 경우의 수는 $3!$$=6$ 따라서 구하는 자연수의 개수는 $5\\times6\\times6$$=180$" }, { "question": "$1$부터 $9$까지의 자연수 중에서 서로 다른 홀수 $2$ 개, 서로 다른 짝수 $2$ 개를 택하여 만들 수 있는 네 자리 자연수의 개수를 구하시오.", "answer": "홀수는 $1$, $3$, $5$, $7$, $9$의 $5$ 개, 짝수는 $2$, $4$, $6$, $8$의 $4$ 개이므로 홀수 $2$ 개를 택하는 경우의 수는 $_5\\mathrm{C}_2$$=10$ 짝수 $2$ 개를 택하는 경우의 수는 $_4\\mathrm{C}_2$$=6$ $4$ 개의 숫자를 일렬로 나열하는 경우의 수는 $4!$$=24$ 따라서 구하는 자연수의 개수는 $10\\times6\\times24$$=1440$" }, { "question": "집합 $X=\\lbrace1,\\text{ }2,\\text{ }3,\\text{ }4,\\text{ }5,\\text{ }6\\rbrace$에 대하여 다음 조건을 모두 만족시키는 함수 $f$ : $X \\rightarrow X$의 개수를 구하시오.$\\\\$ (ㄱ) $f(4) \\lt f(5) \\lt f(6)$$\\\\$ (ㄴ) $f(1) \\gt f(2) \\gt f(3)$", "answer": "(ㄱ) 집합 $X$의 원소 $6$ 개 중에서 $3$ 개를 택하여 작은 수부터 순서대로 원소 $4$, $5$, $6$에 대응시키면 된다. $3$ 개의 함숫값을 정하는 경우의 수는 $_6\\mathrm{C}_3$$=20$ (ㄴ) 집합 $X$의 원소 $6$ 개 중에서 $3$ 개를 택하여 큰 수부터 순서대로 원소 $1$, $2$, $3$에 대응시키면 된다. $3$ 개의 함숫값을 정하는 경우의 수는 $_6\\mathrm{C}_3$$=20$ 따라서 구하는 함수 $f$의 개수는 $20\\times20$$=400$" }, { "question": "남학생 $3$ 명, 여학생 $3$ 명 중에서 회장, 부회장을 뽑을 때, 회장, 부회장 중에서 적어도 한 명은 남학생을 뽑는 경우의 수를 구하시오.", "answer": "$6$ 명의 학생 중에서 회장, 부회장을 뽑는 경우의 수는 $_6\\mathrm{P}_2$$=30$ 여학생 $3$ 명 중에서 회장, 부회장을 뽑는 경우의 수는 $_3\\mathrm{P}_2$$=6$ 따라서 구하는 경우의 수는 $30-6$$=24$" }, { "question": "다음 그림과 같은 십일각형에서 대각선의 개수를 구하시오.", "answer": "구하는 대각선의 개수는 $11$ 개의 꼭짓점 중에서 $2$ 개를 택하는 경우의 수에서 변의 개수인 $11$을 뺀 것과 같으므로 $_{11}\\mathrm{C}_2$$-$$11$$=55-11$$=44$" }, { "question": "서로 다른 $6$ 개의 모임에 회원이 각각 $4$ 명씩 있다. 이 $24$ 명의 회원 중에서 $3$ 명을 뽑을 때, $3$ 명 모두 다른 모임의 회원을 뽑는 경우의 수를 구하시오.", "answer": "$6$ 개의 모임 중에서 $3$ 개를 택하는 경우의 수는 $_6\\mathrm{C}_3$$=20$ 택한 $3$ 개의 모임에서 각각 $1$ 명씩 뽑는 경우의 수는 $_4\\mathrm{C}_1\\times_4\\mathrm{C}_1\\times_4\\mathrm{C}_1$$=4\\times4\\times4$$=64$ 따라서 구하는 경우의 수는 $20\\times64$$=1280$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $7$ 개의 평행선과 $5$ 개의 평행선이 서로 만날 때, 이 평행한 직선으로 만들어지는 평행사변형의 개수를 구하시오.", "answer": "$7$ 개의 평행선 중에서 $2$ 개를 택하는 경우의 수는 $_7\\mathrm{C}_2$$=21$ $5$ 개의 평행선 중에서 $2$ 개를 택하는 경우의 수는 $_5\\mathrm{C}_2$$=10$ 따라서 구하는 평행사변형의 개수는 $21\\times10$$=210$" }, { "question": "$0$, $1$, $3$, $5$, $7$, $9$의 숫자가 각각 하나씩 적힌 $6$ 장의 카드 중에서 서로 다른 $3$ 장을 뽑아 세 자리 자연수를 만들려고 한다. $5$의 배수의 개수를 구하시오.", "answer": "$5$의 배수는 일의 자리의 숫자가 $0$ 또는 $5$이다. (i) 일의 자리의 숫자가 $0$인 경우 $0$을 제외한 $5$ 장의 카드 중에서 $2$ 장을 뽑아 일렬로 배열하면 되므로 $_5\\mathrm{P}_2=20$ (ii) 일의 자리의 숫자가 $5$인 경우 백의 자리에는 $0$과 $5$를 제외한 $4$ 장의 카드가 올 수 있고 십의 자리에는 백의 자리와 일의 자리의 카드를 제외한 $4$ 장의 카드 중에서 $1$ 장을 뽑으면 되므로 $4$$\\times$$_4\\mathrm{P}_1$$=4\\times4$$=16$ 따라서 구하는 $5$의 배수의 개수는 $20$$+$$16$$=36$" } ]